高中數(shù)學(xué)橢圓及其性質(zhì)訓(xùn)練題

1、33m m橢圓及其性質(zhì)訓(xùn)練題a 級(jí)保大分專(zhuān)練1橢圓以 x 軸和 y 軸為對(duì)稱(chēng)軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程為( )x2a y214y2 x2b 116 4x2 y2 x2c y21 或 14 16 4x2 y2d y21 或 x214 4解析：選 c 由題意知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，即 a2b.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，x2所以若焦點(diǎn)在 x 軸上，則 a2，b1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y21；若焦點(diǎn)在 y 軸上，則 a4y2 x24，b2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1，故選 c.16 4x2 y22已知方程 1 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則 m 的取值范圍為

2、( )|m|1 2ma. ， 2b(1,2)c(，0)(1,2) d(，1)1， 2|m|10， 解析：選 d 依題意得不等式組2m0，2m|m|1，3解得 m1 或 1m ，故選 d.23已知橢圓的方程為 2x23y2m(m0)，則此橢圓的離心率為( )1a3b33c221d2x2 y2解析：選 b 由題意得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1，23m m 所以 a2 ，b2 ，2 31 24 30121 212m c2 1 3所以 c2a2b2 ，e2 ，e .6 a2 3 3x2 y24已知橢圓 c： 1 的左、右焦點(diǎn)分別為 f ，f ，橢圓 c 上的點(diǎn) a 滿足 af f f ，2 1 2 若點(diǎn) p

3、是橢圓 c 上的動(dòng)點(diǎn)，則 f p f a 的最大值為( )1 2a323 3b29c415d4解析：選 b 由橢圓方程知 c1，所以 f (1,0)，f (1,0)1 2因?yàn)闄E圓 c 上的點(diǎn) a 滿足 af f f ，則可設(shè) a(1，y )，2 1 2 0代入橢圓方程可得 y209 3 ，所以 y . 4 2 設(shè) p(x ，y )，則 f p (x 1，y )， f a (0，y )，1 1 1 1 1 2 0 所以 f p f a y y .1 2 1 0因?yàn)辄c(diǎn) p 是橢圓 c 上的動(dòng)點(diǎn)，所以 3y 3，1 3 3故 f p f a 的最大值為 .25以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面

4、積的最大值為 1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最 小值為( )a1c2b 2d2 2解析：選 d 設(shè) a，b，c 分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，依題意知，當(dāng)三1角形的高為 b 時(shí)面積最大，所以 2cb1，bc1，而 2a2 b2c22 2bc2 2(當(dāng)且2僅當(dāng) bc1 時(shí)取等號(hào))，故選 d.x2 y26(2019惠州調(diào)研)設(shè) f ，f 為橢圓 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) p 在橢圓上，若線段 pf9 5|pf |的中點(diǎn)在 y 軸上，則 的值為( )|pf |15a144c95b95d132|pf | 132 2a b_.sin a b a b 10解析：選 d 如圖，設(shè)線段 pf 的中點(diǎn)為 m，因?yàn)?o

5、是 f f 的中點(diǎn)，1 1 2b2 5 13所以 ompf ，可得 pf x 軸，|pf | ，|pf |2a|pf | ，2 2 2 a 3 1 2 3|pf | 5故 ，故選 d.1x2 y27已知橢圓 1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓 x2y2a2 b2則橢圓的左頂點(diǎn)為_(kāi)6x80 的圓心，且短軸長(zhǎng)為 8，解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，圓心坐標(biāo)為(3,0)，c3.又 b4，a b2c25.橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓的左頂點(diǎn)為(5,0)答案：(5,0)x2 y28過(guò)點(diǎn) a(3，2)且與橢圓 1 有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為_(kāi)9 4x2 y2 9 4解析：法一：設(shè)所求橢圓方程為 1(ab0)，則

6、 a2b2c25，且 1，a2 b2 a2 b2ab 5， 解方程組9 4 1，2 2得 a215，b2x2 y210，故所求橢圓方程為 1.15 10x2 y2 x2 y2法二：橢圓 1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 5，0)，設(shè)所求橢圓方程為 1( 9 4 5 9 40)，代入點(diǎn) a(3，2)得 1( 0)，解得 10 或 2(舍去)，故所求橢 5 x2 y2圓方程為 1.15 10x2 y2答案： 115 109 已知 abc 的頂點(diǎn) a( 3,0) 和頂點(diǎn) b(3,0)，頂點(diǎn) c 在橢圓x225y2161 上，則5sin csin asin bx2 y2解析：由橢圓 1 知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10，短軸長(zhǎng)為

7、8，焦距為 6， 25 16則頂點(diǎn) a，b 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在abc 中，設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b， c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，則 c|ab|6，ab|bc|ac|5sin c 5c 5610，由正弦定理可得 3.sin 答案：3p1 20 0010點(diǎn) p 是橢圓上任意一點(diǎn)，f ，f 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，f pf 的最大值是 60，1 2 1 2則橢圓的離心率 e_.解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn) p 與點(diǎn) b 重合時(shí)，f pf 取得最大值 60，1 2此時(shí) |of |c，|pf |pf |2c.由橢圓的定義，得 |pf |pf |4c1 1 2 1 2c 12a，所以橢圓的離心率 e .a

8、21答案：211 已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10，兩焦點(diǎn) f ，f 的坐標(biāo)分別為(3,0)和(3,0)12(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若 p 為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，求pf 的面積1 2x2 y2解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1(ab0)，a2 b22a10， 依題意得c3，因此 a5，b4，x2 y2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1.25 16(2)易知|y |4，又 c3，p1 1所以 f pf |y |2c 4612.2 2x2 y2 112已知焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 1 的離心率 e ，f，a 分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右4 b2 2 頂點(diǎn)，p 是橢圓上任意一點(diǎn)，求 pf pa 的最大值和最小值解：設(shè) p

9、 點(diǎn)坐標(biāo)為(x ，y )0 0由題意知 a2，c 1e ，c1，a 2b2a2c23，x2 y2橢圓方程為 1.4 32x 2.0 又 f(1,0)，a(2,0)， pf (1x ，y )， pa (2x ，y )，0 0 0 0 pf pa x2x 2y20 0 01 1 x2x 1 (x 2)2.4 4b b2b214a1 21 2121 212 當(dāng) x 2 時(shí)， pf pa 取得最小值 0，0 當(dāng) x 2 時(shí)， pf pa 取得最大值 4.0b 級(jí)創(chuàng)高分自選1若橢圓 b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓 x2y2c22 半焦距，則橢圓的離心率 e 的取值范圍為( )有四個(gè)交點(diǎn)，其中 c

10、 為橢圓的 5 3 a ， 5 5b0，25 2 3 c ， 5 5 3 5 d ， 5 5 解析：選 a 由題意可知，橢圓的上、下頂點(diǎn)在圓內(nèi)，左、右頂點(diǎn)在圓外，則a c， bc， ac 2 a2c2 ， 整理得 2c22c，解得5 3e .5 5x2 y22(2018南昌摸底考試)p 為橢圓 1 上一點(diǎn)，f ，f 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，25 9過(guò) p 點(diǎn)作 phf f 于點(diǎn) h，若 pf pf ，則|ph|( )1 2 1 225a4c88b39d4x2 y2解析：選 d 由橢圓 1 得 a225，b29，25 9則 c a2b2 2594，|f f |2c8.1 2由橢圓的定義可得|pf

11、 |pf |2a10，1 2pf pf ，|pf |2|pf |264.1 2 1 22|pf |pf |(|pf |pf |)2(|pf |2|pf |2)1006436， 1 2 1 2 1 2|pf |pf |18.1 21 1又 pf f |pf |pf | |f f |ph|，2 2|pf |pf | 9|ph| .故選 d.|f f | 41 2a 2，m2nn2meebdeebdn3已知橢圓 c 的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 a(2,0)，b(2,0)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為32.(1) 求橢圓 c 的方程；(2) 點(diǎn) d 為 x 軸上一點(diǎn)，過(guò) d 作 x 軸的垂線交橢圓 c 于不同的兩點(diǎn) m，n，過(guò) d 作 am 的 垂線交 bn 于點(diǎn) e.求證：bde 與bdn 的面積之比為 45.x2 y2解：(1)設(shè)橢圓 c 的方程為 1(ab0)a2 b2a2，由題意得c 3 ，解得 c 3.所以 b2a2c21.x2所以橢圓 c 的方程為 y21.4(2)證明：設(shè) m(m，n)，則 d(m,0)，n(m，n) 由題設(shè)知 m2，且 n0.直線 am 的斜率 k amnm2m2