全國初中數學聯(lián)合競賽（初三年級組）試題參考答案及

1、2014年全國初中數學聯(lián)合競賽（初三年級組）試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數.第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知為整數，且滿足，則的可能的值有（ ）a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個【答】 c.由已知等式得，顯然均不為0，所以0或.若，則.又為整數，可求得或所以或.因此，的可能的值有3個.2已知非負實數滿足，則的最大值為 （ ）a b c d【

2、答】 a.，易知：當，時，取得最大值.3在中，為的中點，于，交于，已知，則 （ ）a b c d【答】 b.因為，所以四點共圓，所以，又，所以，所以.2014年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第1頁（共5頁）又易知，所以，從而可得.46張不同的卡片上分別寫有數字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，則這3張卡片上所寫的數字可以作為三角形的三邊長的概率是 （ ）a b c d【答】 b.若取出的3張卡片上的數字互不相同，有2228種取法；若取出的3張卡片上的數字有相同的，有3412種取法.所以，從6張不同的卡片中取出3張，共有81220種取法.要使得三個數字可以構成三角形的三邊長，只

3、可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所寫數字有重復，所以，取出的3張卡片上所寫的數字可以作為三角形的三邊長的情況共有428種.因此，所求概率為.5設表示不超過實數的最大整數，令.已知實數滿足，則 （ ）a b c d1【答】 d.設，則，所以，因式分解得，所以.由解得，顯然，所以1.6在中，在上，在上，使得為等腰直角三角形, ,則的長為 （ ）ab c d【答】 a.過作于，易知，.設，則，故，即.又，故可得.故.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知實數滿足，則_【答】 0.由題意知，所以2014年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案

4、及評分標準 第2頁（共5頁）整理得，所以0.2使得不等式對唯一的整數成立的最大正整數為 【答】144.由條件得，由的唯一性，得且，所以，所以.當時，由可得，可取唯一整數值127.故滿足條件的正整數的最大值為144.3已知為等腰內一點，為的中點，與交于點，如果點為的內心，則 【答】.由題意可得，而，所以，從而可得.又，所以，從而.所以， ，所以.4已知正整數滿足:，則 【答】36.設的最大公約數為，均為正整數且，則，所以，從而，設（為正整數），則有，而，所以均為完全平方數，設，則，均為正整數，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，則，驗算可知只有滿足等式，此時，不符合題意，故舍去.若，則，驗算可

5、知只有滿足等式，此時，符合題意.因此，所求的.2014年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第3頁（共5頁）第二試 （a）一、（本題滿分20分）設實數滿足，求的值解 由已知條件可得，.設，則有， 5分聯(lián)立解得或. 10分若，即，則是一元二次方程的兩根，但這個方程的判別式，沒有實數根； 15分若，即，則是一元二次方程的兩根，這個方程的判別式，它有實數根.所以. 20分二（本題滿分25分）如圖，在平行四邊形中，為對角線上一點，且滿足, 的延長線與的外接圓交于點. 證明：證明 由是平行四邊形及已知條件知.5分又a、b、f、 d四點共圓，所以，所以， 15分所以. 20分又，所以，故. 25分三（本題滿分25分）設是整數，如果存在整數滿足，則稱具有性質.在1，5，2013，2014這四個數中，哪些數具有性質，哪些數不具有性質？并說明理由.解 取，可得，所以1具有性質.取，可得，所以5具有性質.5分為了一般地判斷哪些數具有性質，記，則2014年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準 第4頁（共5頁）.即 10分不妨設，如果，即，則有；如果，即，則有；如果，即，則有；由此可知，形如或或（為整數）的數都具有