判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法學(xué)士學(xué)位論文

1、 編號(hào) 學(xué)士學(xué)位論文判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法學(xué)生姓名： 學(xué) 號(hào)： 系 部：數(shù)學(xué)系 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 指導(dǎo)教師： 完成日期： 年 _月 日摘要 判定級(jí)數(shù)斂散性是級(jí)數(shù)的首要問題，在研究其它級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，常常歸結(jié)為研究正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法很多，本文主要討論了判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一些方法，比如：基本定義，柯西收斂準(zhǔn)則，比較判別法，根式判別法，積分判別法，比較判別法的推廣，拉貝爾判別法等主要的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法并對(duì)這此方法進(jìn)行了證明，又提出了比較判別法，比式判別法，根式判別法的重要推廣，以及如何根據(jù)通向的特點(diǎn)來(lái)選擇判別法，使級(jí)數(shù)斂散性的判別變得更為簡(jiǎn)單。關(guān)鍵詞： 級(jí)

2、數(shù)；有界；斂散性；單調(diào)；積分；收斂準(zhǔn)則；極限 目 錄摘要1引言31.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義32.基本定理43.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本判別法 43.1.比較判別法43.2.比較判別法的極限形式53.3.比式判別法（也稱為達(dá)朗貝爾判別法）63.4.比式判別法的極限形式73.5.根式判別法（也稱為柯西判別法）73.6. 根式判別法的極限形式93.7.積分判別法93.8.拉貝判別法103.9.拉貝判別法的極限形式113.10.高斯判別法123.11.（kummer判別法）134.判別法的比較155.總結(jié)與展望20參考文獻(xiàn)20致謝22 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的的判別法 引 言級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要組成部分，它是表示函

3、數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)中非常重要的組成部分，許多級(jí)數(shù)的斂散性問題可以歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題.而正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性有很多種判別法，有時(shí)很難選擇，以下重點(diǎn)討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法，看如何選擇判別方法使正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別更為簡(jiǎn)單.因此討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法是很有必要的.1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義定義1：若則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義2：設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 ，（）若存在稱為收斂；（）若不存在稱為發(fā)散.2基本定理 定理1：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有上界，即，有.證明： 收斂 ， 存在 有界 有上界. 有上界且 單調(diào)增加 （ ， ） ，數(shù)列收斂即存在 ， 級(jí)數(shù)

4、收斂.柯西收斂準(zhǔn)則：定理：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，時(shí)，有.證明：（）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 ，由定義，部分和數(shù)列的極限存在，即，由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則，時(shí)，,有 ，有 （），有 則 存在， 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.用收斂性定義可以證明：（i）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性相同，（ii）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)與收斂，則也收斂。3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的基本判別法3.1.比較判別法設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某正數(shù)，對(duì)一切都有，則：（i）若級(jí)數(shù)收斂，則也是收斂，是正常數(shù)。 （ii）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則也是發(fā)散不妨設(shè)，有，設(shè)級(jí)數(shù)與的項(xiàng)部分和是與，由上述不等式有若級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)定理數(shù)列有上界，從而數(shù)列也有上界，級(jí)數(shù)收斂。若級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)定理，數(shù)列無(wú)上界，從

5、而數(shù)列也無(wú)上界，級(jí)數(shù)發(fā)散。3.2.比較判別法的極限形式設(shè) 與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且若 ，則（） 收斂且 時(shí) 也收斂；（ii） 發(fā)散且 時(shí) 發(fā)散.證明：（）若級(jí)數(shù) 收斂，且 , 有 或 ,即 ，有 且 收斂 . 由比較判別法，級(jí)數(shù) 收斂.（ii）若級(jí)數(shù) 發(fā)散 ，且 , ,有 或 即 ， 有 且 發(fā)散.由比較判別法，級(jí)數(shù)也發(fā)散.3.3.比式判別法（也稱為達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且存在某正數(shù)，及常數(shù)（），則若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂。若一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：不妨設(shè) 有或 ； ； ； ；已知幾何級(jí)數(shù) 收斂，根據(jù)比較判別法得級(jí)數(shù)收斂。已知 ，有或即正數(shù)數(shù)列從以后單調(diào)增加，不趨近于0

6、， 則級(jí)數(shù)發(fā)散。3.4.比式判別法的極限形式若 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ， 且 ；則 ()當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂 ；(ii)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散 .證明：() , 由 ， ，有 或 ， 根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法級(jí)數(shù) 收斂.（ii）已知 ，根據(jù)數(shù)列極限的保號(hào)性 ， ，有 ，根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法級(jí)數(shù) 發(fā)散.3.5.根式判別法（也稱為柯西判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正數(shù)及正常數(shù)，則：若對(duì)一切 ，成立不等式 ，則級(jí)數(shù)收斂 若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)發(fā)散 證明：（i）.若當(dāng)時(shí)， 有即，而級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法得級(jí)數(shù)也收斂 （ii）.若從某項(xiàng)起，則故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知發(fā)散。3.6. 根式判別法的極限形式設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，

7、 且 ， 則（）當(dāng) 時(shí) ，級(jí)數(shù) 收斂 ；（）當(dāng) 時(shí) ，級(jí)數(shù) 發(fā)散 .證明：（） 且 ， ，由數(shù)列極限定義，有 或 由柯西判別法，級(jí)數(shù) 收斂.（），根據(jù)數(shù)列極限的保號(hào)性 ，有 ， 由柯西判別法，級(jí)數(shù) 發(fā)散 .3.7.積分判別法設(shè) 為 上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與 無(wú)窮積分 同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散.證明：由假設(shè) 為 上非負(fù)減函數(shù)，對(duì)任何正數(shù) 在 上可積，從而有 依次相加可得 （1）若無(wú)窮積分收斂，則由（1）式左邊，對(duì)任何自然數(shù) ，有 級(jí)數(shù) 收斂.反之，若 為收斂級(jí)數(shù)，則由（1）式右邊，對(duì)任一自然數(shù) ，有 （2）因?yàn)?為非負(fù)減函數(shù)，故對(duì)任何正數(shù) ，都有， 聯(lián)系（2）式得無(wú)窮積分 收斂 .用同樣方法可以

8、證明 與 是同時(shí)發(fā)散的 .比較判別法的推廣設(shè) 和為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在自然數(shù)n，使得時(shí)， ，以及，則（）若收斂 ，則也收斂.（）若發(fā)散，則也發(fā)散.證明：（）不妨設(shè), 有 ，則 由此，兩端分別相乘，得 即 因此，利用比較判別法就證明了（）.（） （用反證法）若收斂，則由（）知收斂.這與（）的條件矛盾.所以（）成立.3.8.拉貝判別法設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，（）若存在某自然數(shù) ， 時(shí)有 且 ，則級(jí)數(shù) 收斂 ；（）若 ， 時(shí)有 則 發(fā)散 .證明：（）由 ，可得 ， 選 使 ， 由于 因此，存在正數(shù) ，使對(duì)任意 ，有 ，這樣 于是，當(dāng) 時(shí)，就有 當(dāng) 時(shí) ， 收斂，故級(jí)數(shù) 是收斂的 .（） 由 可得 ，于是 因?yàn)?/p>

9、 發(fā)散 ， 故 是發(fā)散的 .3.9.拉貝判別法的極限形式設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，且 ， 則（）當(dāng) 時(shí) ， 級(jí)數(shù) 收斂 ；（）當(dāng) 時(shí) ， 級(jí)數(shù) 發(fā)散 例： 討論級(jí)數(shù) （1），當(dāng)時(shí)的斂散性 解： 無(wú)論那一位，對(duì)級(jí)數(shù)（1）的比式極限，都有 所以用比式判別法無(wú)法判別級(jí)數(shù)（1）的斂散性，現(xiàn)在應(yīng)用拉貝爾判別法來(lái)討論，當(dāng) 時(shí)由于 所以 級(jí)數(shù)（1）是發(fā)散的。 當(dāng)時(shí)由于由拉貝爾判別法可知級(jí)數(shù)(1)發(fā)散。 當(dāng) 時(shí)， 拉貝爾判別法級(jí)數(shù)(1)收斂。定理3：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的項(xiàng)滿足 則 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.證明：當(dāng)，取一適當(dāng)小的正數(shù)，使得 則存在，使時(shí)，有，即 取p使得 ，當(dāng) 時(shí)，有， 即 因?yàn)?時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 ，知級(jí)數(shù)收斂.例：研究級(jí)

10、數(shù)的收斂性.解： ，應(yīng)用上面的定理 = = 由定理知該級(jí)數(shù)收斂.3.10.高斯判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且其中有界，則（）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.證明：應(yīng)用泰勒公式，時(shí)成立 即 ， 則 必收斂.記 ， ， 因?yàn)?，則 即 又因?yàn)?， 其中 c為歐拉常數(shù)，則 ， 上式中為一非零常數(shù)，于是由比較判別法知:時(shí) 級(jí)數(shù) 收斂，時(shí) 級(jí)數(shù) 發(fā)散.3.11.（kummer判別法）（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是存在正數(shù)數(shù)列和正數(shù)， 使得當(dāng)充分大的時(shí)有 （i） （2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散的充分必要條件是存在發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，使得當(dāng)充分大的時(shí)有 （ii）證明：先證充分性。 不妨設(shè)條件（1）已對(duì)于成立；將它改寫為

11、可見正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，因此有估計(jì)，從而知級(jí)數(shù)收斂。再證明必要性；在收斂時(shí)記其余項(xiàng)為，令，則就有因此有因此取即可。（2）這時(shí)的充分性時(shí)比較判別法的比值形式，再證必要性，設(shè) 發(fā)散，取其中為級(jí)數(shù)的第個(gè)部分和，這時(shí)（ii）滿足 從和有關(guān)命題知發(fā)散。常用的比式判別法的推廣1：（1） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且，則q1時(shí)發(fā)散。其中為某一個(gè)正整數(shù)。例如：討論的斂散性。解：，收斂。比式判別法的推廣2：（2） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且 (n=1,2,3.)又,則時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。例如：討論的斂散性。解：，故發(fā)散。根式判別法的推廣1：（3） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且則r1時(shí)發(fā)散。(其中a0)例如：判別的斂散性。解：收斂。根式判別法的推廣2：（4）

12、 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且，則r1時(shí)發(fā)散。例如：判別的斂散性。解：收斂。 4.判別法的比較 (一) 當(dāng)級(jí)數(shù)化為含參數(shù)的一般式，通項(xiàng)為等差或等比或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無(wú)法求出時(shí)可以選用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充分條件進(jìn)行判斷。如：1. 由于 故得.（二） 當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式形如: 級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如含有或等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級(jí)數(shù)（），級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行比較， 不宜算出或 等此類無(wú)法判斷級(jí)數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)的問題時(shí)候，應(yīng)選用比較判別法。例1. 討論級(jí)數(shù)的收斂性。解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂故由比較判別法知所論級(jí)數(shù)收斂。當(dāng) 時(shí)，又因?yàn)?而級(jí)數(shù)收斂。于是比較判別法知所討論級(jí)數(shù)收斂。綜上所述，所論

13、級(jí)數(shù)對(duì)所有都收斂。2.解： 因?yàn)槭諗浚适諗?3. 解：因?yàn)?比較判別法的適用范圍比較廣泛，適用于大部分無(wú)法通過其它途徑判別其斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 （三）當(dāng)級(jí)數(shù)含有階層，次冪，形如或或分子分母含多個(gè)因子連乘除時(shí)，選用比式判別法，當(dāng)通項(xiàng)含與 的函數(shù)可以選用比式判別法的極限形式進(jìn)行判斷。；例：1. （判斷斂散性）解：因?yàn)橛斜容^判別法的極限形式知該級(jí)數(shù)發(fā)散2. 解： 因?yàn)橛杀仁脚袆e法知該級(jí)數(shù)發(fā)散.3.解：因?yàn)?故由比式判別法的極限形式得該級(jí)數(shù)發(fā)散。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)選用根式判別法無(wú)法判斷時(shí)。我們也可以選用比式判別發(fā)來(lái)判斷，但有時(shí)候我們用根式判別法而不使用比式判別法，因?yàn)楦脚袆e法的收斂條件比比式判別法更優(yōu)。

14、（四）當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式形如，含有的表達(dá)式或可以找到原函數(shù)，或級(jí)數(shù)為上非單調(diào)減函數(shù)，含有或等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù)，可以選用積分判斷法。例：1.討論級(jí)數(shù)的斂散性 解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)楣视煞e分判別法知所討論級(jí)數(shù)發(fā)散。再由比較判別法知所討論級(jí)數(shù)時(shí)發(fā)散。當(dāng)時(shí)因?yàn)?所以由積分判別法知所討論的級(jí)數(shù)收斂。2.證明：當(dāng)時(shí)，下列級(jí)數(shù)收斂： 解： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是正的單調(diào)減少且連續(xù)，而無(wú)窮積分 都收斂，于是當(dāng)時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。 3.討論級(jí)數(shù)的斂散性解：設(shè)則在上非負(fù)遞減， 收斂，由積分判斷法知收斂。 （五）當(dāng)級(jí)數(shù)同時(shí)含有階層與次冪，形如與時(shí)，或使用比值，根式判別法時(shí)極限等于1或無(wú)法判斷其斂散性的時(shí)候，選用拉貝判別法，例：

15、 1.判定級(jí)數(shù)的斂散性。 解： 由拉貝判別法知級(jí)數(shù)收斂。2.判別的斂散性。解：因?yàn)槎衫惻袆e法知該級(jí)數(shù)收斂。因此，當(dāng)根式判別法與比值判別法無(wú)法判斷斂散性時(shí)，我們可以選用拉貝判別法。（六）當(dāng) 的值可以化為泰勒展開式，則選用高斯判別法。如：1討論 的斂散性. 解：由于 ，時(shí) ，有 故原級(jí)數(shù)當(dāng) 時(shí)收斂，當(dāng) 時(shí)發(fā)散.5. 總結(jié)與展望綜上所說(shuō)，判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性有多種方法：比較判別法，柯西判別法，阿貝爾判別法以及上面討論的比式判別法和積分判別法。但是它們各自適用于不同的形式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)判別法特性和級(jí)數(shù)通項(xiàng)的特點(diǎn)來(lái)選擇判別方法更有利于級(jí)數(shù)的斂散性問題的解決。如果原級(jí)數(shù)含有次冪的形式，則可考慮用柯西

16、判別法，如果原級(jí)數(shù)含有等形式則可試用比式判別法，如果用上面三種方法都不容易判斷斂散性可試用拉貝爾判別法，如果級(jí)數(shù)是乘積形式，那么可以選用上面介紹的其它方法。參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）m.第三版，高等教育出版社，2001：616.2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系（沈燮昌）.數(shù)學(xué)分析（第二冊(cè)）m.第一版，高等教育出版社，1986：201 218.3 劉玉璉，傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義（下冊(cè)）m.第三版，高等教育出版社，1992：1121.4 朱靜航.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）m.第一版，吉林教育出版社，1988：1532.5 宋國(guó)柱，任福賢，許紹溥，姜東平.數(shù)學(xué)分析教程（下冊(cè)）m.第一版，南京大學(xué)出版社，1990：624. 6 何琛，史濟(jì)懷，徐森林.數(shù)學(xué)分析（第三冊(cè)）m.第一版，高等教育出版社，1985：1336.7 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系（陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽(yáng)光中）.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）m.第二版，高等教育出版社，1983：1219.8 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講（第三冊(cè)）m.第一版， 北京大