二次根式地化簡與計(jì)算地策略與方法

1、二次根式的化簡與計(jì)算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法： 先將式中的二次根式適當(dāng)化簡 二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式門訂） 對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算. 二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng). 運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡，除了掌握基本概念【解】原式和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會(huì)收到事半功倍

2、的效果，下面通過具體的實(shí)例進(jìn)行分類解析.1公式法x + y + 2ab-b2【例1】計(jì)算; JL，從而使計(jì)算較為簡便.【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了“完全平方公式”和“平方差公式”2 觀察特征法2屈+翻-3屈【例2】計(jì)算：宀；.-【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以，即得分子，于是可以簡解如下:_73(2 + V2-76)_【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.(1)【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè) 因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分

3、子，這就啟示我們可以用如下解法：=(婦-亦)二-卑)=1+1【解】原式 :_- - :At的系【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中數(shù)若為“1”，那么原式的值就等于“ 1” 了 ！因此，可以解答如下：=1十 【解】原式-丿兀一1)+ 1 +4x-+1 - -h/i -1)=-x + -2 2 2 23 運(yùn)用配方法【例4】化簡【解】原式=72-272+1 =-2x72x1 + 1=-1【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于4.平方法【解】 I.丿=6_辰 + 26-后（6+侮）+ 6 + 7?5= 12 + 2#=.匚-匸- 二【解后評(píng)注】對(duì)于這類

4、共軛根式 -；與-；的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進(jìn)行 化簡.恒等變形公式法【例【方法導(dǎo)引】若直接展開，計(jì)算較繁，如利用公式応：“：宀-；-則使運(yùn)算簡化.【解】原式筋+佢-屈卜薜-価-屈f2x(3 + 8-4a/3)6 常值換元法例7】化簡.【解】令卜二一一：，則：原式=J（/+ 3金滬； +2）+1=+Zz+ 為2 +3a） + l=r腫 + % + if= ?+3d+l=1998J+3x1998+1 39979997 裂項(xiàng)法1 1 1 A 1 + A +【例8】化簡 - -.【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式一廠 / I 匸 肓 .1，=【例9】化簡2+ 2心冠4 + 2/13 +硏+ 71猶

5、 + V7） Q苗質(zhì)+ 碼【方法導(dǎo)引】 這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和，于是則有如下簡解：. + 77）十（令+&耳）亠I戶+煩）二（4 +和耳）【解】原式-1111 + + 7+a/T0 2 + V? a/13 + a/w 4 + a/1371024-713+3333（廁-力+折弋+栃-折+ 4-、厲卜彳8 構(gòu)造對(duì)偶式法十2+朋 -4丄料+2 +厶2 -4【例10】化簡一+ 2 _4 旳 + 2 十 Jjt _4【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒a = ?s +2 + 7 -4 , b =w + 2-4則.? ：丨，二：，：:, - : :

6、Tdw+2-2=w9由里向外，逐層化簡J1998 J1997 佃 96 995 瓦1993 +1 + H1 +1【解】 幕 i 廿-:.-.719943 =1994而廠.J199岡995 + 1 = 1996(19%-1) + 1 二倆花 1996原式匚丁廠丄丫十 ，廠f【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化簡問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處 理.10.由右到左，逐項(xiàng)化簡【例11】化簡2+厲 2 + 2 + (3 2 + 2 + 2 +2 -2+書【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡.【解】原式【解后評(píng)注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多

7、重根號(hào)逐層脫去，逐項(xiàng)化簡，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來說是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.1根式變形法【例1】比較二與二的大小【解】將兩個(gè)二次根式作變形得尸：丁 即- 7- .3【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：當(dāng).:|，.【時(shí)，?，則 f 卍；若.； - ：，2 平方法【例2】比較的大小【解】J - ：，- ?-|：18 12，.述2歷【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng)|，i -時(shí)，如果

8、一 -1，則，如果，3 分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2 【例3】比較一 - 1與7的大小【解】2 呃+） 柘-1 _73 +i_J=Vs +1電+ 1屈（72-1）（72+1）= 72+14 分子有理化法利用分母的大小來判斷【例4】比較陌庶與価-厲的大小715-/14【解】阿血+何_ 1715+./14+斥7w-./13 =麗-冋佰+岳）.V14+713 弔”厲在比較兩個(gè)無理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化,其倒數(shù)的大小.:0與求差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)-，i 時(shí)，則：-14- lOa 0,ft0

9、 時(shí)，如果3 分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2 【例3】比較；與一芒1的大小【解】2 _ 2茁 + 1) _RT肪】1傷+i廠73 + 1電+ （運(yùn)-1仏+】）= 72+14 分子有理化法利用分母的大小來判斷在比較兩個(gè)無理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化,其倒數(shù)的大小.【例4】比較715-,/14與価-厲的大小【解】715-./14 =何血?jiǎng)?15+/14714-/13 =（陽-価）（佰+桝厲）_1V14+713 岳 + 佰又 - ：4-，-1 1八厲+佰 Tm+a/13 而屆-屁屁麗5 等式的基本性質(zhì)法【解法1】【例5】比較的大小.7 I.7

10、: ./I-.776-75 + （/6 + 75） = 76+76佈 +同=12 + 27 = 12 + 2 履廠-胃；廣j7-j608.求商比較法與求差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng):II， 訂時(shí)，則：-0, &0 時(shí)，如果J - L，則.；.，如果；則3 分母有理化法通過運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小.2 1【例3】比較-一 1與-的大小22姑+ 1)馬I解】 m廠値黑+i廣血4 分子有理化法利用分母的大小來判斷在比較兩個(gè)無理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化,其倒數(shù)的大小.【例4】比較,：，1 -1-與 U的大小【解】7

11、15-./14 =何血?jiǎng)?15+/14714-/13 =（陽-価）（佰+叫厲）_1V14+713 岳 + 佰1 1八厲 + 佰 TU+a/13 .而 715-./14714-/135等式的基本性質(zhì)法【解法1】【例5】比較的大小.7 I.7 : ./I-.776-75 + （/6 + 75） = 76+76又-佈 +同=12 + 27 = 12 + 2 履廠-胃宀廣j7-j67e-75【解后評(píng)注】本解法利用了下面兩個(gè)性質(zhì)：都加上同一個(gè)數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變 非負(fù)底數(shù)和它們的二次幕的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們分別乘以這兩個(gè)數(shù)的有理化因式的積，得（77-76）77+）（76+75） = 76+75（76-同舫 + 屈加 + ） = 77 + 76又門廠-左-卜“-【解后評(píng)注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個(gè)正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 利用媒介值傳遞法【例6】比較又廠尺-.；【解后評(píng)注】適當(dāng)選擇介于兩個(gè)無理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進(jìn)行比較.7 作差比較法在對(duì)兩數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)： 一：一 一 r ；一；J.-.； 一：強(qiáng)+1 池【例7】比較；與T 的大小解】,8.求商比較法與求差比