等比數(shù)列的前n項和(教學(xué)設(shè)計)

1、等比數(shù)列的前 n 項和(教學(xué)設(shè)計)等比數(shù)列的前 n 項和（ 第一課時）一 教材分析。（1）教材的地位與作用：等比數(shù)列的前 n 項和選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（5），是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（2）從知識的體系來看：“等比數(shù)列的前 n 項和”是“等差數(shù)列及其前 n 項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、不僅加深對函數(shù)思想的理解，也為以后學(xué)數(shù)列的求和，數(shù)學(xué)歸納法 等做好鋪墊。二學(xué)情分析。（1） 學(xué)生的已有的知識

2、結(jié)構(gòu)：掌握了等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式和求和公式 與方法，等比數(shù)列的概念與通項公式。（2） 教學(xué)對象：高二理科班的學(xué)生，學(xué)習(xí)興趣比較濃,表現(xiàn)欲較強(qiáng), 邏輯思維能力也初步形成，具有一定的分析問題和解決問題的能力，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷， 卻缺乏冷靜、深刻，因而片面、不夠嚴(yán)謹(jǐn)。（3）從學(xué)生的認(rèn)知角度來看：學(xué)生很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前 n 項和從公式的形成、特點等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于 q = 1 這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的

3、過程中容易出錯。三教學(xué)目標(biāo)。根據(jù)教學(xué)大綱的要求、本節(jié)教材的特點和本班學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確 定為：（1）知識技能目標(biāo)理解并掌握等比數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)過程、公式的特 點，在此基礎(chǔ)上，并能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題。1 / 7等比數(shù)列的前 n 項和(教學(xué)設(shè)計)（2）過程與方法目標(biāo)通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維 能力和逆向思維的能力（3）情感，態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，從探索中獲 得成功的體驗，感受數(shù)學(xué)的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的 簡潔美。四重點,難點分析。教

4、學(xué)重點：公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的運(yùn)用。教學(xué)難點：公式的推導(dǎo)方法及公式應(yīng)用中 q 與 1 的關(guān)系。五教法與學(xué)法分析.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識不是被動吸收的，而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的?！边@個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。因此，本節(jié)課采用了啟發(fā)式和探究式

5、相結(jié)合的教學(xué)方法，讓老師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生能夠愉快地自覺學(xué)習(xí)，通過學(xué)生自己觀察、分析、探索等步驟，自己發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，比較論證后得到一般性結(jié)論，形成完整的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用所得理論和方法去解決問題。 一句話： 還課堂以生命力，還學(xué)生以活力。六課堂設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。（時間設(shè)定： 3 分鐘）利用投影展示 在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64 個方格上，第一格2 / 7等比數(shù)列的前 n 項和(教學(xué)設(shè)計)放 1 粒小麥，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的兩倍

6、，直至第 64 格。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容 緊扣本節(jié)課的主題與重點提出問題 1：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)1 +2 +2 2 +23 +l +2 63（二）師生互動，探究問題 5 分鐘提出問題 2：1+ 2 + 22+ 23+ +263究竟等于多少呢 ?有學(xué)生會說：用計算器來求（老師當(dāng)然肯定這種做法，但學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)比較難求。）提出問題 3：同學(xué)們，我們來分析一下這個和式有什么特征？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是 前一項的 2 倍）提出問題 4：如果我們把每一

7、項都乘以 2，就變成了它的后一項，那么我們?nèi)粼诖说仁絻?邊同以 2，得到另一式：利用投影展示.s =1 +2 +2 2 +23 +l +2 63.(1)642 s =2 +2 642+23+24+l +264.(2)比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相 同的項）提出問題 5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：s =26464-1這五個問題的設(shè)計意圖：層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學(xué)生容易接受為什么要錯位相減，經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，也讓學(xué)生感受到這種 方法的神奇這時，老師向同學(xué)們介紹錯位相減法，并提

8、出問題 6：同學(xué)們反思一下我們錯位相減法求此題的過程，為什么（1）式兩邊要同乘以 2 呢？這個問題的設(shè)計意圖:讓學(xué)生對錯位相減法有一個深刻的認(rèn)識，也為探究等比數(shù)列求和公3 / 7qn2 n -22l laqqn等比數(shù)列的前 n 項和(教學(xué)設(shè)計)式的推導(dǎo)做好鋪墊（三）類比聯(lián)想，解決問題。 時間設(shè)定：10 分鐘 提出問題 7： 設(shè)等比數(shù)列a的首項為a ,公比為q,求它的前項和sn 1 n即 s =a +a +a +l +a n 1 2 3n學(xué)生開展合作學(xué)習(xí),討論交流，老師巡視課堂，發(fā)現(xiàn)有典型解法的，叫同學(xué)板書在黑板上。設(shè)計意圖：從特殊到一般,從模仿到創(chuàng)新,有利于學(xué)生的知識遷移和能力提高，讓學(xué)生在

9、探索過程中，充分感受到成功的情感體驗（四）分析比較，開拓思維。時間設(shè)定：5 分鐘將不同的的方法等進(jìn)行比分?jǐn)?shù)析列評價。a根,公據(jù)學(xué)比生為的認(rèn)識,它狀況的，前可能有項如和下幾種方法：n錯位相減法 1：s =a +a q n 1 1+a q1+l+aq +a q 1 1n -1qs = a q +a q +l+aq n 1 1 1 (1 -q ) s =a -a q n n 1 1n -2+aq n -1+a q n 1 1等比數(shù)列 a , 公比為nq, 它的前n項和錯位相減法 2s = a + a n 12+a3+l+an -1+anqs = a + a +l+ n 2 3 ( 1 -q ) s

10、= a -a qn 1 na+ +n -1 na qnl l提出公比 q等比數(shù)列 a ,公比為 ,它的前 ns =a +a +a +ll +a +a n 1 2 3 n -1 nn項和s =a +a q +a q n 1 1 12+l+a q 1n -2+a q1n -1=a +q ( a +a q +l+a q n -3 +a q n -2 ) 1 1 1 1 1=a +q1( s -a q n -1 ) n 1累加法 (1 -q ) s =a -a q nn 1 1等比數(shù)列 lal,公比為 ,它的前 項和ns =a +a +a +ll+a +an 1 2 3 n-1 nq a =a q2

11、1a =a q3 2a =a q4 3la =a qn n -14 / 71nn等比數(shù)列的前 n 項和(教學(xué)設(shè)計)可能也有同學(xué)會想到由等比定理得s =a +a +a +l +an 1 2 3 na a aq 2 = 3 =l = n =qa a a1 2 n -1a +a +l +a 2 3 n =qa +a +l +a1 2 n -1s -a即 n 1 =qs -an n (1-q ) s =a -a qn 1 nl l【設(shè)計意圖：共享學(xué)習(xí)成果，開拓了思維，感受數(shù)學(xué)的奇異美】 （五）歸納提煉，構(gòu)建新知。 時間設(shè)定：3 分鐘提出問題 8:由(1- q)s = a - a q nn 1 1得s

12、=na - a q n 1 11- q對不對？這里的 q 能不能等于 1？等比數(shù)列中的公比能不能為 1？ q =1 時是什么數(shù)列？此時 s =？n【設(shè)計意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)思維 的嚴(yán)謹(jǐn)性】提出問題 9:等比數(shù)列的前n項和公式怎樣?學(xué)生歸納出a (1-q n ) , q 1 s = 1 -qna , q =1 1a -a q1 n , q 1 s = 1 -qna , q =1 1【設(shè)計意圖：向?qū)W生滲透分類討論數(shù)學(xué)思想，加深對公式特征的了解】 （六）層層深入，掌握新知 。時間設(shè)定：15 分鐘5 / 71nn1 1 1 11 1 1 1 631 1

13、1 1等比數(shù)列的前 n 項和(教學(xué)設(shè)計)基礎(chǔ)練習(xí)1已知a是等比數(shù)列,公比為qn2 1(1)若a = ,q= ,則s =3 3(2).則a =2, q =1,則s =1 n練習(xí)2 判斷是非(1).1-2+4-8+16- l + (-2)=1(1-2 n 1 -( -2)(2).1 +2 +2 2 +23 +l +2 n =1(1-2 n ) 1 -2(3).a +a2+a3+l +a8=a(1-a1 -a8)【設(shè)計意圖：通過兩道簡單題來剖析公式中的基本量進(jìn)行正反兩方面的“短、淺、快” 練習(xí)通過總結(jié)、辨析和反思，強(qiáng)化公式的結(jié)構(gòu)特征】例1 已知數(shù)列a是等比數(shù)列,完成下表n題號a1q nansn（1）

14、 1/2 1/2（2） 272/3（3）-288-96-63【設(shè)計意圖：滲透方程思想.通過公式的正用和逆用進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識的能力.掌握 公式中”知三求二”的題型】練習(xí) 3：求等比數(shù)列 , , , , 前8項和；2 4 8 16變式 1、等比數(shù)列 , , , , 前多少項的和是 ；2 4 8 16 64變式 2、等比數(shù)列 , , , , 求第5項到第 10 項的和；2 4 8 16變式 3、等比數(shù)列a,a 2,a 3, an,l求前 2n 項中所有偶數(shù)項的和。（先由學(xué)生獨立求解，然后抽學(xué)生板演，教師巡視、指導(dǎo)，講評學(xué)生完成情況，尋找學(xué)生 中的閃光點，給予熱情表揚(yáng)。)【設(shè)計意圖：變式訓(xùn)練 ,

15、 深化認(rèn)識，增加思維的梯度的同時，提高學(xué)生的模式識別能力，滲透轉(zhuǎn)化思想】練習(xí) 4有一位大學(xué)生畢業(yè)后到一家私營企業(yè)去工作，試用期過后，老板對這位大學(xué)生很欣賞，有意留下他，就讓這位大學(xué)生提出待遇方面的要求，這位學(xué)生提出了兩種方案6 / 7等比數(shù)列的前 n 項和(教學(xué)設(shè)計)讓老板選擇，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一個月的工資為20 元，以后每個月的工資是上月工資的 2 倍，此時，老板不假思索就選擇了第二種方案，于是他 們之間就訂了一個勞動待遇合同。請你分析一下，老板的選擇是否正確？【設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)】 （七）總結(jié)歸納，加深理解。 時間設(shè)定：2 分鐘（1） 等比數(shù)列的求和公式是什么？應(yīng)用時要注意什么？（2） 用什么方法可以推導(dǎo)了等比數(shù)列的求和公式？【設(shè)計意圖：形成知識模塊，從知識的歸納延伸到思想方法的提煉，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)】 （八）課后作業(yè)，鞏固提高。 時間設(shè)定：1 分鐘必做：（1）p66 練習(xí) 1研究性作業(yè)：請上網(wǎng)查閱“芝諾悖論”選做：求和：12 +2 22+3 23+4 24+l +n 2n【設(shè)計意圖：為了使所有學(xué)生鞏固所學(xué)知識，布置了“必做題”；“選做題”又為學(xué)有余力者留有自