12(1)常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

1、1 第十二章第十二章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) infinite series R 2 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 收斂級數(shù)的必要條件收斂級數(shù)的必要條件 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) constant term infinite series 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)的概念和性質(zhì) 3 為什么要研究無窮級數(shù)為什么要研究無窮級數(shù) 是進行數(shù)值計算的有效工具是進行數(shù)值計算的有效工具( (如計算函數(shù)值、如計算函數(shù)值、 出它的威力出它的威力. . 在自然科學和工程技術(shù)中在自然科學和工程技術(shù)中, ,也常用無窮也

2、常用無窮 無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式. . 因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù)因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù), , 故它在積分運算和微分方程求解時故它在積分運算和微分方程求解時, ,也呈現(xiàn)也呈現(xiàn) 如諧波分析等如諧波分析等. . 造函數(shù)值表）造函數(shù)值表）. . 級數(shù)來分析問題級數(shù)來分析問題, , 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 4 1. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義 n n n uuuuu 321 1 (常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù) 一般項一般項 如如 ; 10 3 100 3 10 3 n ; 1 )1( 4 1 3 1 2 1 1 1 n n .)1(111

3、1 1 n 以上均為以上均為(常常)數(shù)項數(shù)項級數(shù)級數(shù). (1) 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 一、一、常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的概念的概念 1 , n n u 給定數(shù)列則表達式 5 這樣這樣, 級數(shù)級數(shù)(1)對應一個部分和數(shù)列對應一個部分和數(shù)列: nn uuus 21 稱無窮級數(shù)稱無窮級數(shù)(1)的的 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散概念級數(shù)的收斂與發(fā)散概念 按通常的加法運算一項一項的加下去按通常的加法運算一項一項的加下去, 為級數(shù)為級數(shù)(1)的的 , 無窮級數(shù)定義式無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么的含義是什么? 也算不完

4、也算不完, 永遠永遠 那么如何計算那么如何計算? 前前n項和項和 部分和部分和. n i i u 1 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 6 例例 1 1 1 2 . 1 n n n前 項之和1 1 1 112 1 1 22 1 2 n n n s 2 認為認為 1 1 1 2 2n n 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 7 例例2 1n n n前 項之和 (1) 12 2 n n n n s 認為認為 1n n 沒有和. 例例3 1 1 ( 1)n n n前 項之和 1, 1 1( 1) 0, n n n n 為奇數(shù) s 為偶數(shù) 無極限無極限 認為認為 1 1 ( 1)n n 沒有和。沒有和。

5、 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 8 部分和數(shù)列可能存在極限部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限也可能不存在極限. 定義定義 ,無無限限增增大大時時當當n , ssn有有極極限限數(shù)數(shù)列列 , 1 收收斂斂 n n u. 1 的的和和叫叫做做級級數(shù)數(shù)這這時時極極限限 n n us n uuus 21 ,沒有極限沒有極限如果如果 n s. 1 發(fā)發(fā)散散則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) n n u 的的部部分分和和如如果果級級數(shù)數(shù) 1n n u .limssn n 即即則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 并寫成并寫成 即即常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散發(fā)散). n n s lim(不存在不存在)存在存在 常

6、數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 9 nn ssr 21nn uu 1i in u 0lim n n r 對對收斂收斂級數(shù)級數(shù)(1), 為級數(shù)為級數(shù)(1)的的余項余項或或余和余和. .顯然有 顯然有 當當n充分大時充分大時, 級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有 極限是等價的極限是等價的. n n n uuuuu 321 1 (1) 稱差稱差 ssn 誤差誤差為為| n r 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 10 注意：注意： （1）任何一個級數(shù)都可以確定一個部分和數(shù)列）任何一個級數(shù)都可以確定一個部分和數(shù)列 . n s （2）對任意數(shù)列）對任意數(shù)列 , n s 都可作

7、出一個級數(shù)都可作出一個級數(shù) 1 , n n u 1 . nn n us 使的部分和數(shù)列恰好是 1nnn uss 令 因此研究級數(shù)的斂散性問題即為研究因此研究級數(shù)的斂散性問題即為研究 其部分和數(shù)列是否有極限的問題其部分和數(shù)列是否有極限的問題 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 11 例例1 討論級數(shù)討論級數(shù) 1 1 (1) n n n 的斂散性。的斂散性。 解：解： 前前n項之和項之和 111 1 22 3(1)n n n s 11111 1 2231 1 1 1 nn n 因為因為 1 limlim 11 1 n nn s n 所以級數(shù)所以級數(shù) 1 1 (1) n n n 收斂，和為收斂，和為1

8、 1 1 1 (1) n n n 即 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 12 例例2 2 )1( 321 nn nsn 而而 n n slim 所以所以, n321的部分和的部分和 級數(shù)級數(shù) 2 )1( lim nn n 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 13 解解時時如果如果1 q 12 n n aqaqaqas q aqa n 1q aq q a n 11 (重要重要) 例例3討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)幾何級數(shù)) 的收斂性的收斂性. )0( 2 0 aaqaqaqaaq n n n 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 14 ,1 時時當當 q 0lim n n q

9、 q a sn n 1 lim ,1 時時當當 q n n qlim n n slim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 時時如如果果1 q ,1 時時當當 q ,1 時時當當 q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa 不不存存在在 n n s lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時時當當 收斂收斂時時當當 ,1 ,1 0 q q aq n n 級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)?q aq q a s n n 11 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 15 討論級數(shù)討論級數(shù)的斂散性的斂散性.)0(ln3 1 aa n n 解解 例例4 因為因為 1 ln3 n n a為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù),是以是以 aln 故故 , 1 時

10、時當當ea e , 1|ln| a級數(shù)級數(shù)收斂收斂. 發(fā)散發(fā)散. e a 1 0 當當 , 1|ln| a 發(fā)散發(fā)散時時當當 收斂收斂時時當當 ,1 ,1 0 q q aq n n ,時時或或ea 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 16 解解 )12)(12( 1 nn un) 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn 例例5 判定級數(shù)判定級數(shù) 的收斂性的收斂性. )12()12( 1 53 1 31 1 nn 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念

11、17 ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ) 12 1 1( 2 1 n sn 2 1 ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂 其余項為其余項為 nn ssr 12 1 1 2 1 2 1 n 即即 2 1 s . 2 1 和為和為 12 1 2 1 n 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 18 的部分和分別為的部分和分別為 n s. n 及及則則 n n ks 于是于是 ,0時時不不存存在在極極限限且且當當 ksn也不存在極限也不存在極限. nn ks , ssn當當 nn ks 證證 性質(zhì)性質(zhì)1 1設常數(shù)設常數(shù) , 0 k 則則 11n n n n kuu 與與 有相同的斂散性有相同的

12、斂散性. 11n n n n kuu 與與令令 n kukuku 21 ;ks 所以所以, 11n n n n kuu 與與有相同的斂散性有相同的斂散性. 結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. . 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 二、二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 12 () n k uuu 19 問問 11 ,? nn nn auau (1)設收斂是任意常數(shù) 問是否收斂 11 ? nn nn auu (2)設a=0,問與a是否相等 11 0,;0,. nn nn auau 時收斂時未必收斂 否！否！ 20

13、性質(zhì)性質(zhì)2 2, 11 n n n n vu 與與設有兩個級數(shù)設有兩個級數(shù) , 1 su n n 若若, 1 n n v .)( 1 svu n n n 則則 1n n u若若 1n n v)( 1 n n n vu 則則發(fā)散發(fā)散. , 1 n n u若若 收斂收斂,發(fā)散發(fā)散, 1n n v均發(fā)散均發(fā)散,)( 1 n n n vu 則則斂散性斂散性不確定不確定. 證證 n i ii vu 1 )( 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì) n i ii n vu 1 )(lim n i i n n i i n vu 11 limlim 即證即證. 級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和 n i i v 1 n i i u 1

14、結(jié)論結(jié)論: : 收斂收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. . 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 21 問問 111 (1)()? nnnn nnn uvuv 收斂,發(fā)散,則 111 (2)()? nnnn nnn uvuv 發(fā)散,發(fā)散,則 發(fā)散發(fā)散 可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散 22 例例6 11 1 3 1 , 2 1 n n n n 1 1 2 1 n n 1 1 2 1 n n 都收斂都收斂. 1 3 1 n n 2 1 1 1 1 1 3 1 3 1 n n 無窮遞減等比數(shù)列的和無窮遞減等比數(shù)列的和 q a S 1 1 發(fā)散發(fā)散時時當當 收斂收斂時時當當

15、,1 ,1 0 q q aq n n 1 1 3 1 2 1 n nn 3 1 1 1 3 1 2 5 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 23 ,)1()1()1( 都都發(fā)散發(fā)散. 但但 ,111 )1(1 收斂收斂. 例例 000 )1(1 0 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 24 性質(zhì)性質(zhì)3 3 添加或去掉添加或去掉有限項有限項不影響一個級數(shù)的斂散性不影響一個級數(shù)的斂散性. 性質(zhì)性質(zhì)4 4 1n n u設級數(shù)設級數(shù)收斂收斂,則對其各項任意加括號所得則對其各項任意加括號所得 新級數(shù)新級數(shù)仍收斂仍收斂于原級數(shù)的和于原級數(shù)的和. 一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,則

16、則注注 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.事實上事實上, 加括后的級數(shù)就應該收斂了加括后的級數(shù)就應該收斂了. 設原來的級數(shù)收斂設原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)則根據(jù)性性 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 質(zhì)質(zhì)4, )11()11(例例如如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 一個級數(shù)加括號后收斂一個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定原級數(shù)斂散性不確定. 25 0lim n n u 證證 1n n us n u n n ulim ss 0 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件 因為因為 則則 所以所以 1 limlim n n n n ss 1 nn ss 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 三、三、收斂級數(shù)的必要條件收

17、斂級數(shù)的必要條件 1 , n n u 若收斂 則 反之不然！反之不然！ 26 注注 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件, , 必要條件不充分必要條件不充分. . 0lim n n u有有 n 1 3 1 2 1 1 常用判別級數(shù)發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散; 如如 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 也可用它求或驗證極限為也可用它求或驗證極限為“0”0”的極限的極限; 0lim n n u 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: 但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 1 lim0, nn n n uu 若則發(fā)散 1 1 sin n n n 如發(fā)散 27 是否收斂是否收斂? 討論討論 n 1

18、3 1 2 1 1調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 由于由于 )1ln(xx )0( x 知知 nn 1 1ln 1 得得 n k n k S 1 1 n n1 ln 3 4 ln 2 3 ln2ln n n1 3 4 2 3 2ln)1ln(n 由由 n n Slim知級數(shù)發(fā)散知級數(shù)發(fā)散. . 發(fā)散發(fā)散 n k k 1 1 1ln )1ln(lim n n 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 28 例例 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性 )1( 1 3 )32)(12)(12( 52 n nnn nn )2( 1 )1( 3 n n n n n 1 3 3ln 3 1 n n n n )3( 級數(shù)收斂

19、的必要條件級數(shù)收斂的必要條件 常用判別級數(shù)發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散. . , 0lim n n u解題思路解題思路 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 29 )1( 1 3 )32)(12)(12( 52 n nnn nn 解解 由于由于 n n ulim 8 1 發(fā)散發(fā)散 0 )32)(12)(12( 52 lim 3 nnn nn n )2( 1 )1( 3 n n n n n 解解 由于由于 n n ulim n n n 1 1 1 lim30 發(fā)散發(fā)散 e 3 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 30 1 3 3ln 3 1 n n n n )3( 解解 1 1 n n 1 3 1 n n 而

20、級數(shù)而級數(shù) 3 3ln r 3 3ln | r所以這個等比級數(shù)所以這個等比級數(shù) 1 3 3ln 3 1 n n n n 發(fā)散發(fā)散.由由性質(zhì)性質(zhì)2知知, 由由性質(zhì)性質(zhì)1知知, 發(fā)散發(fā)散. 因調(diào)和級數(shù)因調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散, 為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù), 1 3 3ln n n n 是以是以 1 收斂收斂. 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 31 1n n u設設為為收斂級數(shù)收斂級數(shù), a為非零常數(shù)為非零常數(shù), 試判別級數(shù)試判別級數(shù) 1 )( n n au 的斂散性的斂散性. 解解 因為因為 1n n u收斂收斂, 故故. 0lim n n u 從而從而)(limaun n 0 故故級數(shù)級數(shù) 1 )( n n au發(fā)散發(fā)散. a 0lim n n u 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: 常