三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)55632

1、向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法。重心：厶ABC中、每條邊上所對應(yīng)的中線的交點(diǎn)；垂心：ABC中、每條邊上所對應(yīng)的垂線上的交點(diǎn)；內(nèi)心：UABC中、每個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)； 外心：.IABC中、每條邊上所對應(yīng)的中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心) 一、重心1、O 是. ABC 的重心= OA OB 0C = 0若 0是 ABC 的重心，貝BOC = ：AOC = ：AOB = ：ABC 故OA OB 0C = 0,31 PG (PA PB PC) = G 為- ABC 的重心.32、 P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn) 上是厶ABC的

2、重心uPC).3證明：PG 二 PA AG 二 PB BG = PC CG 二 3PG 二(AG BG CG) (PA PB PC)/ 6是厶ABC的重心 GA GB GC = 0 二 AG BG CG = 0，即 3PG 二 PA PB PC1由此可得PG =-(PA PB PC).(反之亦然(證略)33、 已知O是平面上一定點(diǎn)， A, B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OPO (AB AC)， (0, r)，則P的軌跡一定通過 ABC的重心.例1若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA OB OC =0 ，則O是ABC的()A.內(nèi)心B .外心C .垂D .重心、垂心1、O 是：ABC 的垂心=O

3、A.OB =OBOC =OAOC若O是.：ABC （非直角三角形）的垂心，貝U故 tan AOA tan BOB tanCOC = 02、H是面內(nèi)任一點(diǎn)，HA HB二HB HC二HC HAu點(diǎn)H是厶ABC的垂心.由 HA HB 二 HB HC = HB （HC - HA）二 0= HB AC 二 0= HB _ AC,同理HC_AB , HA_BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（證略） 3、P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PAPB=PB PC=PC PA，貝U P是厶ABC的=0，=0,所以PB丄CA .同理垂心.由 PA = PB PC，得 PB (PA-FC4)可證 Pc 丄 AB，P

4、a 丄 bc . P是厶ABC的垂心.如圖1.圖1B4、已知O是平面上一定點(diǎn)， A, B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OPIAB cos B| AC cos C（0=），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的垂心.例2 P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PA卩B二PB卩C二PCPA，貝U P是厶ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心二、內(nèi)心1、O是 ABC的內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔如果記AB, BC,CA的單位向量為qpe，則剛才O是ABCC的內(nèi)心的充要條件可以寫成0A ei ea = OB ei e? = OC e?巨=02、O是 ABC的內(nèi)心的充要條件也可以

5、是 aOA bOB cOC =0。3、若 O 是 ABC 的內(nèi)心，貝U S BOC : S AOC : S AOB = a: b: c故 a *OA b OB cOC 二 0或者 sin A *OA sinB *OB sinC OC 二 0；4、已知IABC所在平面上的一點(diǎn)，且AB=c , AC=b , BC =aalA bIB clC=0，貝U I是厶ABC的內(nèi)心. TB =IA AB , ICAC,則由題意得(a b c)lA bAB cA = 0, bAB+cAC = |AC AB+|aB AC = AC 網(wǎng) + I AB二 AIbca b c豊.ABA與hac分別為AB和AC方向上的單

6、位向量,BCAC AI與/ BAC平分線共線,同理可證：BI平分.ABC ,即AI平分.BAC .CI平分.ACB .從而I是厶ABC的內(nèi)心，如圖。5、已知O是平面上一定點(diǎn),定點(diǎn)A, B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足心.OP = OA -由題意得O, - (0,=)，貝U動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的內(nèi)CAP表示.BAC的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)當(dāng)；- (0, ：)時(shí)，軌跡一定通過 ABC的內(nèi)心，如圖。滿足OP（AB AC），0：則P點(diǎn)的軌跡一定通過 ABC的(A) 外心(B) 內(nèi)心(C) 重心(D) 垂心例3 O平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P四、外

7、心1、O是 ABC的外心|0A - pB = 0C ,若O是 ABC的外心則S BOC : S AOC : S AOB =sin BOC:sin _AOC : sin AOB 二 sin 2A:sin2B:sin2C故 sinAOA sin BOB sin COC 二 0。2、已知O是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA2=OB2=OC2，則O是厶ABC的外 心.則O是厶ABC2 2 2若 OA =OB =OC，貝U的外心，如圖1。3、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OPOB OC2+ AC cosCAC(0,r)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的外心，如圖2

8、例4若O為ABC內(nèi)一點(diǎn),則O是：ABC的(B .夕卜心D .重心關(guān)于“歐拉定理”的一些問題：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的 位置關(guān)系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)， 即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2倍。例5在厶ABC中，已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q GH三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2證明：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè) A(0,0)、B(X1,0 )、C(x2,y 2)，D E、F 分別為 AB BC A

9、C的中點(diǎn)，則有：D (X1,0)、2X1 X2G(丁E(X1匚，吐)、F($,H)由題設(shè)可設(shè)Q($3)、2 2 2 2 2x2 x12 2于).AH =(X2,y4),QF =(BC =化卡)?AH - BCAH *BC =x2(x2 _xj y2y4 =0 .X2(X2 -Xjy4y2H(X2, y4),7q_ AC.QF.aC 以2（今一今）丫2（號-丫3）=0X2（X2Xi）丄 y2y3-2y 22.QH =（x2-#皿曲3)=(篤X1彳“心一燈九2Y22)貳心32x2 -x1XiX- y2、，、（ 2X2 -x-3X2（X2-Xi）y21y2 X2（X2-X-） y232x2 x12y

10、22）3x2（X2-Xi） y26y222y22)1QH3即 QH =3QG，故Q G H三點(diǎn)共線，且QG : GH =1:2例6 若0、H分別是 ABC的外心和垂心.求證OH = OA OB OC.證明若厶ABC勺垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長交外接圓于D,連結(jié)AD, CD AD _ AB , CD _ BC .又垂心為 H, AH _ BC , CH _ AB , AH/ CD CH/ AD四邊形AHC助平行四邊形， AH =DC =DO OC，故 OH =OA AH =OA OB - OC .“歐拉定理”簡化：例7設(shè)O G H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.求證 ogJoh

11、3證明按重心疋理 6是厶ABC的重心=OG J(OA9B OC)3按垂心定理 OH =0A Ob Oc由此可得 OGOH.3補(bǔ)充練習(xí)一:1.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是:ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足 1 1 1OP=3 ( 2OA+iOB+2OC),則點(diǎn) P一定為疋AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)AB邊的中點(diǎn)點(diǎn)O滿足關(guān)系式：A.AB邊中線的中點(diǎn)C.重心2.在同一個(gè)平B.D.面上有 ；ABC及A外心 B2. 已知 ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:則P為厶ABC的A 外心 B 內(nèi)心3.已知O是平面上一() C 定點(diǎn),重心 D 垂心A B C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足:OA2

12、 BC2 =OB2 AC2 =OC2 AB2，貝UO為- ABC 的內(nèi)心C 重心 D 垂心OP =0A(AB AC)，貝U P的軌跡一定通過厶ABC的A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4.已知 ABC P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)PAPC*0,貝U P點(diǎn)為三角形的重心 D 垂心角形所在平面上的一點(diǎn)A 夕卜心B 內(nèi)心 C5 .已知 ABC, P為三P滿足:滿足:a P A b P B c P0C6.7.) 外心在三角形)外心B 內(nèi)心 C重心 D 垂心2 2 ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：CA二CB -2AB *CP，貝U P點(diǎn)軌跡一定通的：B 內(nèi)心 CABC重心 D 垂心已知非零向量AB與AC

13、滿足AB AC H 十:ABACBC =0,且 AB AC abIAC直角三角形等邊三角形兩條邊上的高的交點(diǎn)ABC為A.三邊均不相等的三角形B.C. 等腰非等邊三角形D.8. ABC的外接圓的圓心為O ,9點(diǎn)0是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 OA OB =0B OC =0C OA，則點(diǎn)O是ABC 的 （）A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)10.已知點(diǎn)G是AABC的重心，過G作直線與AB, AC兩邊分別交于M N兩點(diǎn),且 = xAB，= yAC，則 1 = 3。x y證 點(diǎn)G是UABC的重心，知GA GB GC -0,得-aG+（abAG）+（AC

14、AG）=o,有亦=1（肝+AC）。又m n, g三點(diǎn)共線 3（A不在直線MN）,于是存在，丄，使得aG = 1 aN（且，=1）,有 AGy.xAB JyACjAB AC）,3-“ 得1，于是得11 =3 ox = Jyx yI32 2 2OA =OB =OCC 、外心，則O是厶ABC的:D 、內(nèi)心2、在 ABC中，有命題AB - AC = BC ;AB BC CA = O ;若AB AC AB - AC = 0 ,則厶ABC為等腰三角形;為銳角三角形，上述命題中正確的是A、若AB AC 0 ,貝ABC3、已知 ABC中,B 、AB AC冏+AC、D 、AB二-,試判斷 ABC的形 AC 2補(bǔ)

15、充練習(xí)二:1、已知O是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若A、重心B 、垂心AB =a，BC =b，B是厶ABC中的最大角，若a： 0，試判2 + BCA、重心6、已知OP =OA 2，則0是厶ABC的:、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心 ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足 、AB AC+ AC2=OC + AB 0,=，則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABCABAC4、已知 ABC中,斷厶ABC的形狀。5、已知O是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心7、已知 O為平面內(nèi)一點(diǎn)，A、B、C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =OAAB 1BC 0, ：，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的:、內(nèi)

16、心A、重心B 、垂心 C 、外心 D8、已知O是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =OA ABAC-0,，則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABC的:AB cosBAC cosCA、重心B 、垂心 C9、已知O是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),、外心 D動(dòng)點(diǎn)P滿足、內(nèi)心op=3c 2ABACAB cos B，川（0,畑），則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABC的AC cosCA、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心10、已知點(diǎn)G是的重心，過 G作直線與AB AC分別相交于 M N兩點(diǎn)，且AM =x AB,AN =y AC，求證：1 - =3x y補(bǔ)充練習(xí)三：那是心與心的交匯， 是相視的莞爾一笑，是一杯飲了半盞的酒，沉香

17、在喉，甜潤在心。我無所謂成功不成功，但我在乎我自己的成長；我無法掌握別人，但我可以掌握自己。我唯一能把握的，是我會(huì)一直盡力走下去，不為了別人，為了給自己一個(gè)交代。這個(gè)世界上有太多的事情是我們無法掌握的，你不知道誰明天會(huì)離開，你不知道意外和你等的人誰先到來。最可怕的是因?yàn)榕率ザ艞墦碛械臋?quán)利。我們都會(huì)遇到很多人，會(huì)告別很多人，會(huì)繼續(xù)往前走，也許還會(huì)愛上那么幾個(gè)人，弄丟那么幾個(gè)人。關(guān)鍵在于，誰愿意為你停下腳步？對于生命中每一個(gè)這樣的人，一千一萬個(gè)感激。有一些人、一些事是不需要理由的:比如天空的顏色;比如連你自己都不知道為什么會(huì)喜歡上的那個(gè)人;比如昨天擦肩而過的人變成了你今天的知己。夢想這東西，最

18、美妙的在于你可以制造它，重溫它?？匆槐緯犚皇赘?，去一個(gè)地方，夢想就能重新發(fā)芽，那個(gè)在你體內(nèi)扎根的與生俱來的夢想。我們唯一能把握的事情是，成為最好的自己，我們可以不成功，但是我們不能不成長，沒有什么比背叛自己更可怕。你唯一能把握的，是變成最好的自己。也許你最后也沒能牽到那個(gè)人的手，但是你付出了就不會(huì)有遺憾;也許你最后也沒能環(huán)游世界，可是你在實(shí)現(xiàn)夢想的途中找到了自己。那是能夠?yàn)榱艘粋€(gè)目標(biāo)默默努力的自己，不抱怨，不浮躁，不害怕孤單，沉默卻又努力的自己。也許最后你也只是默默無聞，但你曾經(jīng)為了將來努力地奮斗了一把;1、 已知O是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA OB OC =0，貝U 0是厶ABC的:A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心2、若厶ABC的外接圓的圓心為 O,半徑為1,且OA OB OC = 0,則OAOB等 于11A、1 2 3 4