幾種證明全等三角形添加輔助線的方法精編版

1、最新資料推薦11全等三角形復習課適用學科數(shù)學適用年級初中二年級適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）120知識點全等三角形的性質(zhì)和判定方法教學目標熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定方法，并學會用應用教學重點學會做輔助線證明三角形全等，常用的幾種作輔助線的方法教學難點通過學習全等三角形，提高學生觀察能力和分析能力教學過程構(gòu)造全等三角形幾種方法在幾何解題中，常常需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，以溝通題設與結(jié)論之 間的聯(lián)系?，F(xiàn)分類加以說明。一、延長中線構(gòu)造全等三角形例1.如圖1，AD是厶ABC的中線，求證：AB+ AC2AD。圖1圖2證明：延長AD至E,使AD= DE,連接CE如圖2。 AD是厶ABC的中線，二 B

2、D= CD。又/ 1 = Z 2，AD= DE, ABDA ECD( SAS。AB= CE在 ACE中，CE+ ACAE, AB+ AC 2AD。、沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形例 2.如圖 3,在厶 ABC中，/ 1 = / 2,/ ABC= 2/C。求證：AB+ BD= AC。圖3圖4證明：將厶ABD沿AD翻折，點B落在AC上的E點處，即：在AC上截取 AE= AB,連接EDb如圖4。/ 1 = / 2, AD=AD, AB= AE, ABDA AED ( SAS。 BD= ED,/ ABC=/ AED= 2/C。而/AED=/ C+/ EDC/ C=/ EDC 所以 EC= ED= BD0

3、 AC= AE+ EC,二 AB+ BD= AG三、作平行線構(gòu)造全等三角形例3.如圖5,A ABC中，AB= AG E是AB上異于A、B的任意一點，延長 AC 至U D, 使 CD= BE,連接 DE交 BC于 F。求證：EF= FD。證明：過E作EM / AC交BC于M，如圖6則/ EMB=/ ACB / MEF=/ CDR AB= AC,a/ B=/ ACB/ B=/ EMB。故 EM = BE BE= CD,二 EM= CB又/ EFM=/ DFC / MEF=/ CDF EFMA DFC( AAS。EF= FD。四、作垂線構(gòu)造全等三角形例4.如圖7,在厶ABC中，/ BAO90, AB

4、= AC。M是AC邊的中點。AD丄BM交BC于D,交BM于E。求證：/ AMB=Z DMC。vZ BAO90, AD丄BM,/ FAC=Z ABM= 90Z BAEv AB= AC, Z BAM=Z ACM 90, ABMA CAF( ASA。Z F=Z AMB, AM = CFv AM = CM,. CF= CMovZ MCD=Z FCD= 45, CD= CD, MCDA FCD(SASo 所以Z F=Z DMC。 Z AMB=Z F=Z DMCo五、沿高線翻折構(gòu)造全等三角形例5.如圖9,在厶ABC中，AD丄BC于D,Z BADZ CAB 求證：ABAC。A圖9圖I。證明：把厶ADC沿高A

5、D翻折，點C落在線段DB上的E點處，即：在DB 上截取DE= DC,連接AEo如圖10。 ADCAADE (SAS。AC= AE,Z C=Z AEDvZ AEDZ B,aZ CZ B。從而 ABAC六、繞點旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例6.如圖11,正方形ABCD中，Z 1 = Z 2, Q在DC上, P在BC上。求證：PA= PB+ DQ。圖11圖12證明：將厶ADQ繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90,使AD與AB重合，得到ABM,即：延長CB到M，使BM = DQ,連接AM。如圖12。 ABMAADQ (SAS。Z 4=Z 2=Z 1,Z M = Z AQD0v AB/ CD, / AQD=Z BAQ=Z

6、1 + Z 3=Z 4+Z 3 = Z MAP。 Z M = Z MAPo PA= PM = PB+ BM = PB+ DQ (因 BM = DQ)?！菊n堂練習】1、如圖，已知 AD=AE,AB=A(求證：BF=FC2、如圖，在 ABC中，AB=AC延長AB到D,使BD=AB取AB的中點E,連 接CD和CE.F為CD中點 求證：CD=2CE/ 1 = / 2。求證:AB=AC+ CD.4、 已知：AB=CD / A=Z D,求證：/ B=Z C5、 已知：如圖，CD丄AB于點D, BEAC于點E, BE、CD交于點0,且AO平 分/ BAC 求證：OB= OC.6如圖，已知C為線段AB上的一點

7、，- ACM和CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：厶CEF是等邊三角形。7、如圖所示，已知 AE!AB, AF丄 AC，AE=AB AF=AC 求證：(1) EC=BF (2)EC丄 BFF8、如圖10，四邊形ABCD DEFG都是正方形，連接 AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N.求證：AE 二 CG ;G口9、如圖，在等腰RtAABC中，/ C= 90, D是斜邊上AB上任一點，AE丄CD于E, BF丄CD交CD的延長線于F, CPU AB于H點，交AE于G.求證：BD- CG.10、已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/ BC, BC=

8、DC CF平分/ BCD, DF/ AB，BF的延長線交 DC于點E。求證：(BFCA DFC (2) AD=DE11、已知：BC=DE / B=Z E,Z C=Z D, F 是 CD 中點，求證：/ 仁/212、已知：AC 平分/ BAD, CEL AB,/ B+Z D=180,求證:AE=AD+BE13、如圖， ABC中,E、F分別在AB AC上, DEL DF, D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.補充: 常見輔助線的作法有以下幾種:1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等 變換中的“對折”.2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線

9、長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”.3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三 角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某 條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明這種作 法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.1、如圖，AC/ BD, EA,EB分別平分/ CAB,/ DBA CD過點 E,求證；AB = AC+BD2、如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC D