復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、【知識(shí)梳理】一、復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；r =-1；這樣方程x2=-就有解了, 解為x = i或x = /2、復(fù)數(shù)的槪念(1) 定艾：形如a + bi(a, ZeR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).其中j叫做虛數(shù)單位，日叫做, 6叫做o全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z = a+bi a, /GR)對(duì)于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點(diǎn)：Z = a+bia, bGR)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中加表示b與虛數(shù)單位，相乘復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，否則不是代數(shù)形式(2) 分類：滿足條件(彳6為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a+bi為實(shí)數(shù)u6=0a+b為虛數(shù)a+b

2、i為純虛數(shù)om=0且bQ例題：當(dāng)實(shí)數(shù)加為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(加一5加+ 6) +伽2一3加)/是實(shí)數(shù)？虎數(shù)？純虛數(shù)？二. 復(fù)數(shù)相等a + bi = c + dia = c,b = da,b.c.d e R)也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等充要條件是他們的實(shí)部和虎部分別相等注意：只有兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無(wú)法比較大小例題：已知(x+y-3) + (x-4)r = 0求x.y的值三. 共純復(fù)數(shù)a + bi 與 c + di 共鞄o a =e,Z? = -e R)Z,=a+bi的共扌尼復(fù)數(shù)記作z = a-bi,且zz = a +/?2四、復(fù)數(shù)的幾何意義1復(fù)平面的槪念建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做

3、復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虔軸。顯然，實(shí)軸上的點(diǎn) 都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。2、復(fù)數(shù)的幾何意艾復(fù)數(shù)z = a+bi與復(fù)平面的點(diǎn)Z(“,b)及平面向量OZ = (a,h) (a,beR)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(復(fù)數(shù)的實(shí) 質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表示一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)平面向量)相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)例題：(1)當(dāng)實(shí)數(shù)加為何值時(shí)，復(fù)平面表示復(fù)數(shù)z = (一8? + 15) + (一5加一14)/的點(diǎn)位于第三象限；位于直線上(2)復(fù)平面屆= (2,6),已知丘屆，求C%對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)3、復(fù)數(shù)的模:向量炭的模叫做復(fù)數(shù)z = a+hi的模，記作同或a+bi ,表示點(diǎn)(“上)到原

4、點(diǎn)的距離，即同= a + bi = yla +b2 , |z| = |z|若 zt =a + bi, z2 =c + di,則 -z2| 表示(a,b)到(c,)的距離，即 z4 - Z2| =+(b-d)2例題：已知z = 2 + i，求|z-l+/|的值五、復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1 )運(yùn)算法則：設(shè) Zi = a+bi, Z2=c+(f, a, b, c, /GR Z 土 =a + bi + c + di = (a + c) + (b + di Z Z? = ( + bi)(c + di) = (ac 一 bd) + (be + ad)i =(+) =Z2 (c + di)(a +bi)c-di)(c

5、 + di)(c-di)(ac + bd) + (be 一 ad)i(2) 幾何意狡：復(fù)數(shù)加減法可按向董的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行如圖給 出的平行四邊形0Z2Z可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意狡，即於=龍+ 亦，花=易一龍六. 常用結(jié)論求只需將川除以4看余數(shù)是幾就是i的幾次 例題：嚴(yán)=(2) (1 + /)2=2/, (1-z)2=-2Z 44/)3=1 4f/)3=-1【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 w 或“x”)方程,+x+i=o沒(méi)有解.()復(fù)數(shù)z=ab (a, bWR)中，虛部為b.()(3) 復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4) 原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸

6、的交點(diǎn).()(5) 復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的揆.()【考點(diǎn)自測(cè)】1. (2015 )設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1-i) (1+2i)等于()A3+3iB. -1+3iC.3+iD. -1 + i2. (2015 課標(biāo)全國(guó)I )已知復(fù)數(shù)n滿足(z-1) i=1 + i,則z等于()A. -2-iB. -2+iC. 2-iD2+i3.在復(fù)平面，復(fù)數(shù)6+5i, 2 + 3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為兒3若C為線段力8的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A4+8iB8+2iC2+4iD. 4+i4 已知彳6WR, i是虛數(shù)單位若日+i=2 6,則a+bY等于()A. 3-4

7、iB3+4iC.4-3iD.4+3i5已知(1+2i)7=4+3i,則 z=【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念例1 設(shè)i是虛數(shù)單位若復(fù)數(shù)z=a-y(aGR)是純虛數(shù)，則日的值為()3 IA. -3 B. -1 C. 1D. 3(2)已知aGR,復(fù)數(shù)z, = 2 + ai, z2 = 12i,若蘭為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)彳的虛部為()Z2Z2A. 1B. iD.0若乙=（異+ 刃+1） +（異+ /7T-4） i SER）,乃=3 2i,則 “777=1” m = Z 的（ ）A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件引申探究1.對(duì)本例(1)中的復(fù)數(shù)N,若|z|=Vio,求曰的值.

8、2在本例(2)中，若蘭為實(shí)數(shù)，則日=Z1思維升華解決復(fù)數(shù)槪念問(wèn)題的方法及注意爭(zhēng)項(xiàng)(1) 復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù) 化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2) 解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+b (a, bGR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.跟蹤訓(xùn)練1 (1)若復(fù)數(shù)N=(, 1) + (*T) i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)X的值為()A. -1B. 0 C. 1D.-1 或 1(2014 )已知i是虛數(shù)單位，a, bER,則“日=6=1”是“(日+勿尸=2嚴(yán) 的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

9、必要條件題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算 命題點(diǎn)1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例2 (1)(2015-)i為虎數(shù)單位，的共純復(fù)數(shù)為()A. iB. -iC. 1D. -1(2015 )復(fù)數(shù)i(2-i)等于()A. 1+2iB. 1-2i C. 一 1+2i D. -1-2i命題點(diǎn)2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算(1 i f例3(1) (2015 )已知匕丄=1 + i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)n等于()A. 1 + iB. 1-iC. 一 1 + iD. -1-i命題點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合問(wèn)題例4(2015)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)曰的值為(2014 )已知復(fù)數(shù)z= (5 + 2i)2(i為虛數(shù)單位

10、)，則z的實(shí)部為命題點(diǎn)4復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算例5(1) (2014 )設(shè)i是虛數(shù)單位，7表示復(fù)數(shù)z的共馳復(fù)數(shù)若z=1 + i,則蘭+i 等于()IA. -2 B. -2i C. 2 D.2i若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則n的虛部為( )44A. 4 B. T C. 4D. T思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題疑略(1) 復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不 含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.(2) 復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共筑復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡(jiǎn)形 式.(3) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)槪念的綜合題，

11、先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為曰+6(曰，6ER)的形 式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.(4) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意狡的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為a+b a, 6WR) 的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意狡解答.(5) 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后 算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2015-)若復(fù)數(shù)n滿足fy=i,其中i為虛數(shù)單位，則n等于()A. 1-iB.1 + i C. -1-i D. 1 + i恂”=.競(jìng)+陽(yáng)-題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例6 (1) (2014)實(shí)部為一 2,虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的(

12、)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z, Z2, Z3,若復(fù)數(shù)Z滿足I Z Zi | = | Z Z2 I = I Z Z3 |,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為/1%的()A.心B.垂心C.重心D.外心思維升華 因?yàn)閺?fù)平面的點(diǎn)、向量及向董對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí), 只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向董相等直接給出結(jié)論即可.跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖，在復(fù)平面，點(diǎn)S表示復(fù)數(shù)N,則圖中表示Z的共純復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A. A B. B C. C D. Z?A.y DOXc(2)已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、總均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面

13、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 一象限.數(shù)日的取值圍.【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化思想典例 已知；g p為共彳尼復(fù)數(shù)，且(x+y)2 3xyi =46i,求”，y.思維點(diǎn)撥(1)x, F為共扼復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)；(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題.溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問(wèn)題要把握一點(diǎn).即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題靈基本的思想方法.(2)本題求解的關(guān)鍵是先把 心y用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)，再用待定系數(shù)法求解這是常用的數(shù) 學(xué)方法.本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能舟復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解.【方法與技巧】1 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加.減、乘、除及求低次方根除法實(shí)際上是分

14、母實(shí)數(shù)化的過(guò)程.2. 復(fù)數(shù)z=a+b a, bWR）是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的主要方法.對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+b （a, bWR）,既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù) 數(shù)看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí).3. 在復(fù)數(shù)的幾何意狡中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問(wèn)題，平移往往和 加法、減法相結(jié)合.【失誤與仿】1. 判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意狡.2 兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.3注意復(fù)數(shù)的虔部是指在a+bi （a, bGR）中的實(shí)數(shù)6,即虛部是一個(gè)實(shí)數(shù).【鞏固練習(xí)】1. （20

15、15 ）若（1 + i） + （2 3門=曰+6 （彳bGR. i是虛數(shù)單位），則彳6的值分別等于（）B. 3,2D. -1,4A. 3, -2C. 3, -32. 設(shè)么=士+匚-|z|等于（）D. 21A23. （2015 課標(biāo)全國(guó)II）若日為實(shí)數(shù).且（2 + ai） （a-2i）=-4i,則曰等于（）A. -1 B. 0 C. 1 D. 24 若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)乙 則表示復(fù)數(shù)f的點(diǎn)是（）A. E B. F C. G D. HyF 7EZ11:0!xGH5. （2014 *）7是n的共鞄復(fù)數(shù)，若z+7=2,（z-7）i=2（i為虛數(shù)單位）,則n等于（A1 + iB. -1

16、-i C. -1 + i D. 1-i6. （2015 ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i （i是虛數(shù)單位），則z的模為r / 7若_ :=日+6 （彳b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a+b=8.復(fù)數(shù)（3+i）/77-（2+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)刃的取值國(guó)是9 計(jì)算:(1+2$+3(1 i)2+i帛+丹：(1 + i) (1-1)(73+i)23 210復(fù)數(shù) zi=+(10-a2)i, z2=+(2a-5)i,若 zi + z2是實(shí)數(shù)，數(shù)日的值.【能力提升】11. 復(fù)數(shù) Zi,乃滿足 Zi = /77+ (4-/77)i, z2 = 2cos 8 + (/I +3sin &) i (刃，A ,

17、8 ER),并且 Zi = Z2,則久的取值圍是()A. 1,1999B.16 1C./16D.荷712. 設(shè)fS）=（若；）nJ,則集合MS）中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1B.2C.3D.無(wú)數(shù)個(gè)13. 已知復(fù)數(shù)z x+yi,且z2 =,則f的最大值為a 1 j14. 設(shè)aWR,若復(fù)數(shù)之=喬丁+丁在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y=Q上，則日的值為.15 若1+也i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x+bx+c= 0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則b=, c=,【鞏固練習(xí)參考答案】1A.2. B. 3. B. 4. D. 5. D. 6. &7. 3.8./7|.9.解+學(xué)切=*=T_3iI I2+i2+i,（1+2i）2+3（1

18、-i） 一3+4i+3-3i i i（2-i） 1 . 2. E =k=rH=5+5-“、1-i . 1 + i 1i+ i1 + i f -1 + i,（1 + $+（1 _ $_+巧_三+2 - 1 m 1 一審匚（審+i）（-“ 一 i （一以一必丄迴（羽+i廠（羽+$ =科=4=44 _32/ 32 10.解 z（ + 乃=日+5+ （a10） i + _ 日+ （2a5） i =（卄厶 + _ J+（孑一1）+ （2a5） i日一13 =（卄5）（”）+（昇鮎-iv7i + z2是實(shí)數(shù)，Aa2+2a-15=0,解得日=一5 或日=3.又（日+5）（日一 1）工0, 曰$5且日$1,故日=3.11.解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得0=2cos 0,|4 /77 = A +3s in8,化簡(jiǎn)得 4 4cos 0 = A +3sin0 ,由此可得久=4cos& 3sin &+4=4(*1sin &)3sin &+4 = 4sir? 8 3sin 6 = (3、9r 9sin J-因?yàn)?sin 0 1, 1,所以 4 sirV&3sin 6 G 69 ? 答案 C12.解析 f(n) =| 若()+r = i