三角形內(nèi)角和定理及推論

1、三角形內(nèi)角和定理及推論閱讀下列文字，結合本章學過的數(shù)學知識，按要求在橫線上補全內(nèi)容。一、三角形三個內(nèi)角的矢系三角形三個內(nèi)角的和等于在小學，我們已通過下列三種實驗，觀察猜想得到。（1）折疊本冊教材P70圖示意。（填圖序號。下同）（2）剪拼本冊教材P70圖示意或本冊教材P75圖示意。（3 ）度量實際上，有可能：折疊時，邊縫不易平齊，難以拼成一個平角；剪拼時，發(fā)現(xiàn)三 個內(nèi)角難以拼成一個平角，只是接近180“的某個角；度量三個角，然后相加，有的接近179，有的接近181 ，不是很準確地都得180 o以致于懷疑我 們的猜想：三角形的內(nèi)角的和等于180。事實上，它是真命題，并且曾多次運用它求三角形內(nèi)角的度

2、數(shù)。要判斷它的“真“，必須進行 。 二、證明三角形的內(nèi)角的和等于1801、分析要想求得三角形的內(nèi)角的和等于180 ,三角形紙片的折疊、剪拼 過程給 我們這樣的提示：把三角形三個分散的角，全部或部分適當?shù)丶衅饋?，利用平角定義或兩直線 平行，同旁內(nèi)角互補來證明。這就需要在原來的圖形上，添畫一些線，轉化為易于證 明的情況。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線，叫做 為了區(qū)別于原圖形中的線，輔助線一般畫成 線。由剪、拼角給我們的提示，得到輔助線的添法，如圖（1）、（2）、（3）、（4）所zK oF(2)(1 )(1):剪掉三個角，拼接在它的一邊BC上，/B放在/CDFh, /C 放在/ BDE 上

3、(2)剪掉兩個角（/ A與/B），拼接在它的頂點C處,其中/ A放在/ 1上(3)剪掉兩個角（/C），拼接在它的頂點A處，/ B放在/ BAD上射線AD/ BCo(3)圖（4）剪掉/ C放在/ DAC上作輔助線是幾何證明常用的方法，在書寫幾何證明時，首先應該寫明輔助線的畫法。上面四 個圖輔助線的添法，可用下面的幾何語言表達：1、作BC的延長線CD在厶ABC的外部，以 CA為一邊，CE為另一邊，畫/2、作BC的延長線CD過C點作CE/ ABoBCoDE /5、在BC上任取點D,過D作DE/ AC交AB于E, DF/ AB交AC于F。請在上面五句話后面的v內(nèi)填上對應的圖號。2證明:請你根據(jù)圖（4）

4、證明“三角形的內(nèi)角的和等于180。”至此，我們明白，“三角形的內(nèi)角的和等于180是一個真命題，并且，常被選作解決其他問題的依據(jù)，所以課本上，把它稱之為 。三角形內(nèi)角和定理表達式： ABC中/ A+ZB+ZC=180 （三角形內(nèi)角和定理）根據(jù)圖（3），證明三角形內(nèi)角和定理： 三.三角形內(nèi)角和定理的推論推論1 :直角三角形的兩個銳角互余。表達式在 RtA ACB 中，Z C=90 （已知） Z A+ZB=90 （直角三角形的兩個銳角互余）推論2:有兩個角互余的三角形 是直角三角形。表達式： ACB 中，Z A+Z B=903:三角形的一個外角等于和它不相鄰表達式：4 ACB中，Z ACD=Z推論4

5、:三角形的一個外B角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。表達式： ACB 中，Z ACDZ A,Z ACDZ B結合教材P82內(nèi)容，解決下列問題：叫做三角形的外角。注意：同一頂點處雖然有兩個外角，但我們通常指一個在上圖中，延長CA到點E,得到內(nèi)角Z BAC相鄰的外角Z BAE再根據(jù)推論3、推論4,分別寫出它們各自的幾何表達式。推論3的：推論4的：2證明上面四個推論:推論1： 推論2: 推論3: 推論4: 四 三角形內(nèi)角和定理及其推論的應用1 三角形內(nèi)角和定理及推論的作用1 ）在三角形中，利用三角形內(nèi)角和定理，已知兩角求第三角或已知各角之間的尖系 求各角。2）在直角三角形中，已知一個銳角利用推論1求另

6、一個銳角或已知兩個銳角的矢系，求這 兩個銳角。另外，推論1常與同角（等角）的余角相等結合來證角相等。3 ）利用推論4證三角形中角的不等尖系。2閱讀例題例1 已知：如圖0213AABC中，/ C=90，/ BAC / ABC的平分線AD BE交于點0,求：/ A0B的度數(shù)。A02-13另解：同上可得到/ 1+Z 2=45/ 3=Z 1+Z 2=45 （三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）/ AOB# 3=180 （平角定義）/ AOB=180 -/3=180-45=135 / AOB=135例2. AB與CD相交于點O,求證：/ A+Z C=Z B+Z D思路分析：在厶AOC中，ZA+Z C+

7、Z AOC=180 （三角形內(nèi)角定理）在4 BOD中，ZB+ZD+ZBOD9 80 （三角形內(nèi)角和定理） Z A+Z C+Z AOCZ B+Z D+Z BOD （等量代換） / Z AOCZ BOD （對頂角相等）， Z A+Z C=Z B+Z D這道幾何題是一對對頂三角形組成的幾何圖形因為我們發(fā)現(xiàn)了兩個三角形，所以便聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理，探索思路，使問題解決了可是這道題的應用 價值很值得開發(fā)，它是一類幾何題打開思路的“橋梁”，借助它可順利到達“彼 岸”，請看實例.如圖，Z A+Z B+Z C+Z D+Z E=.揭示思路：從圖形中觀察出現(xiàn)對頂三角形，此時便使我們設法把5個分散的角 轉化在一個圖形中，在這種想法趨使下，使我們想到對頂三角形這“橋梁”結合圖形，連CD,立即可發(fā)現(xiàn)，Z B+Z E=Z 1+Z 24 Z A+Z B+Z C+Z D+Z E - AABC 中，Z A ： Z B： Z C=1:2 ： 3,則 Z B=(力 30。B、60C、9012013、一個三角形有一內(nèi)角大于其相鄰的外角，這個三角形是(A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形斜三角形解答14、在厶ABC中，Z A是Z B的2倍，Z C比Z A