空間平面法向量方向的判定

1、 空間平面法向量方向的判定 張 良 兵(溫州中學(xué),浙江 325000) 用傳統(tǒng)的綜合法求二面角的大小時(shí),要看能否用三垂線定理、能否作二面角棱的垂面,還要挖空心思地想能否把各種關(guān)系轉(zhuǎn)化到平面問題中去.建立空間坐標(biāo)系后,我們把求二面角的大小轉(zhuǎn)化為求二面角的法向量的夾角,用坐標(biāo)向量法節(jié)省了思維,上手快.文1介紹了二面角的大小與法向量夾角的關(guān)系：同內(nèi)同外互補(bǔ),一內(nèi)一外相等,但法向量方向的判定卻沒有指出具體方法.我們知道當(dāng)平面與空間坐標(biāo)系中三個(gè)坐標(biāo)平面平行或重合時(shí),平面的法向量的方向是很容易知道的,除此外又如何判定平面的法向量的方向呢?1.二面角的法向量方向的判定方法二面角法向量方向的判定應(yīng)該選定一個(gè)向

2、量作為參照向量(這個(gè)參照向量不能和平面垂直或平行).如圖1:設(shè)平面的法向量分圖1別為n1、n2,在二面角內(nèi)的一個(gè)參照向量為n0,當(dāng)向量n1n00時(shí)顯然n1與n0的夾角為銳角,我們稱法向量n1的方向指向二面角的外部. 如圖2,當(dāng)向量n1n00時(shí), 顯然n1與n0的夾角為鈍角,我們稱法向量n1的方向指向二面角的圖2內(nèi)部. 于是我們能夠判定二面角法向量方向,再利用文1能輕而易舉求出二面角的大小了. 2.判定方法的運(yùn)用 例1.(2005福建高考題)如圖3,已知abcd是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6,高為的等腰梯形,將它沿對(duì)稱軸oo1折成直二面角.圖3（）證明：acbo1;（）求二面角oaco1的大小. 解

3、 （）略 （）建立如圖坐標(biāo)系,則a(3,0,0),b(0,3,0),c(0,1,),o1(0,0,). 設(shè)平面aoc的法向量為n1=(x,y,z),由n1, n1得:設(shè)z=-1,得,所以n1=,又(取為參照向量),n1=,所以平面aoc的法向量指向二面角oaco1的內(nèi)部.同理求得平面ao1c的法向量n2=(1,0,),又,n2=,所以平面ao1c的法向量指向二面角oaco1的內(nèi)部.由同內(nèi)同外互補(bǔ),我們知道二面角的大小為cos=所求二面角的大小為:. 例2.(2005全國(guó)高考題)已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形, abdc,底面abcd,且pa=ad=dc=ab=1,m是pb的中點(diǎn),如圖4

4、.（）證明：面pad面pcd;（）求ac與pb所成的角;（）求面amc與面bmc所成二面角的大小.圖4 解 （）,（）略（）建立如圖坐標(biāo)系,則p(0,0,1),b(0,2,0),c(1,1,0).由p、b的坐標(biāo)得m坐標(biāo)為(0,1,). ,設(shè)平面amc的法向量為n1=(x,y,z), 由n1, n1得,令z=-2,得n1=(-1,1,-2). 取為參照向量, =(0,2,0),則n1=2. 所以平面amc的法向量指向二面角amcb的外部. 同理求得平面bmc的法向量n2=(2,1,1). 取為參照向量, =(0,-2,0),則n2=-2, 所以平面bmc的法向量指向二面角amcb的內(nèi)部. 由一內(nèi)一外相等,我們知道二面角amcb大小為. cos= 二面角amcb大小為. 說明：在具體的問題中參照向量的起點(diǎn)通常放在二面角的半平面上,這樣有助于