運(yùn)用全等三角形證題的基本思路

1、運(yùn)用全等三角形證題的基本思路運(yùn)用全等三角形能夠證明若干與線段或角有關(guān)的幾何問題.那么如何證明兩個(gè)三角形全等呢？ 一般來說，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合圖形尋求邊或角相等， 使之逐步逼近某一判定公理 或定理，其基本思路有：一、有兩邊對(duì)應(yīng)相等，則尋求夾角或第三邊對(duì)應(yīng)相等.例 1 已知：如圖 1 , AB= AC, AA AE,/ 1 = Z 2，求證：BA CE分析：要證明 BD= CE只要證明厶ABDA ACE因?yàn)橐阎獥l件已給出了有兩邊對(duì)應(yīng)相 等，所以只需證明這兩邊的夾角也相等，即/BAD=/ CAE而根據(jù)圖形和已知條件“/1 =/ 2”，即可獲證.證明：/ 1 = / 2,/ 1+/ BAC=/ 2+

2、/ BAC 即/ BAD=/ CAE在厶 ABDDA ACE中，AB = AC,* ZBAD = ZCAE,ABAE. ABDA ACE(SAS),故 BD= CE例 2 已知：如圖 2, AB= DF, AC= DE, BE= FC,求證：AB/ DF.D分析：要證明 AB/ DF,只要證明/ B=/ F,由于/ B、/ F分別在 ABC和 DFE中，這 就要證明厶ABCA DFE因?yàn)橐阎獥l件給出了兩邊對(duì)應(yīng)相等，所以可證明兩個(gè)三角形的第三條邊對(duì)應(yīng)相等，即 BC= FE,而根據(jù)圖形和已知條件“ BE= FC,即可獲證.證明： BE= FC BE+EC= FC+CE 即 BC= FE.在厶 AB

3、C DFE中,AB = DF,彳咼C=DEEC 二 FE.k ABCA DFE(SSS),/ B=Z F,故 AB/ DF.二、有兩角對(duì)應(yīng)相等，則尋求夾邊或任一等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.例 3 已知：如圖3,AB/CDAD/BC.求證：AB= CDAD=BC.分析：要證明 AB= CD AD= BC,只要連結(jié) AC,證明 ABCA CDA因?yàn)橐阎獥l件告訴 AB/ CD AD/ BC這就等于告訴/ 1 = Z 2, / 3=Z 4,而AC又是它們的夾邊，則問題獲證.證明：連結(jié) AC / AB/ CD AD/ BC,/ 1=Z 2, / 3=Z 4 ,在厶 ABC CDA中 ,Z1 = Z2 ac-ca

4、, ABCA CDA(ASA)故 AB= CD AD= BC例 4 已知：如圖 4 , / 1 = Z 2, / 3=Z 4,求證：BE= CD分析：要證明 BE= CD,只要證明厶BCEA CBD在這兩個(gè)三角形中，/ 1 = / 2, / 3 =/ 4,而/ 1的對(duì)邊是BC, / 2的對(duì)邊是CB且有BC= CB則問題獲證.證明：在厶BCEDA CBD中 ,Z3= Z4,BC二 CB,k BCEA CBD(AAS)故 BP CD圖4三、有一邊和該邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則尋求另一角對(duì)應(yīng)相等.B圖5例5已知：如圖 5, ABC中，/ BAC= 90, AB= AC直線 MN經(jīng)過點(diǎn) A, BD丄MN C

5、E 丄MN垂足為D、E.求證：BD= AE分析：要證明BD= AE,只要證明厶ABDA CAE現(xiàn)有條件是一邊和該邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相 等，則還需再證明另一角對(duì)應(yīng)相等，而不難發(fā)現(xiàn)/1 + Z 2= 90,/ 2+Z 3 = 90,所以/ 1=Z 3,則問題獲證.證明： BD丄 MN CE1 MN/ ADB=/ CEA= 90,而/ BAC= 90, / 1+/ 2= 90./ 2+/ 3 = 90. / 1 =/ 3.在厶 ADBDA CEA中,rZADB = ZCEA,ZAB = CA, ADBA CEA(AAS),故 BD= AE四、有一邊和該邊的鄰角對(duì)應(yīng)相等，則尋求夾等角的另一邊對(duì)應(yīng)相等，或另一

6、角對(duì)應(yīng)相等.例 6 已知：如圖 6, ABC中，/ ACB= 90,/ CBA= 45, E是 AC上一點(diǎn)，延長 BC 到D,使CD= CE求證：BF丄AD.分析：要證明BF丄AD.只要證明/ 1 + Z 2 = 90,這時(shí)/ AFB 90,又/ 3+/4 = 90, / 2 =/ 3,那么只需證明/ 1 = / 4,這時(shí)只要證明 ACDA BCE在這兩個(gè)三角形中， 已知 有一邊和該邊的鄰角對(duì)應(yīng)相等，只要證明 CA= CB此時(shí)條件中有/ CBA= 45，可得到 CA =CB,則問題獲證.證明：/ ACB= 90,/ CBA= 45, CA= CB.在厶 ACDn BCE中，CA=CB,彳 ZA

7、CD = ZBCE=90,CDCE. ACDA BCE(SAS). / 1=/ 4./ 4+/ 3 = 90,/ 3=/ 2 . / 1+/ 2 = 90，故 BF丄 AD.例 7 已知：如圖 7, AB= AC, / B=/ C,/ 1 = / 2，求證：AD= AE圖7分析：要證明 AD= AE,只要證明厶ABDA ACE由已知條件知，有一邊和該邊的鄰角 對(duì)應(yīng)相等，只要再證明另一角對(duì)應(yīng)相等，此時(shí)有/ 1 = / 2,可得/ BAD=/ CAE則問題獲證.證明：T/ 1 = /2. / 1+/ BAE=/ 2+/ BAE / BAD=/ CAE在厶 ABDDA ACE中，Zb = Zc,Zb

8、ad = Zcae5 ABDA ACE(ASA),故 AD= AE五、對(duì)于直角三角形來講，則優(yōu)先考慮運(yùn)用“斜邊、直角邊公理”，當(dāng)此路不通時(shí)，再 回到上述思路中去.例8已知：如圖 8，AD丄DB BC丄CC AC= BD,求證：AD= BC.分析：要證明 AD= BC,只要證明厶ADBA BCA而這兩個(gè)三角形是直角三角形，可考 慮運(yùn)用“斜邊、直角邊公理”證明，此時(shí)由題設(shè)條件AC= BD結(jié)合圖形AB= BA則問題獲證.證明： AD丄DB BC丄CA ADBDA BCA都是直角三角形，在 Rt ADB和 Rt BCA中，BD = AC,AB = BA, Rt ADB Rt BCA(HL)，故 AD=

9、 BC六、對(duì)于運(yùn)用全等三角形證明的結(jié)論一次不到位時(shí)，則可反復(fù)運(yùn)用上述思路進(jìn)行證明.例 9 已知：如圖 9, AB= DE AF= CD EF= BC,/ A=Z D,求證：BF/ CEg分析：要證明BF/ CE,只要考慮證明“同位角相等”或“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角 互補(bǔ)”，這需要根據(jù)已知條件和圖形特點(diǎn)，先進(jìn)行比較，再作選擇，由于圖中沒有現(xiàn)成的“同位角”和“內(nèi)錯(cuò)角”，但添加輔助線后易得“內(nèi)錯(cuò)角”(連結(jié) BE或CF);另一方面，若考慮“同旁內(nèi)角”，則要證“互補(bǔ)”，而由已知條件較易證得厶 ABFA DEC估計(jì)進(jìn)而證明角“相 等”比證明角“互補(bǔ)”容易，所以可優(yōu)先考慮證明“內(nèi)錯(cuò)角相等”，即連結(jié)BE,設(shè)法證明/ FBE=Z CEB這又需證明 BEFA EBC這樣問題就解決了，請(qǐng)讀者完成這一證明.例10已知：如圖10,在厶ABCDA DBC中，/ 1 = 7 2, Z 3 =Z 4, P是BC上任意一點(diǎn).求證：PA= PD匚分析：要證明 PA= PD,只要證明厶ABPA DBP在這兩個(gè)三角形中，由條件才知道一 邊和該邊的鄰角對(duì)應(yīng)相等，由圖形知，還必須證明AB= BD這又需證明 ABCA DBC而由/ 1 =