數(shù)學(xué)論文Frobenius秩不等式取等號(hào)的一個(gè)新的充要條件

1、frobenius秩不等式取等號(hào)的一個(gè)新的充要條件 (孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感，432100)摘要：1911年，frobenius給出了三個(gè)矩陣乘積秩的一個(gè)不等式：本文給出使frobenius不等式取等號(hào)的一個(gè)充要條件，獲得一些有趣的結(jié)果，討論了它的若干應(yīng)用關(guān)鍵詞：矩陣的秩；frobenius不等式；三冪等陣a new necessary and sufficient condition for equality in frobenius inequalityyan li-ping（071112404）(school of mathematics and statistical of

2、 xiaogan university, xiaogan hubei 432100)abstract: the well-known frobenius rank inequality established by frobenius in 1911 states that the rank of the product abc of three matrices satisfies the inequality ranka new necessary and sufficient condition for equality to hold is presented and then som

3、e interesting consequences and applications are discussed.key word: rank of matrix; frobenius inequality; tripotent matrix1 引言矩陣秩的不等式及等式問(wèn)題一直是矩陣?yán)碚撝辛钊岁P(guān)注的課題，在最近的一些文獻(xiàn)1-8中，研究了任意域或除環(huán)上矩陣秩的一些恒等式問(wèn)題，文獻(xiàn)1利用兩個(gè)矩陣多項(xiàng)式秩的和的一個(gè)恒等式，給出了下列一些秩等式：命題11 設(shè)，則 （1） （2） （3） （4）命題21 設(shè)，則 （5）在命題1與命題2的基礎(chǔ)上，刻畫了三冪等矩陣的若干秩特征1文獻(xiàn)2以矩陣schur補(bǔ)的秩

4、可加性為基礎(chǔ)，得到了任兩個(gè)矩陣的秩之間聯(lián)系的恒等式，由此給出了具有重要意義的秩恒等式：命題32 設(shè)，則 （6） 由此得到了判定矩陣是三冪等的充要條件的秩恒等式，即刻畫三冪等矩陣的秩特征等式：命題42,3,4設(shè)，則 （7）文獻(xiàn)5也從另一角度給出了刻畫三冪等矩陣的秩的特征：命題55 設(shè)，則 （8）此外，文獻(xiàn)1,3中還給出了若干刻畫三冪等或冪等矩陣的，主要方法是利用文獻(xiàn)6的關(guān)于矩陣多項(xiàng)式的如下一個(gè)恒等式：命題64 設(shè)，則 （9）其中分別是的最大公因式與最小公倍式分析這些恒等式可以發(fā)現(xiàn)，許多結(jié)果都與矩陣秩的sylvester或frobenius不等式取等號(hào)的條件相關(guān)聯(lián)關(guān)于矩陣秩的frobenius不等

5、式分別是指命題74 (frobenius不等式) 若分別是域上的，矩陣，則 （10）特別地，當(dāng)命題1中矩陣是單位矩陣時(shí)，由frobenius不等式就得到了sylvester不等式在文獻(xiàn)7中，給出了矩陣秩的frobenius不等式取等號(hào)的一個(gè)充分條件，在此基礎(chǔ)上獲得了一類矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式，并由此推廣了近期一些文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論而文獻(xiàn)8-10也對(duì)sylvester或frobenius不等式取等號(hào)的充分必要條件條件進(jìn)行了探討，而文獻(xiàn)11中證明了命題811 對(duì)任意的廣義逆和，有 （11） （12）由命題2立即得到（10）等號(hào)成立的充分必要條件是，對(duì)任意選定的和，有 （13）正如12中作者在文末中評(píng)論

6、的：“文獻(xiàn)11給出了式（10）中等號(hào)成立的條件，但用到了廣義逆矩陣的概念，比較復(fù)雜.能否得出等號(hào)成立的較為簡(jiǎn)潔的條件? 這看來(lái)也是一個(gè)不簡(jiǎn)單的問(wèn)題” 本文將給出一個(gè)使(10)等號(hào)成立的較為簡(jiǎn)潔的充分必要條件，利用我們的結(jié)果可以把文1-8中諸多結(jié)論統(tǒng)一起來(lái)并進(jìn)行推廣本文中所有記號(hào)與文1相同2主要結(jié)果引理113,14（roth） 設(shè)，則矩陣方程 （14）有解的充分必要條件是矩陣 與 （15）等價(jià)（相抵）. 定理1 設(shè)，則 （16）的充分必要條件是存在矩陣、使得.證明由（16）式得到因此式（16）等價(jià)于 （17） 由于 （18） （19）其中方陣，都是可逆的，由（18）、（19）式得 （20）由（2

7、0），得式（17）又等價(jià)于 （21）根據(jù)引理1，式（21）成立的充分必要條件是存在矩陣、，使得.3 應(yīng)用利用我們的結(jié)果，可以直接獲文獻(xiàn)1-8中相關(guān)結(jié)論.推論17 設(shè)，則 （22）證明由，故存在使得則有 等式兩邊同乘以，得：由定理1可得由此得（22）式成立，命題得證.推論23 設(shè)，而分別是的最大公因式和最小公倍式.則 （23）證明設(shè)，則存在，使此處.因?yàn)?，所以有?，則存在，使，即等式兩邊同乘以，得由定理1得 即得 （24）推論2得證.推論35 設(shè)，且，則 （25）證明由推論1即得推論3成立.推論46,7 設(shè)，兩兩互素，.則 （26）證明由推論3對(duì)用歸納法可證.推論54 設(shè)，則證明取，由推論3即

8、得證.由此結(jié)果可以直接導(dǎo)出冪等陣的一個(gè)秩特征：推論68 設(shè)，則.結(jié)束語(yǔ)：本文利用矩陣的廣義初等變換，并結(jié)合roth引理，給出了三個(gè)矩陣乘積的frobenius不等式取等號(hào)的一個(gè)充要條件，這個(gè)條件適合用于一類廣泛的矩陣.重要的是利用這一結(jié)果可以把文獻(xiàn)1-12中諸多結(jié)論同一起來(lái)并進(jìn)行推廣.致謝：感謝胡付高老師的悉心指導(dǎo).參考文獻(xiàn)1 楊忠鵬, 陳梅香, 林國(guó)欽.關(guān)于矩陣方冪的秩恒等式的注記j. 福州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009 ,37(1): 24-28.2 史及民. 關(guān)于schur補(bǔ)應(yīng)用的一點(diǎn)注記j. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2002 ,25(2):318-321.3 楊忠鵬, 陳梅香, 林國(guó)欽.

9、關(guān)于三冪等矩陣的秩特征的研究j. 數(shù)學(xué)研究, 2008 ,41(3): 311-315.4 王廷明, 黎伯堂. 一類矩陣秩恒等式的證明j. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2007 ,42(2) : 43-45.5 李書超, 蔣君, 向世斌,等. 一類矩陣秩的恒等式及其推廣j. 武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004, 27(1): 96-98.6 林國(guó)欽, 楊忠鵬, 陳梅香. 矩陣多項(xiàng)式秩的一個(gè)恒等式及其應(yīng)用j . 北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2008 ,9(1): 5-8.7 胡付高, 曾玉娥. 一類矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式與應(yīng)用j. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2008 ,43(8): 51-5

10、4.8 胡付高. 關(guān)于一類矩陣秩的恒等式注記j. 武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004 ,27(3):321-323.9 黃衛(wèi)紅, 楊興東, 周月軍. 矩陣sylvester不等式與frobenius不等式等號(hào)成立的條件j. 南京氣象學(xué)院學(xué)報(bào), 2007 ,30(2) : 279-283.10 陳梅香, 楊忠鵬, 林國(guó)欽. 關(guān)于sylvester與frobenius不等式等號(hào)條件的研究j. 莆田學(xué)院學(xué)報(bào),2008,15 (2): 9-13.11 王松桂, 賈忠貞. 矩陣論中不等式m. 合肥: 安徽教育出版社, 1994.12 韓清. 若干矩陣乘積的秩的下界j. 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2003,21(1): 9-11.13 roth w e. the equatio