11.1 對弧長的曲線積分

1、第第1111章章 目錄目錄 1 11 1. .3 3 格林公式及其應用格林公式及其應用 1111. .4 4 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 1111. .5 5 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 1111. .6 6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式 第第1 11 1章章 曲線積分與曲線積分與 曲面積分曲面積分 1 11 1. .2 2 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分 1 11 1. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 二、二、對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算 一、一、對弧長的曲線積分的概念與性質對弧

2、長的曲線積分的概念與性質 一、對弧長曲線積分的概念與性質一、對弧長曲線積分的概念與性質 1.1.實例實例: :曲線形構件的質量曲線形構件的質量 ox y . sM 勻質之質量勻質之質量 分割分割, 121in sMMM 求和求和.),( 1 n i iii sM 取極限取極限.),(lim 1 0 n i iii sM 近似值近似值 精確值精確值 1 n M i M L 2 M A B 1 i M 1 M 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 .),( iiii sM ,),( iii s 取取 2.定義11.1 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1

3、M ),( ii L ,),( ,),( , ),(,. ,. ),(, 1 121 . . . . n i iii iii iii n sf sf i si nLMMMLL yxfxoyL 并作和并作和 作乘積作乘積 點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一 為第為第又又個小段的長度為個小段的長度為設第設第個小段個小段 分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在 函數(shù)函數(shù)面內一條光滑曲線弧面內一條光滑曲線弧為為設設 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 如果各小弧段的長度的最大值如果各小弧段的長度的最大值,0時 被積函數(shù)被積函數(shù) 積分弧段積分弧段 積分和式積分和式 曲

4、線形構件的質量曲線形構件的質量 .),( L dsyxM ), ( , ),(, L dsyx f L yxf 即即記作記作線積分線積分 第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在 ( , ) L f x y ds 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 .),(lim 1 0 . . n i iii sf 3.存在條件：存在條件： 當當 在光滑曲線弧在光滑曲線弧L L上連續(xù)時，對弧長上連續(xù)時，對弧長 的曲線積分的曲線積分 存在。存在。( , ) L f x y ds ( ,f x y）

5、 4 4. .推廣推廣 .),(lim),( 1 0 i n i iii sfdszyxf 函數(shù)函數(shù) 在空間曲線弧在空間曲線弧 上對弧長的曲上對弧長的曲 線積分為：線積分為： ( , ,f x y z） 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 函數(shù)函數(shù) 在閉曲線在閉曲線 上對弧長的曲線上對弧長的曲線 積分記為：積分記為： 注意：注意： ( , ) L f x y ds ( ,f x y）L (1) ( , )( , )( , )( , ). LLL f x yg x y dsf x y dsg x y ds ).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkf LL

6、.),(),(),()3( 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf).( 21 LLL 5.性質性質 (4)( , )( , ) ABBA f x y dsf x y ds 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 6.6.幾何與物理意義幾何與物理意義 ;),( L dsyxM .),( L dsyxfS柱面面積 柱面面積 s L ),(yxfz ,),()1(的線密度時的線密度時表示表示當當Lyx ;,1),()2( Lds Lyxf 弧長弧長 時時當當 ,),( ),()3( 處的高時處的高時柱面在點柱面在點 上的上的表示立于表示立于當當 yx Lyxf 1111. .

7、1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 (4) . dsy, x dsy, xy y, dsy, x dsy, xx x L L L L 曲線弧的質心坐標曲線弧的質心坐標)5( 曲線弧對曲線弧對x軸及軸及y軸的轉動慣量軸的轉動慣量 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 .dsy, xxI,dsy, xyI L y L x 22 二、對弧長曲線積分的計算二、對弧長曲線積分的計算 定理定理11.1 )( )()()(),(),( ,)(),( )( ),( ),( ,),( 22 b ba a y yj jy yj j b ba ay yj j b ba a y y j j b

8、 b a a dtttttfdsyxf tt t ty tx L Lyxf L 且且上具有一階連續(xù)導數(shù)上具有一階連續(xù)導數(shù)在在 其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設設 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 注意注意: : 1.;ab定定積積分分的的下下限限一一定定要要小小于于上上限限 2.( , ),f x yx y中中不不彼彼此此獨獨立立, , 而而是是相相互互有有關關的的. . 特殊情形特殊情形 .)(:)1(bxaxyL y y .)(1)(,),( 2 dxxxxfdsyxf b aL y yy y)(ba 1111. .1

9、1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 推廣推廣: : )().(),(),(:b ba a y yj j ttztytx )( )()()()(),(),( ),( 222 b ba a y yj j y yj j b b a a dtttttttf dszyxf .)(:)2(dycyxL j j .)(1),(),( 2 dyyyyfdsyxf d cL j jj j)(dc 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 例例1 22 () L xydsL 計計算算，其其中中 為為中中心心在在原原點點，半半徑徑 L曲曲線線 的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為： 3 cos ,sin , 2

10、2 xRyR 22 ()() dxdy dsdRd dd 22 () L xyds 3 2 2 2 RRd 3 R 解解 R為為 的的 左左 半半 圓圓 周周 。 則則 于是于是 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 例例2 (02 )。 2 , :4 ,(1,2)(1, 2). L Iyds L yx 求求 其其中中從從到到一一段段 解解 dy y yI 2 2 2 ) 2 (1 . 0 例例3 解解 ():cos ,sin ,xyz dsxaya ，其其中中 計算計算 zk 2 222 0 ()()xyz dsakak d 222 2 ()akak 2 4yx 1, 2A

11、 1,2B 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 例例4 . 0 , , 2222 2 zyx azyx dsxI 為圓周為圓周其中其中 求求 解解由對稱性由對稱性, , 知知 . 222 dszdsydsx dszyxI)( 3 1 222 故故 ds a 3 2 . 3 2 3 a ),2(球球面面大大圓圓周周長長 dsa 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 例例5 5 cos ,sinxaya， 其方程為：其方程為：設密度為常數(shù)設密度為常數(shù) 的螺旋線，的螺旋線， L zk02（） （1）求求 的質心；的質心； （2）求求 關于關于 軸的轉動慣量軸的轉

12、動慣量 。L z LLz 解解 ( , , ),x y z設質心為：設質心為： 2 2222 0 2 L dsak dak 2 22 0 cos0 L xdsaak d 2 22 0 sin0 L ydsaak d 2 22222 0 2 L zdskak dkak 由于由于 故得質心坐標為：故得質心坐標為： 0,0,xy L L zds zk ds 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 （2） 關于關于 軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為 ，則則Lz z L 222 () z LL Ixydsads 222 2aak 222 2aak 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長

13、的曲線積分 內容小結內容小結 1. 1. 定義定義 kkk n k k sf ),(lim 1 0 szyxfd),( 2. 2. 性質性質 kk n k k sf ),(lim 1 0 L syxfd),( szyxgzyxfd),(),() 1 ( ba aszyxfd),( ),(為常數(shù)baszyxgd),( b 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 3.計算方法計算方法 , )( , )(, )(:bayjttytxL 21 d),(d),(),()2( szyxfszyxfszyxfd ),由( 21 組組成成 ls d)3( ( l 曲線弧曲線弧 的長度的長度)

14、對光滑曲線弧對光滑曲線弧 L syxfd),( b a yj)(),(ttf tttd)()( 22 yj 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 。 對光滑曲線弧對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLy L syxfd),( b a xxf) )(,(y ,)(:Lba L syxfd),( b a sin,cosf 對光滑曲線弧對光滑曲線弧 xx d)(1 2 y d)()( 22 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 思考與練習思考與練習 1. 對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符號可能為負嗎？的符號可能為負嗎？ i S i S 的符號

15、永遠為正，它表示弧段的長度的符號永遠為正，它表示弧段的長度. . 解答解答 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 。 1 34 : 22 yx L 周長為周長為a , 求求 syxxy L d)432( 22 提示提示 0d2 sxy L 原式原式 =s yx L d) 34 (12 22 s L d12a12 O22 y x 3 利用對稱性利用對稱性 sxy L d2 sxy L d2 上 sxy L d2 下 x2 xyd1 2 2 2 )(2 x xyd1 2 2 2 分析分析 2.2. 已知橢圓已知橢圓 1111. .1 1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 。 2. 設均勻螺旋形彈簧設均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為 ,sin,costaytax ),20(tt kz (1) 求它關于求它關于 z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量; z I (2) 求它的質心求它的質心 . 解解 設其密度為設其密度為