微積分學(xué)習(xí)總結(jié)

1、第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖區(qū)間定義域不等式 定義集合 對應(yīng)法則I表格法表達方法圖象法 0，使得對每一個 x D，都有f x M則f(x)為D上的有界函數(shù)。幾何意義，若f(x)為D上的有界函數(shù)，則 f(x)的圖象完全落在直線 y=-M與y=M之間。注意：直線y=-M，y=M不一定與曲線相切。有界函數(shù)定義的反面是定義 設(shè)y=f(x)為定義在 D上的函數(shù)，若對每一個正常數(shù)M (無論 M多么大)，都存在x0D，使f x0 M，則稱f(x)為D上的無界函數(shù)。6 函數(shù)的延拓與分解有時我們需要由已知函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù)來解決實際問題，這里我們從函數(shù)的特性岀發(fā)，開拓由已知 產(chǎn)生新的函數(shù)的方法。設(shè)y

2、f x,x 0,a，我考慮區(qū)間-a,a上的函數(shù)F(x)，它是偶函數(shù)，且在0,a上，使F(x)=f(x)，則宀亠f x, x 0,a,應(yīng)有F x f x x a,0.稱F (x)是f(x)的偶延拓同樣可給岀f(x)的奇延拓，即函數(shù) F ( x)在-a,a上的奇函數(shù)，且在(0,a) 上, F ( x) =f(x)，則應(yīng)有f x , x 0, aF x 0, x 0這樣，研究f(x)只要，研究F (x)就可以了。f x , x a,0同樣，對于函數(shù) y=f(x), x a, b，可以構(gòu)造一個以(b-a)為周期的周期函數(shù)F (乂)，在(a,b) 上,F (x) =f(x)，則有 F Xf x , x

3、a,bf x n b a ,xnb n 1 a, n 1 b na , n z這就是函數(shù)f（x）的周期延招，研究 f（x）只要研究F 此外，定義在區(qū)間（ff Xf X-a,a）上的任何一個函數(shù)X f X（X ）就可以了。f（x）都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和事實上設(shè)f1 X由奇偶函數(shù)的定義知,fl（X ）是奇函數(shù)。f2（X ）是偶函數(shù)，且ff1 xf2 x .X g1 Xg2我們還可以證明fl（X）, f2（X）是唯一存在，如果其中g(shù)1（x）是奇函數(shù)，g2（X）是偶函數(shù)，于是f X g1 X g2 X , fX g1 Xg2X g1 Xg2 X ,f x解得g1 x xf1 X，g2解題

4、基本方法與技巧一、求函數(shù)定義域的方法（2）偶次根號下應(yīng)大于或等于零;分式的分母不能為零;1 若函數(shù)是一個抽象的數(shù)學(xué)表達式子，則其定義域應(yīng)是使這式子有意義的一切實數(shù)組成的集合，且在（1）(3)對數(shù)式的真數(shù)應(yīng)大于零且底數(shù)大于零不為1 ;（4） arc sin X 或arc cos X，其(5)tan x，其 k 2若函數(shù)的表達式由幾項組成，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。定義域是除了使數(shù)學(xué)式子有意義還應(yīng)當(dāng)確保實際有意義自變量取值全體組成的x k , k 乙 cot x ,其 k2則它的定義域是各項定義域的交集；（6）（7）2. 若函數(shù)涉及到實際問題， 集合。3. 對于抽象函數(shù)的定義域問題，要依

5、據(jù)函數(shù)定義及題設(shè)條件。例1求下列函數(shù)的定義域：(1) y 3x x3 ；(2) yarc2解（1）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足3x1 XX30?；営?0,.30.解之，得定義域為 X0,：?；3。(2)要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足2x1 x1，即2x1 X例2不清設(shè)f X故所給函數(shù)的定義域為x : x R 且 x 1,x2x注意：如果把一1丄x 2化簡為，那么函數(shù)的定義域為1的一切實數(shù)，因此，求函數(shù)的定義化簡有 122 1，321，1 x1 x不等式各邊除以(-2)有，31121 x21x2各邊取倒數(shù)得，2。解之，得函數(shù)的定義域為3，求f(x)的定義域1 x 2解要使函數(shù)式子有意義，必須

6、滿足變形式時需特別小心，避免出錯。3已知f Xx2e1 x且 x 0，求并寫出它的定義域。由In 14 設(shè)f(x)的定義域為要使f(x+a)+f(x-a)有意義，必須滿足000，1，試求 f(x+a)+f(x-a)的定義域(a0)。1,1,1 a,a.知函數(shù)的定義域為a。當(dāng)a 1時，由a1 a，知定義域2即 x 0，所以 x In 1 x , x 0。不存在。、求函數(shù)值域的方法1. 由定義域x的范圍，利用不等式求岀f(x)的范圍；2. 若y=f(x)有反函數(shù)x=F-1(y)，求岀反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域;3.利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域。例5 求下列函數(shù)值域:（1） y x ,1

7、x ；(2) yx2 2x 1(3) y解（1）令1 x t,則x 1 t2，于是yx 1 x 1 t2 t當(dāng)且僅當(dāng)t故函數(shù)y x . 1 x的值域是(2)由 y -x 3，得（x+3）y=x+1，解之,的反函數(shù),x 3x的定義域是yy 11,故函數(shù)值域是,11,（3）由原函數(shù)式變形，得2x 1,y 1 x2當(dāng) y-1=0,即y=1時，x=0；當(dāng)0,即y故函數(shù)的值域為0，4。三、判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法例6 判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：（1） （ i） ysin x 0 x ；x 1（2）（ i）y 廠x 1解（1）由y=sinx的定義域是0 ,n , s(ii) S . 1 COS

8、2 t 0 t ,1(ii) yx 1.1 COS2t的定義域是0 ,n 。知兩函數(shù)定義域相同,又 SV1 cos21Jsin2tsi ntsi nt 0 t,知兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，故（i）（ ii）為同一函數(shù)。x 1（2）由y 2的定義域是xx 1兩函數(shù)定義域不同，盡管當(dāng)x 1時,1的全體實數(shù),是同一個函數(shù)的定義域是1的全體實數(shù)，知，知兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，但（i)( ii )不四、求反函數(shù)方法步驟：1.從 y=f(x)中解岀 x=f-1(y) ;2.改寫成 y=f-1(x),則 y=f- 1(x)是 x=f 1(y)的反函數(shù).例7 求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1) y41 _X1 x 0 ；( 2

9、) y Vx O,a工1常數(shù))2解(1)由fx2 3廠x2V 1 X 2 V 1 X 2 f x，知f(x)為偶函數(shù)(2)由 f XIn -In,1x 1xIn1x 1 x(3)由 fx1111x a1 21x a1 21xa1 ax1111xa2 1xa2xax a12ax1 a1丄211-fx，知f(x)為奇函數(shù)a12In 10,知f(x)為奇函數(shù)。七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法1 周期函數(shù)周期的求法(1)若T為f(x)的周期，則f(ax+b)的周期為 a 0axx(1) f x2ta n3ta n ；23(2)44x sin x cos x ；( 3)(2)若f(x)的周期為Ti, g(

10、x)的周期為T2,則cif(x)+C2g(x)的周期為Ti, T2的最小公倍數(shù)。2 周期函數(shù)的判斷方法。(1) 用定義。(2) 用周期函數(shù)的運算性質(zhì)。常見函數(shù)的周期：sinx,cosx,其周期 T=2n; tan x, cot x, sin x, cosx,其周期 T=n。例12 求下列函數(shù)周期x解(1)由tan 的周期T12x故f(x)的周期性期為6n-2 ，tan的周期 T231313(2) 由 f2x sin x彳1f1sin 2x22cos x222si ncos4x2x cos x11 14341 cos4x，矢知4f(x)的周期T21042(3)設(shè) xn r 0 r1,nZ , T

11、為任意整數(shù),由x T fn T r nTrn T rnT r Tnrnr n r f x知任意整數(shù)均為其周期，則最小周期T=1例13 若函數(shù)f Xx的圖形關(guān)于兩條直線x=a和x=b對稱(ba)，則f(x)為周期函數(shù)。證由條件函數(shù)的對稱性知fax fa x ,(1)f bx f b x ,(2)故函數(shù)在a,bK 中占(a+b)/2處的值等于占 aab a處的函數(shù)值1 八、處口八、2/和1 b2從而猜想如果f(x)為周期函數(shù)，則周期應(yīng)為bb aab a2 b a22事實上f x2 b af b x b 2af bx b2af2a xfa ax fa ax f x所以f(x)是以2(b-a)為周期的

12、周期函數(shù)。八、單調(diào)函數(shù)的判斷方法1 .用定義。2 利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)。(1)兩個遞減(增)函數(shù)的復(fù)合是遞增函數(shù)，一個遞增、一個遞減函數(shù)的復(fù)合是遞減函數(shù) 例14 設(shè) x , X及f(x)為遞增函數(shù)證明：若(1)(2)證 設(shè)X0為三個函數(shù)公共域內(nèi)的任一點，則Xo f XoXoXo由(1)以及函數(shù)f(x)的遞增性知f Xo f f Xo ,Xo從而Xof f Xo同理可證f f xoxo由Xo的任意性知，于是(2)式成立。九、函數(shù)有界性的判斷 判斷函數(shù)是否有界，經(jīng)常用定義。 例15 判斷下列函數(shù)是否有界:(1) f X;1 X(2)12Xo,1解(1)由f(x)的定義域是Ro當(dāng)X 0時，f XX1

13、X2x 12x 2，當(dāng) % 時,fO O,有 fO1知x R時，f x ，所以f(x)為有界函數(shù)。2卄1(2)M O,取 Xo O,1 o1Jm 1f Xo1M 1M 1 M 1 M .由無界函數(shù)的定義知 f(x)在(O，1) 上無界第二節(jié)函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限定義函數(shù)極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖lim f(x) Axlim f (x) Ax X0lim f (x)x xolim f (x)性質(zhì) 唯性,有界性,不等式，保號性，四則運算r夾逼定理判斷函數(shù)極限存在準(zhǔn)則單調(diào)有界定理單側(cè)極限與雙側(cè)極限j函數(shù)極限與數(shù)列極限一一歸結(jié)原則。關(guān)系定理極限與連纟函數(shù)極限與無窮小無窮大與無窮小無窮小的階高階、同階、等價。函數(shù)連

14、續(xù)定義 lim f(x)x x0f(x0)或 lim y 0x 0可去間斷點第一類間斷點跳躍間斷點間斷點分類第二類間斷點閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的 閉區(qū)間上連續(xù)內(nèi)容提要與釋疑解難最大(小)值定理V零值點定理(根的存在定理)介值定理、函數(shù)極限的概念1. lim f(x)A:若存在一個常數(shù)A,x0, X0,當(dāng) xX 時，都有 f (x) A2. lim f (x) A:把 1 中“ x X 換成“ x X ”x3. lim f(x) A:把 1 中“ x X ” 換成“ x X ” x7定理 lim f (x) A Jim f (x) A且 Jim f (x) A.limX Xo

15、f (x) A:設(shè)f (x)在Xo的某空心鄰域U Xo有定義，若存在一個常數(shù)A，0,0,當(dāng)0Xo時，都有f (x)limX Xof (x) A:f (x)在xo的某左半鄰域(xo)內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù)A，o,o,當(dāng)xXoo時，都有f(x)可用記f (Xoo)或 f(Xo)極限值 A， 因此可寫成lim f (x)X Xof (x0 0)或 lim f (x)f (x0 )X Xo6. limX Xof(x) A:設(shè)f(X)在Xo的某右半鄰oU (Xo)內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù)A,o,o，當(dāng)Xo8時，都有f (x) A此時也可用f (Xoo)或 f(X。)表示右極限因此可寫成lim fX X

16、of Xoo 或 lim f(x)x X)Xo。定理 lim fX Xolim fX xoA 且 lim f x A.X XoXo的左右極限7. lim f (x)X XoM o,o,當(dāng)oXo時，都有f(x)M。此時稱xXo 時，f(x)該定理是求分界點兩側(cè)表達式不同的分段函數(shù)在該分界點極限是否存在的方法，而如果在 存在且相等，則在該點的極限存在，否則不存在。是無窮大量。而 lim f (x)X Xo，只要把公式中“f(x)M ” 改成“ f(x)，lim f (x)X Xo，只要把上式中“ f (X)”改成“f (X)8. im f (x)M o,X時，都有f(x)讀者同理可給出lim (或

17、X)f(x)(或 )定義。注：lim f (x)X xoA (常數(shù))與 lim f (x)X xo的區(qū)別，前者是表明函數(shù)極限存在，后者指函數(shù)極限不存在，但還是有個趨于無窮大的趨勢。因此，給它一個記號，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說 函數(shù)極限存在，指的是函數(shù)極限值是個常數(shù)。9. lim f (x) o。稱f(x)當(dāng)xXo是無窮小量。這里的Xo可以是常數(shù)，也可以是X Xo定理 lim f(x)A(常數(shù))f(x) A (x)。X Xo其中 lim (x)0。x x010若 0, M 0,當(dāng)x U(Xx,)時，都有f(x) M，稱f (x)當(dāng)xXo時是有界量。、無窮小量階的比較，無窮小量與無窮

18、大量關(guān)系設(shè) lim f (x)X x00, lim g(x)，以后我們不指岀都是指的這個意思)(1)若f(x) lim0，稱f(x)當(dāng)Xx X。g(x)f(x)(g(x)(xX0 )。(2)若f(x) limc(常數(shù))0,，稱x Xo g(x)(3)若.f(x) lim1，稱 f (x)當(dāng) Xx x g(x)此時(2)式也可記作f x cg xX(4)若.f(x)limk c(常數(shù))0(kx X0 XX0(這里x0可以是常數(shù)，也可以是X0時是g(x)的高階無窮小量，記作由等價無窮量在求極限過程中起到非常重要的作用，因此，弓I入X0。f(x)當(dāng)XX0時是g(x)的同價無窮小量。x0時是g(x)的

19、等價無窮小量，記作f x g x xX。，0常數(shù))，稱f (X)當(dāng)XX0時是X X0的k階無窮小量。若 lim f (x)1。記作 f (x) g(x)(x x0)，x x g(x)如果f(x), g(x)均是無窮小量，稱為等價無窮小量； 如果f(x), g(x)均是無窮大量，稱為等價無窮大量;如果f(x), g(x)既不是無窮小也不是無窮大，我們稱為等價量。例如 lim f (x)A(常數(shù))0，則 f (x) A(xx0)X X)注：A不能為零，若 A=0， f (X)不可能和0等價。X。時，均為無窮小量，則無窮小量的性質(zhì)：1若 1(X),2(X), m(X )當(dāng)X(i) lim Ci i(

20、x) C2 2(x)Cm m(x)0.x Xo其中C|,C2, cm均為常數(shù)。(ii)吧 i(x) 2(X) m(X)02 若f (X)當(dāng)XX0時是有界量,(X)當(dāng)XX0時是無窮小量，則lim f(x) (x)X x0無窮大量的性質(zhì)：1 有限個無窮大量之積仍是無窮大量。2 有界量與無窮大量之和仍是無窮大量 無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系：r r1若 lim f (x),則 limxxx X0 f ( x)若 lim f(x)0,且0,當(dāng)xXxo0U (x0,)時f (x) 0,則 limx x函數(shù)連續(xù)的概念。定義若 lim f (x)f (x0),稱f (x)在x x0 處連續(xù)。X X語言可寫為

21、設(shè)f (x)在x0的某鄰域U (x0)內(nèi)有定義，若0,0,當(dāng)xX。時，都有f(x)f (x0)，稱f (x)在X X0處連續(xù)。用函數(shù)值增量y形式可寫為定義 若lim y 0,稱f (x)在x x0處連續(xù)。x 0若lim f (x) f (x0),稱f (x)在x x0處左連續(xù)。X x若lim f (x) f(x),稱f (x)在x X0處右連續(xù)。X X0定理f (x)在x0處連續(xù)f (x)在x0處既是左連續(xù)又是右連續(xù)。如果f (X)在X X0處不連續(xù)，稱X X0為f(x)的間斷點。間斷點的分類：(1)若lim f (x) A(常數(shù)),但f (x)在x x0處不連續(xù)，稱x x0是f (x)的可去

22、間斷點X X0若xXo為函數(shù)f(x)的可去間斷點，只須補充定義或改變f(x)在x X0處的函數(shù)值,使函數(shù)在該點連續(xù)。但須注意，這時函數(shù)與f (x)已經(jīng)不是同一個函數(shù)但僅在x x0處不同，在其它點相同。我們正是利用這一,性質(zhì)去構(gòu)造一個新的函數(shù)F (x)，使F (x)在某閉區(qū)間上處處連續(xù)，因而有某種性質(zhì)。當(dāng)x x0時，也具有這種性質(zhì)。而x x0時，F(xiàn)(x) f (x)，所以f (x)在x x0的范圍內(nèi)也具有這種性質(zhì)，從而達到了我們的目的例如f(x)呼lim0f(x)x x 0但f(x)在x 0處沒定義，知f(x)在x 0處不連續(xù)，設(shè)F(x)sin xx1,xx 0,0.W F x在x 0處連續(xù)，但

23、F x與f x定義域不同,雖然F(x)與f (x)不是同一函數(shù)，但在x 0處完全相同，又如f(x)sin x,xx0, x0,0.lim0f(x)f (0)0,知f(x)在x 0處不連續(xù)設(shè) F(x)sin x,xx1, x0,0.則F(x)在x 0處連續(xù)，雖然 F(x)與f (x)定義域相同，但在 x0處，兩個函數(shù)值不同，知F(x)與f(x)不是同一函數(shù)，但僅在x 0不同，其余點函數(shù)值處處相同。(2) 若 lim f (x)f (x0 0). lim f (x) f (x0 0),但 f (x 0) f (x 0)，稱 x x0 為 f (x)x x0x x0的跳躍間斷點，稱f(x0 0) f

24、 (x0 0)為f (x)的跳躍度。(1)( 2)兩種類型的特點是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點。(3) 若X。處，左、右極限至少有一個不存在，我們稱x X。為f (x)的第二類間斷點。若lim f (x)，我們也稱xx為f (x)的無窮型間斷點，屬于第二類間斷點x 勺四、函數(shù)極限的性質(zhì) 在下述六種類型的函數(shù)極限:(1) lim f(x)X(2) Jim f(x)(3) lim f (x)(4)lim f (x)X Xo(4)lim f (x)X Xo(6) lim f (x)X X它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，我們以lim f(x)為例，其它類型極限的相應(yīng)性質(zhì)的敘述只要作X x

25、o適當(dāng)修改就可以了。性質(zhì)1 (唯一性)若極限limX Xof(x)存在，則它只有一個極限。性質(zhì)2 (局部有界性)若極限lim f(x)存在，則存在xo的某空心鄰域X Xo0 0U (x0)，使 f (x)在 U (x0)內(nèi)有界。、:I . 7.注意:lim f (x)存在，只能得岀f(x)在xo的某鄰域內(nèi)有界，得不岀XX0f (x)在其定義域內(nèi)有界。若 lim f (x) A, lim g(x) B,且A B，則存在X XoXoXXo0的某空心鄰域U (Xo, o)，使0x U(Xo, o)時,都有f (x) g(x)。性質(zhì)4(局部保號性)若 lim f (x)X xoA o(或o)，則對任何

26、常數(shù)A(或A0)，存在X。o的某空心鄰域u (x0)，使得對一切0x U (x0)，都有f (x)性質(zhì) 5 (不等式)若 lim f (X) A, lim g(x) X X0Xxo0(或f (x)0)成立。0B，且存在Xo的某空心鄰域U(Xo, o )，使得對一切0x U(Xo, o)，都有 f (x)g(x),則 A性質(zhì)6 (復(fù)合函數(shù)的極限)若limX Xo(x)Uo,limU Uof(u)A，且存在X。0的某空心鄰域U(Xo,)，0U (Xo,)時，(x)性質(zhì)limX X則limX6是求極限的一個重要方法一一變量替換法，即f ( (x)令(x) u lim f (u) A。Uo ，xof(

27、x)limU uof(u) A。且 x xo, (x) UoUo7 (函數(shù)極限的四則運算)limX Xof(x)與lim g(x)x Xo均存在，則函數(shù)f(x)g (x), f (x) g (x), cf (x)(c為常數(shù))在Xx0時極限均存在且(1) lim f (x)X Xog(x)lim f (x)X Xlim g(x)；X Xo(2)lim f (x)X Xog(x)lim f (x) lim g(x)；X XoXX(3)lim cf (x)X XoC limX Xof (x);又若lim g(x)X Xoo,則g xXo時的極限也存在，且有l(wèi)im Xn Xo Xn xo,n 1,2,

28、極限 limnn逆否定理若存在兩個數(shù)列l(wèi)im f(xn) A, lim f(xn)B, A B 或存在nn存在。此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個重要方法。五、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)若函數(shù)f (x)在點x x0處連續(xù)，即lim f (x)x xo的局部有界性，局部保號性，不等式等，只要把利用極限的四則運算，我們有性質(zhì) 1 (連續(xù)函數(shù)的四則運(4)lim 型x Xo g(x)lim f (x)x X0lim g(x) X Xo利用極限的四則運算，可得下列重要結(jié)果。nn 1lim_ (a。， ,an,bo, ,bm均為常數(shù)，a 0,b 0)x boxbixbm ixbmxn a0X，m Xm bo1 . a

29、1LX1an 1 n 1X1an nX0, nao b ,n bo,nmmmb1- L Xb 1bm 1 m 1Xbm mX上面的結(jié)論可作為公式用。性質(zhì)8 (歸結(jié)原則或海涅(Hei ne)定理)limX Xof (x)存在的充要條件是f (xn)都存在且相等。Xn , Xn , limXn = Xo, lim Xn = Xo,且nnXn ,lim XnXo,lim f (Xn)不存在，則 lim f (Xo)不nnn Xof (xo)，利用極限的性質(zhì)1-5可得到函數(shù)在X Xo連續(xù)oU (Xo)改成U(Xo)即可，讀者自己敘述岀來。算)若 f(x), g(x)在點x Xo處連續(xù)，則f (x) g

30、 (x), f (x)g(x),cf (x)(c為常數(shù))f (x) (g(xo)o)在x xo處也連續(xù)g(x)性質(zhì)2若u(x)在Xo處連續(xù)，yf (u)在uo(xo)處連續(xù)，則y f( (x)在x Xo處也連續(xù)且 lim f ( (x) f( (xo) f(lim (x)XX)x Xo在滿足性質(zhì)2的條件下，極限符號與外函數(shù)f可交換順序，如果僅要可交換順序，有推論若limx x0(x) U0,yf(u)在u U0處連續(xù),則nf(X)f (limX X0(X)。證設(shè) g(x)(x), x x0,亠則g(x)在xX。處連續(xù)，又yf (u)在 uUog(x)U0,x X。，處連續(xù)，由性質(zhì)2 知 lim

31、 f (g(x) f(lim g(x)。x xoXX。由于xx0,要求x x0,有g(shù)(x)(x),所以 lim f (x xo(x)f (limx Xo(X)。在這里，我們巧妙地利用可去間斷點的性質(zhì)，構(gòu)造一個連續(xù)函數(shù)，以滿足所需的條件，上面的性質(zhì)2及推論也是求函數(shù)極限的一個重要方法。即極限符號與外函數(shù)f交換順序，把復(fù)雜函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)極限。定理初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)。六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理(最大值與最小值定理)若 f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a, b上一定能取到最大值與最小值，即存在Xj, x2a,b,f(xj M , f (x2) m，使得對一切x a,b，都有

32、m f (x) M。推論1 若f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f (x)在a,b上有界。定理(根的存在定理或零值點定理)若函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，f (a) f(b) 0 ,則至少存在一點 (a,b),使f( )0。推論1若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f (b), c為介于f(a), f(b)之間的任何常數(shù)，則至少存在一點(a,b),使f( ) c。推論2若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則 值域R( f) m, M 。這幾個定理非常重要，請大家要記住這些定理的條件與結(jié)論，并會運用這些定理去解決問題。七、重要的函數(shù)極限與重要的等價量利用初等函數(shù)的連續(xù)性及

33、極限符號與外函數(shù)的可交換性及等價量替換，夾逼定理可得到下面的重要的函數(shù)極限。.isin x 彳門-1. lim1.2. lim (1 x)x e.x 0 xx o1 13. lim1x)lim 丄1 n(1x) lim ln(1x)x In lim (1x)x In e 1 .x 0 xx 0 xx 0x 0e1、八 xt14. lim設(shè) e 1 t limlim1.0 xt 0 ln(1 t) t 0 ln(1 t)txxln a5. lim lim ln a ln a(a 0, a 1 為常數(shù)).x 0 x x 0 xln a6. lim gU訕匸_9 bb(b為常數(shù),b 0).x 0 x

34、x 0 bln(1 x) x8.arctan x、幾，,設(shè) arcta n x t9.xIn x Xim = X xlim t 0 tantst8t 、nsi 叫t10.klimx a0(k0(a11 .若 lim u(x) ax xqlim u(x)V(x)X x00常數(shù)).1常數(shù)，k為常數(shù)).0, lim v(x)X x0V (x) ln u(x)lim eX x0b(a, b均為常數(shù)),則lim V(x) lnu(x)ex x0lim V(x) lim lnu(x)x xox xo=ebln aln abe e即 lim u(x)v(x)abx Xq注：不僅要記住這些公式的標(biāo)準(zhǔn)形式,更要

35、明白一般形式。 即上面公式中的 X可換成f(x)，只要XXoarcsinx、八xl.t7. lim設(shè)arcsinx tlimlim .1x 0xt 0 si ntt 0 sintt時，f (x)0 ,結(jié)論依然成立 利用上述重要極限，我們可以得到下列對應(yīng)的重要的等價無窮小量，在解題中經(jīng)常要利用他們當(dāng) x 0 時，si nxx,l n(1 x) x,eX 1 x, ax 1 x l na(a 0,a 1,常數(shù))b12(1 x) 1 bx(b 0,常數(shù)),arcsi nxx,arcta n x x,1 cosx x .2注：上式中的x可換成f (x)，只要Xx0時，f(x) 0 .結(jié)論依然成立。例如 sin f (x) f (x)(若xx0時,f (x)0)此外，若 lim f (x) A(常數(shù))0,f(x)A(xx。).X X) 解題基本方法與技巧一、求函數(shù)極限的有關(guān)定理等價量替換定理，若(1) f (x) fi(x), g(x) gi(x),h(x) hi x (xx)； lim fi (x)gi(x)X x0hi(x)A(或 )；，則 lim f (x)g(x)x xoh(x)lim fi (x)gi(x)x Xohi(x)A(或).證lim衛(wèi)遊x xoh(x)limx Xofi (x)gi (x) f (x) g(x) hi(x)A 1 1 1A(或hi(x)fi(x