金融工程復(fù)習(xí)寶典

1、單元一：金融工程概述無(wú)套利定價(jià)法案例假設(shè)種不支付紅利的股票目前的市價(jià)為10元，3 個(gè)月后該股票價(jià)格或?yàn)?11元或?yàn)? 元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，如何為一份 3 個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為元的該股票歐式看漲期權(quán)定價(jià)？構(gòu)建一個(gè)由一單位歐式看漲期權(quán)空頭和 單位標(biāo)的股票多頭組成的組合。 為了使該組合 在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)， 必須滿足下式： 11 0.5 90.25該 組合 在 期權(quán) 到期時(shí) 價(jià)值 恒 等 于 2.25 9 ，所 以無(wú) 風(fēng) 險(xiǎn)組 合 的 現(xiàn)值 應(yīng)為：0.1*0.252.25e 0.1*0.252.19元由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和單位股票多頭，而目前股票市價(jià)為 10 元，因此

2、 10* 0.25 f 2.19f 0.31 元，當(dāng)該期權(quán)價(jià)格為元時(shí)，市場(chǎng)就不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，市場(chǎng)處于無(wú)套利 均衡。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法案例 : 為了用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法求案例的期權(quán)價(jià)格，假定在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，該股票上升0.1*0.25的概率為 P，下跌的概率為 1-P 。則根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理， e 11P 9(1 P ) 10 P 0.6266由于該期權(quán)到期回報(bào)為元(股票上升時(shí))和0(股票下跌時(shí)) ，再次運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，求出該期權(quán)的價(jià)值：0. 1 0 .25 f e 0.1 0.25 (0.5 0.6266 0 0.3734) 0.31元連續(xù)復(fù)利假設(shè)數(shù)額為 A的資產(chǎn)以利率 r 投資 n 年

3、。 每年計(jì)一次復(fù)利，投資終值為： A(1 r )如果每年計(jì) m次復(fù)利，則終值為： A(1 rm )mnmr m mnrn當(dāng) m趨于無(wú)窮大時(shí)，就稱為連續(xù)復(fù)利，終值為：lim A(1)mn AernmA元現(xiàn)值的 n 年現(xiàn)值為 Ae rn 連續(xù)復(fù)利的年利率： r mln(1 rm )mr與之等價(jià)每年計(jì) m次復(fù)利年利率： rm m(em 1)單元二：遠(yuǎn)期與期貨1、遠(yuǎn)期與期貨的比較交易場(chǎng)所；標(biāo)準(zhǔn)化程度；違約風(fēng)險(xiǎn)；合約雙方關(guān)系；價(jià)格確定方式；結(jié)算方式；結(jié)清方 式不同2、無(wú)收益資產(chǎn)、支付已知收益資產(chǎn)、支付已知收益率證券的遠(yuǎn)期(或期貨)合約價(jià)值、價(jià) 格的計(jì)算(定價(jià)) 。遠(yuǎn)期價(jià)值 f ： 遠(yuǎn)期合約本身的市場(chǎng)合理

4、價(jià)值。. 一個(gè)交割價(jià)格為 10 元，交易數(shù)量為 100 單位、距離到期日還有 1 年的遠(yuǎn)期合約， 如果標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為 15 元，市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，則對(duì)多頭來(lái)說(shuō)， 該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為 (15 10 e 10% 1) 100 595 元，對(duì)于空頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值 為 -595 元。遠(yuǎn)期價(jià)格 F：使遠(yuǎn)期合約價(jià)值為 0 的交割價(jià)格。. (15 F e 10% 1) 100 0 F= 元，當(dāng)交割價(jià)格為元時(shí)，該遠(yuǎn)期價(jià)值等于0。遠(yuǎn)期價(jià)格與交割價(jià)格的差異的貼現(xiàn)決定了遠(yuǎn)期價(jià)值。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對(duì)所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈

5、正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價(jià)： (貼現(xiàn)債券)組合 A：一份遠(yuǎn)期合約多頭 f 加上一筆數(shù)額為 Ke r(T t) 的現(xiàn)金。組合 B：一單位標(biāo)的資產(chǎn) S。t 時(shí)刻： f Ke r (T t) S合約現(xiàn)值： f S Ke r (T t)無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨 - 遠(yuǎn)期平價(jià)定理：由于遠(yuǎn)期價(jià)格 F就是使遠(yuǎn)期價(jià)值 f 為0的交割價(jià)格 K，即當(dāng) f=0 時(shí)， K=F。據(jù)此令上式 f=0， 則： F Ser (T t)假設(shè) K Ser(T t) ，即交易對(duì)手報(bào)出的交割價(jià)格大于現(xiàn)貨的終值。在這種情況下，套利者可 以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 借入 S 現(xiàn)金，期限為 T-t 。然后用 S購(gòu)買一單位標(biāo)的資

6、產(chǎn)，同時(shí)賣出一份 該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約， 交割價(jià)格為 K。在 T 時(shí)刻，套利者可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)交割換得K現(xiàn)金，并歸還借款本息 Ser(T t) ,從而實(shí)現(xiàn) K Ser(T t) 的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。若 KSe. ，即交割價(jià)格小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。 套利者可以進(jìn)行反向操作， 即賣空標(biāo)的資產(chǎn)， 將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 進(jìn)行投資，期限為 T-t 。同時(shí)買進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約， 交割價(jià)格為 K。在 T 時(shí)刻，套利者將收到投資本息 Ser(T t)，并以 K 現(xiàn)金購(gòu)買一單位標(biāo)的資 產(chǎn)，用于歸還賣空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Se.-K 的利潤(rùn)。案例無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值：目前，6 個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為

7、 %。市場(chǎng)上正在交易一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為 6 個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為 970 元，該債券的現(xiàn)價(jià)為 960 元。請(qǐng)問(wèn)：對(duì)該遠(yuǎn)期合約的多頭和空頭來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)期價(jià)值分別是多少？S=960,K=970 ，r=%，T-t= ，該遠(yuǎn)期合約多頭的遠(yuǎn)期價(jià)值 f 為：f S Ke r(T t) 960 970 e 4.17% 0.5 10.02 元該遠(yuǎn)期合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為 -f= 元案例：無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格目前， 3 個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為 %，市場(chǎng)上正在交易一個(gè)期限為3 個(gè)月的股票遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票不支付紅利且當(dāng)時(shí)市價(jià)為40元。那么根據(jù) F Ser(T t) ，這份遠(yuǎn)期合

8、約的合理交割價(jià)格應(yīng)為 F 40 e3.99% 0.25 40.40 元假設(shè)市場(chǎng)上該合約的交割價(jià)格為元， 則套利者可以賣空股票并將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 進(jìn)行投資，期末可以獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)元。反之，如果市場(chǎng)上遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格大于元，如元，套利者可以借入 40 元買入股票 并以元的價(jià)格賣出遠(yuǎn)期合約，期末也可以獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)元。遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)F Fer (T t) r (T t)案例：無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格期限結(jié)構(gòu)目前，3 個(gè)月期與 6 個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為 %與%。某不支付紅利的股票 3個(gè)月遠(yuǎn) 期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為 20 元，該股票 6個(gè)月期的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)為多少？F Fer (T t )

9、 r(T t)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)： (附息債券、 支付已知現(xiàn)金紅利的股票、 黃金白銀) 組合 A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke r (T t) 的現(xiàn)金。組合 B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從當(dāng)前時(shí)刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為 I 的負(fù)債。f Ke r (T t) S If S I Ke r(T t )案例：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值目前， 6 個(gè)月期與 1 年期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為 %和%。市場(chǎng)上一種 10 年期國(guó)債現(xiàn)貨價(jià) 格為 990 元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為 1001 元，該債券在 6 個(gè)月和 12 個(gè)月后都 將收到 60 元的利息，

10、且第二次付息在遠(yuǎn)期合約交割之前，求該合約的價(jià)值。計(jì)算該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值： I 60 e 4.17% 0.5 60 e 4.11% 1 116.35元( I 要 貼現(xiàn))計(jì)算該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為：f S I Ke r(T t) 990 116.35 1001 e 4.11% 1 87.04 元 該合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為元支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨 - 遠(yuǎn)期平價(jià)定理：F (S I)er(T t) 案例：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價(jià)格：假設(shè)黃金現(xiàn)價(jià)為每盎司 733美元， 其存儲(chǔ)成本為每年每盎司 2美元，一年后支付， 美元 一年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 4%。則一年期黃金期貨的理論價(jià)格為F (S I)er(

11、T t) (733 I ) e4%1 式中， I 2 e 4% 1 1.92(I 要貼現(xiàn) ) 故， F (733 1.92) e4% 1 764.91 (美元 /盎司) 支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)： 組合 A:一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 Ke r(T t) 的現(xiàn)金。 組合 B: e q(T t) 單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中 q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算 得已知收益率。f Ke r(T t) Se q(T t) f Se q(T t) Ke r(T t) 支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨 - 遠(yuǎn)期評(píng)價(jià)公式： F Se(r q)(T t) 課后習(xí)題 1、假設(shè)一種無(wú)紅利支付的股票目前的

12、市價(jià)為20 元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，求該股票 3 個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格。如果 3 個(gè)月后該股票的市價(jià)為 15 元，求這份交易數(shù)量為 100 單位的遠(yuǎn)期合約多頭方的價(jià)值。r(T t) 0.1 0.25 F Ser(T t) 20 e0.1 0.25 20.51三個(gè)月后，對(duì)于多頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為 (15 20.51) 100 551 2、假設(shè)一種無(wú)紅利支付的股票目前的市價(jià)為20 元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，市場(chǎng)上該股票的 3個(gè)月遠(yuǎn)期價(jià)格為 23 元，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)如何進(jìn)行套利？F Ser(T t) 20 e0.1 0.25 20.51 23，在這種情況下，套利者可以按無(wú) 風(fēng)險(xiǎn)利率 1

13、0%借入現(xiàn)金 X 元三個(gè)月， 用以購(gòu)買 X 單位的股票， 同20 時(shí)賣出相應(yīng)份數(shù)該股票的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為 23 元。三個(gè)月 后，該套利者以 X 單位的股票交割遠(yuǎn)期， 得到 23X 元，并歸還借20 20 款本息 X e0.1 0.25元，從而實(shí)現(xiàn) 23X Xe0.1 0.25 0元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。20 4、某股票預(yù)計(jì)在 2個(gè)月和 5個(gè)月后每股分別派發(fā) 1 元股息，該股票目前市價(jià)等于 30 元，所 有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?6 個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空頭，交易單位為 100。請(qǐng)問(wèn)： 1 該遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的 初始價(jià)值等于多少？(

14、2)3 個(gè)月后，該股票價(jià)格漲到 35 元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率仍為 6%，此時(shí)遠(yuǎn)期 價(jià)格和該合約空頭價(jià)值等于多少？?2/12 ?5/121)2個(gè)月和 5 個(gè)月后派發(fā)的 1元股息的現(xiàn)值 = + =元。遠(yuǎn)期價(jià)格 =?=元。 若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為0。?2/122)在 3 個(gè)月后的這個(gè)時(shí)點(diǎn)， 2 個(gè)月后派發(fā)的 1 元股息的現(xiàn)值 =元。?3/12遠(yuǎn)期價(jià)格 =()=元。?3/12此時(shí)空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值 =100)=-556 元。3、遠(yuǎn)期與期貨的三大運(yùn)用領(lǐng)域：套期保值、套利、投機(jī)。 基差風(fēng)險(xiǎn)：bHGb 特定時(shí)刻的基差， H 是需要進(jìn)行套期保值的現(xiàn)貨價(jià)格， G是用以進(jìn)行套期保值的期貨價(jià)格。 在

15、1 單位現(xiàn)貨空頭用 1 單位期貨多頭進(jìn)行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益： b0 b1 (H0 H1) (G1 G0) (H 0 G0) (H1 G1)在 1 單位現(xiàn)貨多頭而用 1 單位期貨空頭進(jìn)行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益：b1 b0當(dāng)前時(shí)刻的基差 b0 是已知的， b1是否確定則決定了套期保值收益是否確定，是否能夠完全 消除價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)?？梢赃M(jìn)一步將 b1分解為 b1 H1 G1 (S1 G1) (H1 S1)S1 表示套期保值結(jié)束時(shí)，期貨標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格。源自 b1 的不確定性就被稱為基差風(fēng)險(xiǎn)。 多頭套期保值的受益來(lái)源：基差減小 條件：(1)現(xiàn)貨價(jià)格的漲幅小于期貨價(jià)格的漲幅 (2)現(xiàn)貨價(jià)格的跌幅大于期貨價(jià)格的跌幅(3)現(xiàn)貨價(jià)格下跌而期貨價(jià)格上漲 套期保值比率：指用于套期保值的資產(chǎn)(如遠(yuǎn)期和期貨 ) 頭寸對(duì)被套期保值的資產(chǎn)頭寸的比率，即套期保值資產(chǎn)頭寸數(shù)量 衍生品被套期保值資產(chǎn)頭寸數(shù) 量 現(xiàn)貨在 1 單位現(xiàn)貨