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1、正弦定理正弦定理 在RtABC中,各角與其對邊的關(guān)系: c a A sin c b B sin 1sinC 不難得到: C c B b A a sinsinsin CB A a b c c c 在非直角三角形ABC中有這樣的關(guān)系嗎? A c b a C B b AD c AD CBsin,sin 所以AD=csinB=bsinC, 即 , sinsinC c B b 同理可得 , sinsinC c A a sinsinsin abc ABC 即: D A c b CB 圖1 過點A作ADBC于D, 此時有 (1)若三角形是銳角三角形, 如圖1, (2) 若三角形是鈍角三角形呢? 自己證下!
2、正弦定理: 在一個三角形中,各邊和它所對角的 正弦的比相等. C c B b A a sinsinsin 即 即正弦定理尋找的是各邊和它的對角的關(guān)系!即正弦定理尋找的是各邊和它的對角的關(guān)系! 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解決三角形中哪類問題: 已知兩角和一邊,求其他角和邊. 已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊 的對角,進而可求其他的邊和角. C c B b A a sinsinsin 定理的應用 例例 1:在在ABC 中,已知中,已知c = 10,A = 45。 。, C = 30。, , 解三角形解三角形.(即求出其它邊和角)(即求出其它邊和角) 解: B 180(AC)105 sins
3、in bc BC 由正弦定理 得 b = C Bc sin sin = 30sin 105sin10 (1)已知兩角和任一邊,)已知兩角和任一邊, 求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角 sinsin ac AC 由正弦定理 sin sin cA a C 得 = 210 30sin 45sin10 B A C b c )26(5 a 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理, (2)在ABC中,已知 A=75,B= 45,c= 求C,a , b. 23 (1)在ABC中,已知 A=30,B=120,b=12。 解三角形. 30 ,4 3Cac 練習: 已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角已知兩角和任
4、一邊,求其他兩邊和一角. 60 ,33,2 3Cab 0 ,2,45 , ,ABCbBACc例2:在中,a= 3求 00 ,0180abABA且 0 60A 000 (1)60 ,180()75ACAB當 sin26262 sin422 2 bC c B 000 (2)120 ,180()15ACAB當 sin26262 sin422 2 bC c B 2 3 sin3 2 sin 22 aB A b 解: (2)已知兩邊和已知兩邊和 其中一邊的對其中一邊的對 角角,求其他邊和求其他邊和 角角. 0 120A 或 (三角形中大邊對大角) 0 ,2,45 , ,ABCbAC c練習:在中,a=2
5、求B 2 2 sin1 2 sin 22 bA B a 解:由正弦定理得 00 ,0180abABB且 0 30 ,105BC sin262 31 sin42 2 aC c A (2)已知兩邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角求其他邊和角. (三角形中大邊對大角) 課堂小結(jié) (1)三角形常用公式: (2)正弦定理應用范圍: 已知兩角和任意邊,求其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊 的對角。(注意解的情況) 正弦定理: ABC sinsinsin abc ABC 正弦定理推廣一正弦定理推廣一: 外接圓半徑外接圓半徑是是 ABCRR2 Csin c Bsin b
6、Asin a 證明證明: O C/ c b a C B A R C c R c CC CCCBA 2 sin 2 sinsin ,90 R C c B b A a R B b R A a 2 sinsinsin 2 sin ,2 sin 同理 作外接圓作外接圓O, 過過B作直徑作直徑BC/,連連AC/, 應用正弦定理應用正弦定理化邊為角化邊為角: 2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC 或化角為邊或化角為邊:sin,sin,sin 222 abc ABC RRR 正弦定理: sinsinsin abc ABC 2R 公式的應用 課堂練習:課堂練習: 00 2.2,7545 _
7、. sinsinsin ABCaBC abc ABC 已知中,則 231: : 直角或等腰三角形直角或等腰三角形 1.:3:2:1, : :_ ABCA B C a b c 已知的三個內(nèi)角之比為 那么對應的三邊之比等于 3 34 Asinbc 2 1 Bsinac 2 1 Csinab 2 1 ah 2 1 S : ABC 正弦面積公式正弦面積公式 正弦定理推廣二正弦定理推廣二: 1.,6845 ._. ABC ABCabCS 在中,則 練習:練習: 12 2 62531() 4.,3,1,30 , _ ABCabB在中 則其面積等于 33 24 或 A a sinB b sinC c sin
8、 (2R為為ABC外接圓直徑) ?2R 思考 5、求證: 證明: 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB B A CD a b c aABC ahS 2 1 而 CbBcADhasinsin CabBacS ABC sin 2 1 sin 2 1 同理 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ha AbcS ABC sin 2 1 證法3: D (2)已知兩邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角求其他邊和角. A B C3 C2 C1 C BC的長度與角A的 大小有關(guān)嗎? 三角形中角A與它的對 邊BC的長度是否存在 數(shù)量關(guān)系? 由(1)(2)知,結(jié)論成立 CC b AD sinsin )(且 sinsinsin abc ABC 仿
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