陜西省西安交大附中高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、交大附中20142015學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)（理）期中考試試題第卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)全集，集合，則a bc d2. 已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為 a b c d 3. 函數(shù)是 a奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 b奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 c偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 d偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 4.下列有關(guān)命題說(shuō)法正確的是a. 命題：“”，則是真命題b的必要不充分條件c命題的否定是：“”d“”是“上為增函數(shù)”的充要條件5若變量滿足約束條件，則取最小值時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 a b cd6. 若，則=a 0b

2、 c 3d 27已知，二次三項(xiàng)式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立又，使成立，則的最小值為 a1 bc d28已知正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在正方體表面上且滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 a b c d 9過(guò)點(diǎn)作斜率為(0)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的斜率為，則等于 a b c d 10在區(qū)間 上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則的概率是 a b c d第卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分將答案填在答題卡的相應(yīng)位置分?jǐn)?shù)0.01頻率組距901008070600.020.030.04011已知向量，若向量，則實(shí)數(shù)的值是 . 12某校高三年級(jí)的學(xué)生共1000人，一次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的分布直

3、方圖如右圖所示，現(xiàn)要按右圖所示的4個(gè)分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分層抽樣，抽取50人了解情況，則8090分?jǐn)?shù)段應(yīng)抽取 人 13已知直線與圓相切，若，則的最小值為 14已知，函數(shù)若函數(shù)在上的最大值比最小值大，則的值為 15選考題（請(qǐng)考生在a、b、c三題中任選一題作答，如果全選，則按a題結(jié)果計(jì)分） a. 已知函數(shù)，若不等式的解集為r，則 的取值范圍是 b. 在直角坐標(biāo)系中，以o為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c1的極坐標(biāo)方程為，曲線c2的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)，則c1與c2有 個(gè)不同公共點(diǎn)c已知c點(diǎn)在o直徑be的延長(zhǎng)線上，ca切o于a點(diǎn)，若abac，則 二、解答題：本大題共6小題，共75分。寫(xiě)出詳細(xì)的解答

4、或證明過(guò)程16（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中，）的最大值為2，最小正周期為.（）求函數(shù)的解析式及函數(shù)的增區(qū)間；（）若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 的面積.17（本小題滿分12分）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個(gè)生物小組分別獨(dú)立開(kāi)展對(duì)該生物離開(kāi)恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一個(gè)生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為，假定試驗(yàn)后生物成活，則稱該試驗(yàn)成功，如果生物不成活，則稱該次試驗(yàn)是失敗的（）甲小組做了三次試驗(yàn)，求至少兩次試驗(yàn)成功的概率；（）如果乙小組成功了4次才停止試驗(yàn)，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率；（）若甲乙兩

5、小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的總次數(shù)為，求的期望18（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（其中為常數(shù)），且， （）求；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和19（本小題滿分12分）如圖4，在正三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，平面，分別是，的中點(diǎn)（）求證：平面；（）若為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成最大角的正切為時(shí)，求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值20（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓 上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn)（） 求橢圓的方程；（）是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說(shuō)明理由21（本小題滿

6、分14分）已知二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，（），設(shè).（）求的值；（）r如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；（）若，且，求證：n.參考答案：一ddcda,ddbbc二11-3； 1220 ；13. 3；14或.；15a ；b 1個(gè)；c ；三解答題16. 解：（）. . . 增區(qū)間. （）.的面積為.17. 解：（） （）乙小組在第4次成功前，共進(jìn)行了6次試驗(yàn)，其中三次成功三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗，其中各種可能的情況種數(shù),因此所求的概率= （3）由題意的取值為0,1,2,3,4+ 01234p故的分布列為 18. 解：（）當(dāng)時(shí)，則，19. 解1：（）略 （）略解平面. 為與平面所成的

7、角，由，. ，由當(dāng)最短時(shí)， 的值最大， 當(dāng)時(shí)，. 由為平面 與平面所成二面角（銳角）. .平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為. 解2：由 . 建立空間直角坐標(biāo)系.則，.，.設(shè)平面的法向量為，由，平面的一個(gè)法向量為. 平面， 是平面的一個(gè)法向量. 20.（）解：設(shè)橢圓的方程為, 橢圓的方程為.（）解1（由題意，即求p的軌跡方程與橢圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）：設(shè)點(diǎn),，由三點(diǎn)共線,. ,. 由拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. 同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 . 設(shè)點(diǎn)，由得：，而，則 . 代入得 ，則，代入 得 ，即點(diǎn)的軌跡方程為.若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn).

8、即：滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè). 或：設(shè)點(diǎn),， 在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ， .點(diǎn)在切線上, . 同理， . 綜合、得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.經(jīng)過(guò)的直線是唯一的，直線的方程為， 點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)的軌跡方程為.若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上， 直線經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn), 解2： 由在點(diǎn)處的切線的方程為. 在點(diǎn)處的切線的方程為. 由解得 . ,點(diǎn)在橢圓上. .化簡(jiǎn)得.(*)由, 可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. 滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè). 21. （）解：關(guān)于的不等式的解集為， 等價(jià)于的解為， . . （）解:由（）得.的定義域?yàn)?由. 由題意，函數(shù)存在極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且至少有一個(gè)零點(diǎn)在上. 令,得, (*)則,(*) 方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為, .當(dāng)時(shí)，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.函數(shù)有極小值點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，由,得或， 若，則故時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn). 綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任