【精品課件】1.1.1正弦定理(1)

1、正弦定理正弦定理 在RtABC中,各角與其對(duì)邊的關(guān)系: c a A sin c b B sin 1sinC 不難得到: C c B b A a sinsinsin CB A a b c c c 在非直角三角形ABC中有這樣的關(guān)系嗎? A c b a C B b AD c AD CBsin,sin 所以AD=csinB=bsinC, 即 , sinsinC c B b 同理可得 , sinsinC c A a sinsinsin abc ABC 即： D A c b CB 圖1 過(guò)點(diǎn)A作ADBC于D, 此時(shí)有 (1)若三角形是銳角三角形, 如圖1, (2) 若三角形是鈍角三角形呢？ 自己證下！

2、正弦定理: 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的 正弦的比相等. C c B b A a sinsinsin 即 即正弦定理尋找的是各邊和它的對(duì)角的關(guān)系！即正弦定理尋找的是各邊和它的對(duì)角的關(guān)系！ 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解決三角形中哪類問(wèn)題： 已知兩角和一邊，求其他角和邊. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊 的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角. C c B b A a sinsinsin 定理的應(yīng)用 例例 1：在在ABC 中，已知中，已知c = 10,A = 45。 。, C = 30。， ， 解三角形解三角形.（即求出其它邊和角）（即求出其它邊和角） 解： B 180(AC)105 sins

3、in bc BC 由正弦定理 得 b = C Bc sin sin = 30sin 105sin10 （1）已知兩角和任一邊，）已知兩角和任一邊， 求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角 sinsin ac AC 由正弦定理 sin sin cA a C 得 = 210 30sin 45sin10 B A C b c )26(5 a 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， （2）在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求C，a ， b. 23 （1）在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12。 解三角形. 30 ,4 3Cac 練習(xí)： 已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩角和任

4、一邊，求其他兩邊和一角. 60 ,33,2 3Cab 0 ,2,45 , ,ABCbBACc例2：在中，a= 3求 00 ,0180abABA且 0 60A 000 (1)60 ,180()75ACAB當(dāng) sin26262 sin422 2 bC c B 000 (2)120 ,180()15ACAB當(dāng) sin26262 sin422 2 bC c B 2 3 sin3 2 sin 22 aB A b 解： (2)已知兩邊和已知兩邊和 其中一邊的對(duì)其中一邊的對(duì) 角角,求其他邊和求其他邊和 角角. 0 120A 或 （三角形中大邊對(duì)大角） 0 ,2,45 , ,ABCbAC c練習(xí)：在中，a=2

5、求B 2 2 sin1 2 sin 22 bA B a 解：由正弦定理得 00 ,0180abABB且 0 30 ,105BC sin262 31 sin42 2 aC c A (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角求其他邊和角. （三角形中大邊對(duì)大角） 課堂小結(jié) （1）三角形常用公式： （2）正弦定理應(yīng)用范圍： 已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊 的對(duì)角。(注意解的情況) 正弦定理： ABC sinsinsin abc ABC 正弦定理推廣一正弦定理推廣一: 外接圓半徑外接圓半徑是是 ABCRR2 Csin c Bsin b

6、Asin a 證明證明： O C/ c b a C B A R C c R c CC CCCBA 2 sin 2 sinsin ,90 R C c B b A a R B b R A a 2 sinsinsin 2 sin ,2 sin 同理 作外接圓作外接圓O, 過(guò)過(guò)B作直徑作直徑BC/,連連AC/, 應(yīng)用正弦定理應(yīng)用正弦定理化邊為角化邊為角： 2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC 或化角為邊或化角為邊：sin,sin,sin 222 abc ABC RRR 正弦定理： sinsinsin abc ABC 2R 公式的應(yīng)用 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 00 2.2,7545 _

7、. sinsinsin ABCaBC abc ABC 已知中，則 231： ： 直角或等腰三角形直角或等腰三角形 1.:3:2:1, : :_ ABCA B C a b c 已知的三個(gè)內(nèi)角之比為 那么對(duì)應(yīng)的三邊之比等于 3 34 Asinbc 2 1 Bsinac 2 1 Csinab 2 1 ah 2 1 S : ABC 正弦面積公式正弦面積公式 正弦定理推廣二正弦定理推廣二: 1.,6845 ._. ABC ABCabCS 在中，則 練習(xí)：練習(xí)： 12 2 62531（） 4.,3,1,30 , _ ABCabB在中 則其面積等于 33 24 或 A a sinB b sinC c sin

8、 （2R為為ABC外接圓直徑） ？2R 思考 5、求證: 證明： 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB B A CD a b c aABC ahS 2 1 而 CbBcADhasinsin CabBacS ABC sin 2 1 sin 2 1 同理 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ha AbcS ABC sin 2 1 證法3: D (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角求其他邊和角. A B C3 C2 C1 C BC的長(zhǎng)度與角A的 大小有關(guān)嗎? 三角形中角A與它的對(duì) 邊BC的長(zhǎng)度是否存在 數(shù)量關(guān)系? 由(1)(2)知，結(jié)論成立 CC b AD sinsin ）（且 sinsinsin abc ABC 仿