11.2直線的傾斜角和斜率

1、11.2 直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角和斜率 2013年10月 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) （即：已知傾斜角、斜率、方向向量中的（即：已知傾斜角、斜率、方向向量中的 一個(gè)，求其它兩個(gè)。）一個(gè)，求其它兩個(gè)。） 觀察過定點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)過程觀察過定點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)過程: : 平平- -陡陡- -平平 (0,1) 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1:將將x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與直線軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與直線l重合重合 時(shí)所成的時(shí)所成的 叫做叫做直線直線l的傾斜角的傾斜角; x l 當(dāng)直線當(dāng)直線l與與x軸平行或重合時(shí)軸平行或重合時(shí),規(guī)定其傾斜角規(guī)定其傾斜角 =0.于是于是,直線的傾斜角直線的傾斜角 0, ) 直線的傾斜角概念直線的傾斜角概念 練習(xí)練

2、習(xí)1.直線直線l1, l2, l3的圖形如圖的圖形如圖,指出它指出它 們的傾斜角們的傾斜角 1, 2, 3的大小順序的大小順序. l1 l2 l3 3 2 1 傾斜角理解傾斜角理解1.1.圖形認(rèn)識(shí)圖形認(rèn)識(shí): : 練習(xí)練習(xí)2.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)分別畫出過點(diǎn)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)分別畫出過點(diǎn)(0,- 1)的直線的直線,使它們的傾斜角分別是使它們的傾斜角分別是: (1) 45o ; (2)120o ; (3) 0 ; (4) . 2 45o 120o =0 傾斜角理解傾斜角理解1.1.圖形認(rèn)識(shí)圖形認(rèn)識(shí): : 知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2: 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),即即 0, ) ( , ), 把把 的正切值的正切值k=tan 叫做叫

3、做直線直線l的斜率的斜率; 2 2 2 2 當(dāng)當(dāng) = 時(shí)時(shí),角角 的正切值不存在的正切值不存在,于是于是,稱稱直線直線 l的斜率不存在的斜率不存在(趨向無窮大趨向無窮大) 歸納歸納:直線直線l的斜率的斜率: k= tan , 當(dāng)當(dāng) 0, ) ( , )時(shí)時(shí), 2 2 2 不存在不存在 , 當(dāng)當(dāng) = 時(shí)時(shí). 直線的斜率概念直線的斜率概念 練習(xí)練習(xí)3.已知直線已知直線l的傾斜角分別為的傾斜角分別為: (1) 45o ; (2)120o ; (3) 0 ; (4) 求相應(yīng)直線求相應(yīng)直線l的斜率的斜率k. 2 練習(xí)練習(xí)4.已知直線已知直線l的的斜率斜率分別為分別為: (1) 1 ; (2) -1 ;

4、(3) - 3; (4) 2 求相應(yīng)直線求相應(yīng)直線l的的傾斜角傾斜角 . 斜率的理解斜率的理解 3 4 10 不存在不存在 4 3 3 2 2arctan 直線的傾斜角與它的斜率之間關(guān)系直線的傾斜角與它的斜率之間關(guān)系: : 已知直線的傾斜角已知直線的傾斜角 ,求它的斜率求它的斜率k: k= tan , 當(dāng)當(dāng) 0, ) ( , ) 時(shí)時(shí), 2 2 2 不存在不存在 , 當(dāng)當(dāng) = 時(shí)時(shí). 已知直線的斜率已知直線的斜率k,求它的傾斜角求它的傾斜角 : = arctank , 當(dāng)當(dāng) k 0 時(shí)時(shí), -arctan|k| , 當(dāng)當(dāng) k 0 時(shí)時(shí), 練練5.下列命題中正確的是下列命題中正確的是_ (1)若

5、兩直線的傾斜角相等，則它們的斜若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜 率也一定相等；率也一定相等； (2)若兩直線的斜率相等，則它們的傾斜若兩直線的斜率相等，則它們的傾斜 角也一定相等；角也一定相等； (3)若兩直線的傾斜角不相等，則它們中若兩直線的傾斜角不相等，則它們中 傾斜角大的，斜率也大；傾斜角大的，斜率也大； (4)若兩直線的斜率不相等，則它們中斜若兩直線的斜率不相等，則它們中斜 率大的，傾斜角也大率大的，傾斜角也大. N Y N N （2） 直線的傾斜角、斜率與方向向量之間關(guān)系直線的傾斜角、斜率與方向向量之間關(guān)系: : x 1. 已知直線已知直線 l 的方向向量的方向向量 d = (u,v

6、), 則則 u v 當(dāng)當(dāng) u 0 時(shí)時(shí), = tan = k v u 當(dāng)當(dāng)u=0時(shí)時(shí), 無意義無意義, 斜率斜率k不存在不存在, = v u 2 2.已知直線已知直線l的傾斜角的傾斜角 ,則則 斜率斜率 k=tan , 直線直線 l 的方向向量的方向向量 d = (cos ,sin ) 3.已知直線已知直線l的斜率的斜率k,則則 =arctank或或 = - arctan|k|,直線直線 l 的方向向量的方向向量 d = (1,k) d =(u,v) 傾斜角傾斜角 斜率斜率k方向向量方向向量d=(u,v) k=tan d=(cos ,sin ) tan = u v k= u v d=(1,k)

7、 例例3.已知已知M(2m+3,m),N(m-2,1).當(dāng)當(dāng)m取何值取何值 時(shí)時(shí),直線直線MN的傾斜角為銳角的傾斜角為銳角,直角直角,鈍角？鈍角？ 例例2.已知已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1).判斷直線判斷直線 AB,BC,CA的傾斜角為銳角還是鈍角？的傾斜角為銳角還是鈍角？ 坐標(biāo)法求直線斜率坐標(biāo)法求直線斜率: : 已知直線已知直線 l 經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn)A(x1,y1)與與B(x2,y2), y2-y1 當(dāng)當(dāng)x2 x1時(shí)時(shí),斜率斜率k= ; x2-x1 當(dāng)當(dāng)x2=x1時(shí)時(shí),斜率斜率k不存在不存在 . 作業(yè)作業(yè) 冊(cè)冊(cè)p4 1 2 p6 1 2 書本書本p13 1 3 小結(jié)小結(jié):

8、概念概念:直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率 傾斜角傾斜角 斜率斜率k方向向量方向向量d=(u,v) k=tan d=(cos ,sin ) tan = u v k= u v d=(1,k) 直線方程的其它形式直線方程的其它形式 例例1. 求經(jīng)過兩點(diǎn)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(x1,y1)與與B(x2,y2)的的 直線直線l的方程的方程 。（其中。（其中 ） 解解. AB=(x2- x1, y2-y1),由直線的點(diǎn)方向由直線的點(diǎn)方向 式方程得式方程得: x- x1 y2-y1 y-y1 x2- x1= 又又AB的斜率的斜率k= x2-x1 y2-y1 AB的方程又可寫成的方程又可寫成: y-y1= k(x

9、- x1) 21 xx 用用點(diǎn)斜式方法點(diǎn)斜式方法,求直線方程求直線方程: 例例2.已知已知A(-2,0),B(5,3).分別求直線分別求直線AB. (1) 斜率斜率; (2)傾斜角傾斜角;(3)點(diǎn)斜式方程點(diǎn)斜式方程. 練習(xí)練習(xí)2.已知直線過點(diǎn)已知直線過點(diǎn)(3,1),它的傾斜它的傾斜 角為角為 ,且且cos = ,求直線方程求直線方程. 3 5 7 3 7 3 arctan )2( 7 3 xy )3( 3 4 1xy 直線方程的一般形式直線方程的一般形式: : ax+by+c=0 (a,b不全為零不全為零) 例例3.下列方程是否是直線的一般形式下列方程是否是直線的一般形式: (1)2x-3y=

10、2; (2)2y-x-1=0; (3)x=2 (4) ;(5) (6)x+1-(y-1)=0 x+1 y+3 -23 = x-5 y-1 221 + =0 練練3. 把直線方程把直線方程2x+3y-6=0化為點(diǎn)方向式化為點(diǎn)方向式 方程、點(diǎn)法向式方程方程、點(diǎn)法向式方程.它的點(diǎn)方向式方程它的點(diǎn)方向式方程 和點(diǎn)法向式式方程是否唯一？和點(diǎn)法向式式方程是否唯一？ 直線方程形式相互轉(zhuǎn)化直線方程形式相互轉(zhuǎn)化 直線方程直線方程方向向量方向向量法向量法向量斜率斜率k a(x-x0)+b(y-y0)=0 y-y0=k(x-x0) ax+by+c=0 x-x0 y-y0 uv = (u,v)(v,-u) (b,-a

11、) (1,k) (b,-a) (a,b) (k,-1) (a,b) v u - a b k - a b 直線方程的系數(shù)-幾何性質(zhì) 1(3,2)( 4,1)(0, 1)ABC、已知、三點(diǎn)，求 的斜率，并判斷這些、直線CABCAB ?是鈍角直線的傾斜角是銳角還 ) 17(，解： AB0 7 1 AB k 的傾斜角是銳角直線AB )24(，BC0 2 1 BC k 的傾斜角是鈍角直線BC )3 , 3(CA01 CA k 的傾斜角是銳角直線CA 2求下列方程所表示的直線的斜率 0)2(5) 1(3)2(yx 4 1 3 2 ) 1 ( yx )4 , 3() 1 (d直線的一個(gè)方向向量解法一： 3

12、4 u v k )5, 3()2(n直線的法向量 ) 3, 5(d方向向量 5 3 u v k 4 1 3 2 ) 1 ( yx 解法二：)2( 3 4 1xy 3 4 k 0)2(5) 1(3)2(yx ) 1( 5 3 )2(xy 5 3 k 0 3( 3,4)34290Alxy、求過且平行于直線 ： 的直線的方程 0)4(4)3(3yx所求直線方程為 02543yx即 )4, 3( 00 nl 的一個(gè)法向量解：方法一：直線 所求直線的法向量)4, 3(n 043cyx程為方法二：設(shè)所求直線方 ，直線過)4 , 3(A 0169c25 c 02543yx所求直線方程為 0 4(1,2)350Plxy、求過且垂直于直線 ： 的直線的方程 ) 1 , 3( 0 dl 的一個(gè)方向向量解：方法一：直線 所求直線的法向量)1 , 3(n 0)2() 1(3yx所求直線方程為 053 yx即 03cyx程為方法二：設(shè)所求直線方 )2 , 1 (P直線過 023c5 c 053y