數(shù)學(xué)歸納法時

1、 從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識字。 第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個 “二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了， 并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三”字。 于是他得了一個結(jié)論：“四”一定是四橫，“五” 一定是五橫，以此類推， 從此，他不再去上學(xué)，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去 上學(xué)，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出 自己的名字，“萬百千”寫名字結(jié)果可想而知。 問題情境一問題情境一 問題問題1:你知道諺語你知道諺語“天下烏鴉一般黑天下烏鴉一般黑” 的由來嗎？的由來嗎？ 問題問題2:盒子中有盒子中有5個小球，如何證明它們都個小球，如何證明它們都 是紅色的？是紅色的？ 問題

2、問題3:數(shù)列的通項公式是：數(shù)列的通項公式是：an= (n25n+5)2 請算出請算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= ,猜測猜測1111 猜測是否正確呢？猜測是否正確呢？ 22 (55)1 n nNann 對一切，都有 問題情境二問題情境二 由于由于a525 1，所以猜測是不正確的，所以猜測是不正確的 問題問題4:在數(shù)列在數(shù)列 n a 中中, 1 a1, 1 1 n n n a a a (n ), * N （1）求）求 2 a， 3 a， 4 a 的值；的值； （2）試猜想該數(shù)列的通項公式）試猜想該數(shù)列的通項公式 234 111 , 234 aaa 1 n a n 像這種由像這種由一系列特

3、殊事例一系列特殊事例得出得出一般結(jié)論一般結(jié)論的的 推理方法，叫做推理方法，叫做歸納法歸納法。 （結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實施較難） （結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想） （1 1）完全歸納法完全歸納法：考察：考察全體全體對象，得到對象，得到 一般結(jié)論的推理方法一般結(jié)論的推理方法 （2 2）不完全歸納法不完全歸納法，考察，考察部分部分對象，得對象，得 到一般結(jié)論的推理方法到一般結(jié)論的推理方法 歸納法歸納法分為分為 完全歸納法完全歸納法 和和 不完全歸納不完全歸納法法 問題問題 1:大球中有大球中有

4、5個小球，如何證明它們個小球，如何證明它們 都是綠色的？都是綠色的？ 完全歸納法完全歸納法 不完全歸納法不完全歸納法 問題問題2:在數(shù)列在數(shù)列 n a中中, 試猜想該數(shù)列的通項公式。試猜想該數(shù)列的通項公式。 1 a 1, 1 1 n n n a a a (n ), * N 數(shù)學(xué)家費馬運用歸納法得出費馬猜想的事例：數(shù)學(xué)家費馬運用歸納法得出費馬猜想的事例： 思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？ 優(yōu)點：優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律 缺點：缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時是不正確的

5、得到的結(jié)論有時是不正確的 在使用歸納法探究數(shù)學(xué)命題時，必須在使用歸納法探究數(shù)學(xué)命題時，必須 對對任何可能的情況任何可能的情況進行論證后，才能判進行論證后，才能判 別命題正確與否。別命題正確與否。 思考思考1 1：與正整數(shù)與正整數(shù)n n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能有關(guān)的數(shù)學(xué)命題能 否通過否通過一一驗證一一驗證的辦法來加以證明呢？的辦法來加以證明呢？ 思考思考2 2：如果一個數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)如果一個數(shù)學(xué)命題與正整數(shù)n n 有關(guān)有關(guān), ,我們能否找到一種既簡單又有效的我們能否找到一種既簡單又有效的 證明方法呢？證明方法呢？ 多多 米米 諾諾 骨骨 牌牌 游游 戲戲 問題情境三問題情境三 這個游戲中，能使所有多米

6、若骨這個游戲中，能使所有多米若骨 牌全部倒下的條件是什么？牌全部倒下的條件是什么？ 需滿足以下兩個條件：需滿足以下兩個條件： （1）第一塊骨牌倒下；）第一塊骨牌倒下； （2）任意相臨兩塊骨牌，前一塊倒下）任意相臨兩塊骨牌，前一塊倒下 一定導(dǎo)致后一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下. 思考：思考：你認為條件（你認為條件（2 2）的作用是什么？）的作用是什么？ 思考：思考：能否類比這種方法來解決不完全歸能否類比這種方法來解決不完全歸 納法存在的問題呢？納法存在的問題呢？ 你能證明這個猜想是正確的嗎？ 引例引例 在數(shù)列在數(shù)列 n a 中中, 1 a 1, 1 1 n n n a a a (n ), * N （

7、1）求）求 2 a， 3 a， 4 a 的值；的值； （2）試猜想該數(shù)列的通項公式）試猜想該數(shù)列的通項公式 234 111 , 234 aaa 1 n a n 任意相鄰的兩塊牌，任意相鄰的兩塊牌， 前一塊倒下一定導(dǎo)前一塊倒下一定導(dǎo) 致后一塊牌倒下致后一塊牌倒下 第一項成立第一項成立 第第k k項成立，項成立， 第第k+1k+1項成立項成立 第一塊第一塊 骨牌倒下骨牌倒下 1234kK+1 n=1時1 1 a 如果n=k時猜想成立即 1 k a k 那么當n=k+1時猜想也成立，即 1 1 1 = 1 +1 1 k k a k k 猜想成立 證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題步驟如下：證明一個與正整數(shù)有

8、關(guān)的命題步驟如下： (2) 假假設(shè)當設(shè)當nk (kN*, kn0 ) 時命題成立時命題成立, 證明證明 當當nk1時命題也成立時命題也成立 完成這兩個步驟后完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從就可以斷定命題對從n0 開始的所有正整數(shù)開始的所有正整數(shù) n都正確都正確 (1) 證明當證明當n取第一個值取第一個值n = n0 時命題成立時命題成立 * 0 nN 這種證明方法叫做這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 歸納奠歸納奠 基基 歸納遞推歸納遞推 框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程： （1）驗證：）驗證：n=n0 （n0N+） 時命題成立。時命題成立。 （2）證明：

9、假設(shè)）證明：假設(shè)n=k（kn0） 時命題成立，時命題成立， 證明證明n=k+1時命題也成立。時命題也成立。 結(jié)論：命題對所有的結(jié)論：命題對所有的n （n0N+， nn0）成立）成立 歸納奠基歸納奠基 歸納遞推歸納遞推 2 22 222 2222 1 2 3 1, 6 2 3 5 12, 6 3 4 7 123, 6 4 5 9 1234, 6 . 情境情境1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 歸納歸納 22222 (1) (21) 1234. 6 nnn n 思考思考：你由不完全歸納法：你由不完全歸納法 所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若 不正確，請舉一個

10、反例不正確，請舉一個反例; 若正確，如何證明呢？若正確，如何證明呢？ 類比多米諾骨牌游戲證明猜想類比多米諾骨牌游戲證明猜想 的步驟為：的步驟為： (1)證明當證明當n=1時猜想成立時猜想成立 (2)證明若當證明若當n=k時命題成立，則時命題成立，則n=k+1時時 命題也成立命題也成立. 22222 (1) (21) 1234. 6 nnn n 完成了這兩個步驟以后就可以證明完成了這兩個步驟以后就可以證明上述猜想上述猜想 對于所有的正整數(shù)對于所有的正整數(shù)n都是成立的。都是成立的。 相當于第一張牌能倒下相當于第一張牌能倒下 相當于使所有骨牌倒下的第相當于使所有骨牌倒下的第2個條件個條件 22222

11、2 (1)(1) 12(1) 1 1234(1) 6 kkk kk 目標： 證明證明 當當n=1n=1時，左邊時，左邊1 1 右邊右邊, ,等式顯然成立。等式顯然成立。 例例1 1 證明：證明： 遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ) 遞推依據(jù)遞推依據(jù) 22222* (1) (21) 1234(). 6 nnn nnN 22222 (1) (21) 1234 6 kkk k 222222 1234(1)kk 假設(shè)當假設(shè)當n=kn=k時等式成立，即時等式成立，即 那么那么, ,當當n=k+1n=k+1時，有時，有 即當即當n=k+1n=k+1時時, ,等式也成立。等式也成立。 綜上可知，對任何綜上可知，對任何n n

12、N N* *等式都成立。等式都成立。 湊結(jié)論湊結(jié)論 2 (1) (21) (1) 6 kkk k (1)(1) 12(1) 1 6 kkk 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化 湊假設(shè)湊假設(shè) 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1：2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*) 證明證明 ：假設(shè)當：假設(shè)當n=kn=k時等式成立，即時等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) ) 那么，當那么，當n=k+1n=k+1時，有時，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(

13、k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 , 因此，對于任何因此，對于任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。 缺乏缺乏“遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)” 事實上，我們可事實上，我們可 以用等差數(shù)列求以用等差數(shù)列求 和公式驗證原等和公式驗證原等 式是不成立的！式是不成立的！ 11111 =(1)()() 2231 1 1 11 nn n nn nk1 左 邊 ， 所 以時 等 式 成 立 。 * 111 () 1 22 3(1)1 n nN nnn 這不是這不是數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 證明證明 當當n=1時時,左邊左邊= , 2 1 21 1

14、 1) 1( 1 32 1 21 1 k k kk 假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時原等式成立時原等式成立 ，即，即 2 1 11 1 右邊右邊= 此時，原等式成立。此時，原等式成立。 那么那么n=k+1時時, 綜上綜上 知知,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2： 缺乏缺乏“遞推依據(jù)遞推依據(jù)” 證明證明 當當n=1時時,左邊左邊= , 2 1 21 1 * 111 (2)() 1 223(1)1 n nN nnn 1) 1( 1 32 1 21 1 k k kk 1111 1 22 3(1)(1) (2) 11 1 (1) (2)(1) 1 kkkk kk k

15、kkk 這這 才才 是是 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 歸歸 納納 法法 假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時原等式成立時原等式成立 ，即，即 2 1 11 1 右邊右邊= 此時，原等式成立。此時，原等式成立。 那么那么n=k+1時時, 這就是說，當這就是說，當n=k+1時時,命題也成立命題也成立. 綜上綜上 知知,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 用數(shù)學(xué)歸納法證明與用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：有關(guān)命題的步驟是： （1）證明當證明當 取第一個值取第一個值 （如（如 或或2等）時結(jié)論正確；等）時結(jié)論正確； 1 0 nn 0 n （2）假設(shè)時假設(shè)時 結(jié)論正確，證明結(jié)論正確，證明 時結(jié)

16、論也正確時結(jié)論也正確 )N( 0 nkkkn 且 且 1 kn 遞推基遞推基 礎(chǔ)礎(chǔ) 遞推依據(jù)遞推依據(jù) “找準起點，奠基要穩(wěn)找準起點，奠基要穩(wěn)” “用上假設(shè)，遞推才真用上假設(shè)，遞推才真” “綜合（綜合（1）（）（2），），”不可少！不可少！ 注意注意:數(shù)學(xué)歸納法使用要點：數(shù)學(xué)歸納法使用要點： 兩步驟兩步驟,一結(jié)論。一結(jié)論。 (2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：兩個步驟，一個結(jié)論兩個步驟，一個結(jié)論； (3)數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：即克服了數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：即克服了完全歸納法完全歸納法的繁雜的繁雜 的缺點，又克服了的缺點，又克服了不完全歸納法不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足。結(jié)論不可靠的不足。 (4

17、)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：運用數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：運用“有限有限”的的 手段來解決手段來解決“無限無限”的問題的問題 (1)數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命有關(guān)的數(shù)學(xué)命 題的重要方法題的重要方法 遞推思想、遞推思想、 類比思想、歸納思想類比思想、歸納思想 要點：兩步驟一結(jié)論要點：兩步驟一結(jié)論 思考： 步驟步驟 (1) (1) 中中n n取的第一個值取的第一個值n n0 0一定是一定是1 1嗎？嗎？ 為什么？為什么？ 舉例說明：舉例說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 n邊形的邊形的 對角線的條數(shù)是對角線的條數(shù)是 3 2 n n 0 n ？此時n取的第一值

18、分析下列各題用分析下列各題用數(shù)學(xué)歸納數(shù)學(xué)歸納 法法證明過程中的錯誤：證明過程中的錯誤： （1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*) 證明證明 ：假設(shè)當：假設(shè)當n=kn=k時等式成立，即時等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) ) 那么，當那么，當n=k+1n=k+1時，有時，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 , 因此，對于任何因此，對于任何n n

19、N N* *等式都成立。等式都成立。 缺乏缺乏“遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)” 事實上，我們可事實上，我們可 以用等差數(shù)列求以用等差數(shù)列求 和公式驗證原等和公式驗證原等 式是不成立的！式是不成立的！ 這就是說，當這就是說，當n=k+1時時,命題也成立命題也成立. 11111 (1)()() 22312 11 1= 2(1)1 kk k kk 左邊 右邊 * 111 (2)() 1 223(1)1 n nN nnn 沒有用上沒有用上“假假 設(shè)設(shè)”，故此法，故此法 不是數(shù)學(xué)歸納不是數(shù)學(xué)歸納 法法 請修改為數(shù)學(xué)請修改為數(shù)學(xué) 歸納法歸納法 證明證明 當當n=1時時,左邊左邊= , 2 1 21 1 1) 1( 1

20、 32 1 21 1 k k kk 假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時原等式成立時原等式成立 ，即，即 此時，原等式成立。此時，原等式成立。 那么那么n=k+1時時, 由由 知知,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 11 = 1+12 右邊 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1( 3 1 nnn 練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 則當則當n=k+1時，時， )1(.433221 kk)2)(1( kk )2)(1( 3 1 kkk+ )2)(1( kk = = )2)(1( kk)1 3 1 ( k 即當即當 n=k+1時命題正確

21、。時命題正確。 綜上綜上(1)(2)可知，當可知，當 ，命題正確，命題正確。 nn = 2111)1( 3 1 kkk 證明證明: 2)假設(shè)假設(shè)n=k時命題成立時命題成立,即即 122334k(k+1) )2)(1( 3 1 kkk 1)當當n=1時，左邊時，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立 1 1 11223 3 3 3 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化 湊假設(shè)湊假設(shè) 湊結(jié)論湊結(jié)論 （3）（糾錯題糾錯題）課本）課本P87P87 T3 2nn2(n N*) 證明證明 ：當：當n=1n=1時，時，2 21 1112 2, ,不等式顯然成立。不等式顯

22、然成立。 假設(shè)當假設(shè)當n=kn=k時等式成立，即時等式成立，即2 2k kkk2 2, , 那么當那么當n=k+1n=k+1時，有時，有 2 2k+1 k+1=2 =2 2 2k k=2=2k k+2+2k kkk2 2+k+k2 2 k k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2. . 這就是說，當這就是說，當n=k+1n=k+1時不等式也成立。時不等式也成立。 根據(jù)（根據(jù)（1 1）和（）和（2 2），可知對任何），可知對任何n n N N* *不等式不等式 都成立。都成立。 雖然既有雖然既有“遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)”，又用到假設(shè)，又用到假設(shè) （“遞推依據(jù)遞推依據(jù)”），但在證明過程

23、中出現(xiàn)），但在證明過程中出現(xiàn) 錯誤，故上述證法錯誤！錯誤，故上述證法錯誤！ 事實上，原不等式不成立，如事實上，原不等式不成立，如 n=2時不等式就不成立。時不等式就不成立。 練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 n+2n+2 2n+12n+1 * * - - +=a +=a 1,nN1,nN 1 1 1-a1-a 1+1+ a a aaaa a a. 1、 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：“ ”在驗證在驗證 n=1n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1+a1+a 2 2 1 1+ +a a+ +a a 2 23 3 1 1+ +a

24、 a+ +a a + +a a 2 2. .已知已知: ,: ,則則 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 13 1 . 2 1 1 1 )( nnn nf )1( kf 1)1(3 1 )( K kf 23 1 )( K kf 1 1 43 1 33 1 23 1 )( KKKK kf 1 1 43 1 )( KK kf C C 3. . 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1( 3 1 nnn 練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 4、用數(shù)學(xué)歸納法證明：、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 2 )1( )1()1(4321 1

25、21222 nn n nn 5求證求證:當當nN*時，時， nnnnn2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 練習(xí)練習(xí) 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 2* 1 3 5(21)().nn n N 證明證明（1）當）當n=1時，左邊時，左邊=1，右邊，右邊=1，等式成立，等式成立 2 1 3 5(21) 2(1) 1(1)kkk 目標： 這就是說，當這就是說，當n=k+1時，等式也成立時，等式也成立 由（由（1）和（）和（2），可知等式對任何正整數(shù)），可知等式對任何正整數(shù)n都成立都成立 （2）假設(shè)當）假設(shè)當n=k時，等式成立，即時，等式成立，即 2 1 3 5(2

26、1).kk 遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ) 遞推依據(jù)遞推依據(jù) 22 2 1 3 5(21) 2(1) 1 (2(1) 121 (1) kk kkkk k 那么當那么當n=k+1n=k+1時，時， 3. .用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1( 3 1 nnn 練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化 湊假設(shè)湊假設(shè) 湊結(jié)論湊結(jié)論 證明證明: 2)假設(shè)假設(shè)n=k時命題成立時命題成立,即即 122334k(k+1) )2)(1( 3 1 kkk 則當則當n=k+1時，時， )1(.433221 kk)2)(1

27、( kk )2)(1( 3 1 kkk+ )2)(1( kk = = )2)(1( kk)1 3 1 ( k n=k+1時命題正確。時命題正確。 由由(1)和和(2)知，當知，當 ，命題正確，命題正確。 nn = 2111)1( 3 1 kkk 1)當當n=1時，左邊時，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立 1 1 11223 3 3 3 練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 4、用數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明 2222121 (1) 1234( 1)( 1) 2 nn n n n 證明證明: (1)當當n=1n=1時，左邊時，左邊=1,=1,右邊右邊= =1. = =1. 命題成立命題成立

28、) 2 21 ()1( 1 n (2)(2)假設(shè)假設(shè)n=kn=k時命題正確，即時命題正確，即 2 22 22 22 2k k- -1 12 2k k- -1 1 k k( (k k+ +1 1) ) 1 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k k = =( (- -1 1) ) 2 2 則當則當 n=k+1n=k+1時時, , = + = + = = 2 )1( )1( 1 kk k2 )1()1( k k 2 22 22 22 2k k- -1 12 2 1 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k k k

29、2k2 +(-1)(k+1)+(-1)(k+1) k k - -k k+ +2 2k k+ +2 2 ( (- -1 1) )( (k k+ +1 1) )( () ) 2 2 2 )2)(1( )1( kk k ( (k k+ +1 1) )- -1 1( (k k+ +1 1) )( (k k+ +1 1) )+ +1 1 = =( (- -1 1) ) 2 2 n=k+1 n=k+1時命題正確。時命題正確。 由由(1)(1)和和(2)(2)知，當知，當 ，命題正確。，命題正確。 * * n nN N 提什么提什么 好呢好呢? ? 注意結(jié)論的注意結(jié)論的 形式形式 練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 nnnn

30、n2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 5求證求證:當當nN*時時， 證明證明: )1(2 1 1 1 12 1 2 1 3 1 2 1 KKKKKK 12 1 12 1 2 1 3 1 2 1 KKKKK 12 1 112 1 212 1 21 1 11 1 KKkKK n=k+1時命題正確。時命題正確。 由由(1)和和(2)知，當知，當 ，命題正確，命題正確。 nn (1)當當n=1時，左邊時，左邊= 2 1 2 1 1 ;右邊右邊 2 1 左邊左邊=右邊，右邊，n=1時，命題成立時，命題成立。 (2)假設(shè)假設(shè)n=k時命題正確，即時命題正確，即: KKKKK

31、2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 當當n=k+1時時， 左邊 左邊= KK2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 )1(2 1 1)1(2 1 KK KKK2 1 2 1 1 1 22 1 12 1 KK (2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：兩個步驟，一個結(jié)論兩個步驟，一個結(jié)論； (3)數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：即克服了數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：即克服了完全歸納法完全歸納法的繁雜的缺的繁雜的缺 點，又克服了點，又克服了不完全歸納法不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足。結(jié)論不可靠的不足。 (4)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：運用數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：運用“有限有限”的手段的手

32、段 來來 解決解決“無限無限”的問題的問題 (1)數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 的重要方法的重要方法 回顧反思回顧反思 框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程： （1）驗證：）驗證：n=n0 （n0N+） 時命題成立。時命題成立。 （2）證明：假設(shè)）證明：假設(shè)n=k（kn0） 時命題成立，時命題成立， 證明證明n=k+1時命題也成立。時命題也成立。 結(jié)論：命題對所有的結(jié)論：命題對所有的n （n0N+， nn0）成立）成立 歸納奠基歸納奠基 歸納遞推歸納遞推 11111 =(1)()() 2231 1 1 11 nn

33、 n nn nk1 左 邊 ， 所 以時 等 式 成 立 。 * 111 () 1 22 3(1)1 n nN nnn 這不是這不是數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 證明證明 當當n=1時時,左邊左邊= , 2 1 21 1 1) 1( 1 32 1 21 1 k k kk 假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時原等式成立時原等式成立 ，即，即 2 1 11 1 右邊右邊= 此時，原等式成立。此時，原等式成立。 那么那么n=k+1時時, 綜上綜上 知知,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2： 缺乏缺乏“遞推依據(jù)遞推依據(jù)” (2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：兩個步驟，一個結(jié)論兩個步驟，一個結(jié)論； (3)數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：即克服了數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點：即克服了完全歸納法完全歸納法的繁雜的繁雜 的缺點，又克服了的缺點，又克服了不完全歸納法不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足。結(jié)論不可靠的不足。 (4)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：運用數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：運用“有限有限”的的 手段來解決手段來解決“無限無限”的問題的問題 (1)數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命有關(guān)的數(shù)學(xué)命 題的重要方法題的重要方法 遞推思想、遞