專升本極限專題精品

1、極限計(jì)算方法總結(jié)、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果1 定義：(各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見高等數(shù)學(xué)函授教材，這里不一一敘述)說明：(1) 一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限(極限值可以觀察得到)都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：lim(3x-1) =5 ； lim qn(2)在后面求極限時，(1)中提到的簡單再用極限嚴(yán)格定義證明。,b為常數(shù)且a = 0)；等等果直時接運(yùn)用，而不需b2 極限運(yùn)算法則定理1已知lim f (x) , lim g(x)都存在，極限值分別為A, B，則下面極限都存在,且有 (1) lim f (x) _ g (x) = A _ B(2) lim f (x) g (x)二 A

2、 B(3) lim 半二A ,(此時需B- 0成立)g(x) B說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時,不能用。3 兩個重要極限(1)=1sin x limX 2 x11 x xmo(1 + x)x =e ；x舉“文=e說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式,作者簡介：靳一東，男，(1964),副教授。1x例如：lim如空=1 , lim(1-2x)亠=e, lim (1弓)3= e ；等等。XT03xXT0I 閃x4 .等價無窮小定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小(即極限是0)。定理3當(dāng)XT 0時，下列函數(shù)都是無窮小(

3、即極限是0),且相互等價，即有：x sin x tanx arcs in x arctanx ln (1 x)ex - 1。說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(g(x)T 0),仍有上面的等價3x2關(guān)系成立，例如：當(dāng)x0時，e -13x ； ln(1 - x?)-x。定理4如果函數(shù) f(x),g(x), fi(x), gdx)都是xx時的無窮小，且f(x)fi(x),g(x)gi(x),lim凹存在時，x x0 gi(x)f (x)l i m 也存在且等于J刈 g(x)f(x) liim3x 兇 gi(x)即 lim 丄= lim 。X 兇 g(x) x X0 gi (x)5 洛比

4、達(dá)法則f (x)和g(x)滿足:定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值(或無窮大)時，函數(shù)(1) f (x)和g (x)的極限都是0或都是無窮大；(2) f (x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；f (x)(3) lim存在(或是無窮大)；g (x)f (x)f (X)f(X)f(X)則極限lim也一定存在，且等于 lim，即lim=limg(x)g (x)g(x) g (x)說明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不 滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件(1 )是否滿足，即驗(yàn)證所求極限0O0是否為“丄”型或“一”型；條件(2) 般都滿足，而條件

5、(3)則在求導(dǎo)完畢0后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注 意條件。6 連續(xù)性定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果 X。是函數(shù)f (X)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有 lim f(x)二 f (x0)。7 極限存在準(zhǔn)則定理7 (準(zhǔn)則1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理8 (準(zhǔn)則2)已知Xn ,yn ,Zn為三個數(shù)列，且滿足:(1)yn 乞 XZn , (n =1,2,3,)(2)lim yn = a, lim z. = anjec則極限lim xn 一定存在，且極限值也是a，即lim xn = a。nnJpc、求極限方法舉例1.用初等方法變形后，再利用極

6、限運(yùn)算法則求極限-2 例 1 lim(、3x 1)2 -223x-3XT1X13 解：原式=lim= lim j (x_1)(V3“1 +2) I (x_1)&3x+1+2)4注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例 2 lim v n( . n 2 - n -1)n_解：原式=limn(n 2)5一1)n_分子分母同除以32 o例 3lim1nc 2門+3門上下同除以3n解：原式()n1lim 3 = 1。n :2.利用函數(shù)的連續(xù)性(定理6)求極限例 4 lim xxt212ex解：因?yàn)閄0=2是函數(shù)f(x)ix2eX的一個連續(xù)點(diǎn),1所以原式=2 e2二2 X2 si n 23. 利用兩個重要極限求極

7、限2 x2sin -2解：原式=lim 2 lim3 x0x 23x 12 (-)22注：本題也可以用洛比達(dá)法則。2例 6 lim (1 - 3sin x)xxJ|01-6sin x解：原式=lim (1 - 3sin x)盂亦xlim (1 - 3sin x)x )01-6sin x-3sin x xe-6。例 7 lim ( 一 )nnT n +1-3解：原式=lim (1)n +1n 1= lim(13尸嚴(yán)二e。ni： n 14. 利用定理2求極限例 8 lim x2 sin T x解：原式=0 （定理2的結(jié)果）5. 利用等價無窮小代換（定理4)求極限xl n(1 3x)例 9 歸0 a

8、rctan(x2)解： x 0時，ln( 1 3x)3x ,2 2arctan(x )x ,原式=lim0x sin x e e 例 10 lim xt x sin x-1)x - sin xsin x # x _sin x e (e 解：原式=lim xtsin x ,e (x si nx) lim1。x Q x - si n x注：下面的解法是錯誤的xsin x(e -1) -(e -1) 原式=limt xsi nxx sin x=lim1。x x -sin x正如下面例題解法錯誤一樣tan x sin x limx )0ta n(x2例 11 limx50.1、 si n ) x si

9、n x1解：；當(dāng) x 0 時，x2 sinx是無窮小，tan（x2sin1）與x2 sin丄等價，xx2 . 1x si n1所以，原式=Hmj =xm0xsin= 0。（最后一步用到定理 2）xx6.利用洛比達(dá)法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代 換等方法。同時，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例 12 lim01 -COSX3x2（例 4）解：原式=XmDsin x6x1-。（最后一步用到了重要極限）6nx COS2X 一 1;X Sin -解：原式=lim -j11例 14 limx 0x - sin x3x解：原式=lim匕字= lim沁二丄3

10、xxT 6x 6。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）sin x xcosx例 15 lim 7 x sin x解:sin x - xcosx原式=lim2ox2xsin x3x2-limx 0cosx (cos x- xsin x) =limx 03x2例 18 lim - Y xIn(1 x)解：錯誤解法：原式= lim J -1 = 0。 x正確解法:原式二 lim ln(1 x) - xx )01 + x=lim 1x 02xxln(1 x)1=limx 0=Hm ln(Uxx )02x(1 x) 2例 19 limx - 2sin xj 3x cosx解：易見：該極限是“ 0 ”型，但用洛比達(dá)法則后得到:0不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：1 一 2cosxlim，此極限x 匸：3- sinx2sin x1 -（分子、分母同時除以x)原式= limJc cosx 3x1=-（利用定理1和定理2）37.利用極限存在準(zhǔn)則求極限例 20 已知 x 2 , xn d2 xn , （n = 1,2,），求 lim x*nT解：易證：數(shù)列xn單調(diào)遞增，且有界（o xn 2），由準(zhǔn)則1極限lim xn存在,設(shè) lim Xn