2.3.2等腰三角形的判定

1、三角形三角形 本章內(nèi)容 第第2章章 等腰三角形等腰三角形 本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 2.3 在一般的三角形中,如果有兩個角相等, 那么它們所對的邊有什么關(guān)系? c b a 即：若abc中,b=c,則 ab與ac有什么關(guān)系？ 數(shù)學(xué)符號表示：數(shù)學(xué)符號表示： 探究探究 說一說說一說 我測量后發(fā)現(xiàn) ab與ac相等. c b a 探究探究 事實(shí)上,如圖, 在abc中,b=c.沿過點(diǎn)a 的直線 把bac 對折,得bac 的平分線ad 交bc 于點(diǎn), 則12.又bc. 由三角形內(nèi)角和的性質(zhì) 得adb adc. 沿ad所在直線折疊, 由于adb adc, 12,所以射線db與射線 dc重合,射線ab與射線ac重合從而

2、 點(diǎn)b與點(diǎn)c重合, 于是ab ac 做一做做一做 已知abc中,abc=acb. 求證：ab=ac. cb a d 證明：過點(diǎn)a做ad bc于d. 則adb=adc. 在abd和acd中 abc=acb adb=adc ad=ad 所以abd acd（asa） 則ab=ac. 結(jié)論結(jié)論 有兩個角相等的三角形是等腰三角 形（簡稱“等角對等邊”）. 結(jié)論結(jié)論 由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理, 還可 以得到等邊三角形的判定定理： 三個角都是60的三角形是等邊三角形. 舉舉 例例 例例1 已知：如圖,在abc 中, ab = ac, 點(diǎn)d, e 分別是ab,ac上的點(diǎn), 且debc. 求證：ade為等腰

3、三角形. 證明 ab = ac， b =c. 又 debc， ade =b， aed =c. ade =aed. 于是ade為等腰三角形. 練習(xí)練習(xí) 已知：如圖,在等邊三角形abc的ac邊上的取 中點(diǎn)d,bc的延長線上取一點(diǎn)e,使得ce=cd. 求證：bd=de. 證明： abc是等邊三角形,d是ac中點(diǎn) acb=60,cbd=30 cd=ce e=cde bcd=e+cde=2e=60 e=30=cbd bd=de 動腦筋動腦筋 有一個角是60的等腰三角形是等邊三 角形嗎? 為什么? 在等腰三角形abc中， ab = ac. 由三角形內(nèi)角和定理得a +b +c = 180. 如果頂角a =

4、60， 則b +c = 180 60 = 120. 又ab = ac， b =c. b =c =a = 60. abc是等邊三角形. 如果底角b=60（或c=60）， 同樣可以證明abc是等邊三角形. 結(jié)論結(jié)論 有一個角是60的等腰三角形是等 邊三角形. 例例2 已知：如圖,abc 是等邊三角形, 點(diǎn)d, e 分 別在ba,ca的延長線上,且ad = ae. 求證：ade是等邊三角形. 舉舉 例例 證明 abc是等邊三角形， bac =b =c = 60. ead =bac = 60， 又ad = ae， ade是等邊三角形（有一個 角是60的等腰三角形是等邊三 角形）. 如圖，把一張矩形的紙

5、沿對角線折疊， 重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？ 動腦筋動腦筋 由折疊可知：ebd=cbd， 在矩形abcd中，adbc， 則cbd=fdb, 所以fdb=ebd 所以bf=df 例例3 如圖，abc中,acb的平分線交ab于 點(diǎn)e,過點(diǎn)e作fe/bc,交ac于點(diǎn)o,交acd的平 分線于點(diǎn)f,求證：eo=fo. 舉舉 例例 舉舉 例例 證明： ce平分acb，cf平分acd， 1=2，3=4. ef bc, 2=5，3=6, 1=5，4=6, eo=co,fo=co, eo=fo. 小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 等腰三角形的判定方法有哪些？ 等邊三角形的判定方法有哪些？ 中考中考 試題試題 例例1

6、 如圖，已知點(diǎn)d為等腰直角abc內(nèi)一點(diǎn)， cadcbd15，e為ad延長線上的一 點(diǎn)，且ceca （1）求證：de平分bdc； （2）若點(diǎn)m在de上，且dc=dm， 求證： me=bd 中考中考 試題試題 （1）在等腰直角abc中， cad=cbd=15o， bad=abd=45o-15o=30o， bd=ad，bdc adc， dca=dcb=45o 由bdm=abd+bad=30o+30o=60o， edc=dac+dca=15o+45o=60o， bdm=edc， de平分bdc； 中考中考 試題試題 （2）如圖，連接mc， dc=dm，且mdc=60， mdc是等邊三角形，即cm=cd 又emc=