13Bit多速正六邊形格子氣自動(dòng)機(jī)模型

1、文章編號(hào) :1000 - 582x (1999) 0320117205132bit 多速正六邊形格子氣自動(dòng)機(jī)模型鄭忠 , 高 小 強(qiáng) , 石 萬 元 , 徐 楚 韶(重慶大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院 ,重慶 400044)摘要 : 建立了具完全對稱性的多速正六邊形格子氣自動(dòng)機(jī)模型 ,通過對典型繞流問題的計(jì)算模擬 ,證明了模型的正確性和有效性 。關(guān)鍵詞 : 流體流動(dòng) ; 數(shù)值模擬 ; 柱體 / 格子氣自動(dòng)機(jī)中圖分類號(hào) : o 242 ; o 357 . 1 ; o368文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 :a近年以流體分子運(yùn)動(dòng)論為背景發(fā)展起來的格子氣自動(dòng)機(jī) (lattice gas automation ,縮寫為l ga)

2、 方法 ,與傳統(tǒng)基于流體連續(xù)介質(zhì)描述的計(jì)算流體力學(xué)數(shù)值離散化方法截然不同 。它是 建立在一種簡單的微觀世界之上 ,不僅其存在的空間和時(shí)間是離散的 ,更重要的是流體也離 散成大量只有單位質(zhì)量而無體積的微觀粒子 ,粒子運(yùn)動(dòng)遵守力學(xué)守恒定律 ,同時(shí)服從統(tǒng)計(jì)規(guī) 律 。其宏觀平均行為符合宏觀的微分方程 。因此格子氣自動(dòng)機(jī)模型的實(shí)現(xiàn)和運(yùn)行機(jī)制實(shí)現(xiàn) 了用簡單的微觀局域作用規(guī)則及完全并行的 boole 運(yùn)算規(guī)則來表現(xiàn)宏觀流動(dòng)的復(fù)雜行為及 其時(shí)間演化 。它不僅符合并體現(xiàn)了真實(shí)世界的計(jì)算原則 ,而且既能描述流體的宏觀流動(dòng)特 征 ,又能得出流動(dòng)的微觀細(xì)節(jié) 。這種“自下而上”的建模方法尤其適用于對傳統(tǒng)方法難于處 理的

3、復(fù)雜幾何邊界流動(dòng)問題的描述 。自 1972 年第一個(gè)基于正方形網(wǎng)格劃分的 hpp1 模型提出以來 ,格子氣自動(dòng)機(jī)模型已有了很大的發(fā)展 ,最著名的是基于正三角形網(wǎng)格劃分的 fhp 模型2 。以后又出現(xiàn)了多速格子 氣模型 ,但已有的多速模型主要是通過將二維空間網(wǎng)格劃分成正方形3 或矩形4 ,以使流體 粒子在同一時(shí)間步長內(nèi)沿不同運(yùn)動(dòng)方向 (如對角線與直角邊) 運(yùn)動(dòng)的距離不同來實(shí)現(xiàn)多速 , 并且正方形網(wǎng)格只對一些簡單情形有效 ,且模型運(yùn)行的關(guān)鍵 碰撞規(guī)則復(fù)雜 ;而矩形網(wǎng)格 可分解成兩個(gè)斜六邊形網(wǎng)格 ,再借助映射將其轉(zhuǎn)化為正六邊形網(wǎng)格 ,從而采用 fhp 模型的 有關(guān)規(guī)則 ,但這種處理方法在一定程度上增

4、加了空間計(jì)算的復(fù)雜性和計(jì)算量 。因此筆者建 立了一種新的多速模型 ,基于不同能量流體粒子在空間的運(yùn)動(dòng)狀況不同 、運(yùn)動(dòng)距離不等的特 點(diǎn) ,通過引入不同能量的高低能流體粒子在同一時(shí)間步長運(yùn)動(dòng)的空間等步長的步數(shù)不同 ,并設(shè)計(jì)相應(yīng)的碰撞規(guī)則 ,來實(shí)現(xiàn)模型的多速 。具體模型建立如下 。1 網(wǎng)格劃分與碰撞規(guī)則設(shè)計(jì) 收稿日期 :1998207206基金項(xiàng)目 :國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (59604008)作者簡介 :鄭忠 (1963 - ) ,女 ,浙江人 ,重慶大學(xué)副教授 ,碩士 ,從事復(fù)雜過程模擬 、熱能工程及系統(tǒng)工1. 1流動(dòng)區(qū)域的網(wǎng)格劃分多速正六邊形格子氣模型 ,采用與 fhp 模型 一致的三角形網(wǎng)

5、格 ,如圖 1 所示 ,圖中網(wǎng)格線的交 點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) ,每個(gè)節(jié)點(diǎn)位置的粒子可以沿六條網(wǎng)格 線向六個(gè)完全對稱的方向運(yùn)動(dòng) ,但分布在網(wǎng)格節(jié) 點(diǎn)上的流體粒子 沿 網(wǎng) 格 線 運(yùn) 動(dòng) 的 速 度 可 以 不 同 (如靜止不動(dòng)或在單位時(shí)步運(yùn)動(dòng)一格 、兩格) ,即有靜止粒子 、1 速粒子和 2 速粒子 ,某時(shí)刻一個(gè)節(jié)點(diǎn)圖 1 13 bit 模型的網(wǎng)格劃分有多個(gè)粒子時(shí) ,按預(yù)先設(shè)計(jì)的碰撞規(guī)則發(fā)生碰撞 ,流體粒子不斷地移動(dòng) 、碰撞 ,并隨時(shí)間演化 ,構(gòu)成了格子氣模型的運(yùn)行 。流體粒子無論是移動(dòng)還是碰撞 ,在整個(gè)模擬空間中均是同步 進(jìn)行 ,即符合并行計(jì)算原則 。流場是由流動(dòng)空間節(jié)點(diǎn)上微觀流體粒子 (通常設(shè)所有粒子均

6、為單位質(zhì)量) 狀態(tài)在運(yùn)行過 程中所表現(xiàn)出來的宏觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律 ,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)可按粒子運(yùn)動(dòng)方向采用二進(jìn)制數(shù)的方式來 表示 。假設(shè)用 s ( x , t) 表示節(jié)點(diǎn) x 在時(shí)刻 t 的狀態(tài) ,即 : = 0 ,1 ,2 , , bs ( x , t )= n ( x , t ) ;(1)其中 , n ( x , t) 為 boole 變量 ,表示 t 時(shí)刻 x 節(jié)點(diǎn)以速度 e 運(yùn)動(dòng)的粒子數(shù)是否占有的情況 ,對應(yīng)于 n = 1 或 0 , e = c co s (2/ 6) ,sin (2/ 6) ( = 1 , ,6 ; c = 0 ,1 ,2 表示三種不同速 度大小的粒子) . b 為節(jié)點(diǎn)具有的可

7、以存在粒子的方向數(shù) (如圖 2 所示) 。圖中 0 代表靜止粒子 所處位置 ,1 6 代表 1 速粒子的運(yùn)動(dòng)方向 ,7 12 代表 2 速粒子的運(yùn)動(dòng)方向 ,可以將圖中節(jié) 點(diǎn) 0 12 個(gè)粒子可能運(yùn)動(dòng)方向按低位到高位的編碼規(guī)則表示成 s ( x , t ) = 0000010101000 的13 位布爾數(shù) 。正是這種按位存貯節(jié)點(diǎn)信息的方式 , 因此又把多速正六邊形格子氣自動(dòng)機(jī)模型簡稱為 132bit 格子氣自動(dòng)機(jī)模型 。圖 2 多速正六邊形格子氣模型的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)編碼及數(shù)字表示1. 2碰撞規(guī)則設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)到同一個(gè)節(jié)點(diǎn)的粒子將會(huì)發(fā)生碰撞 ,碰撞之后 ,粒子的運(yùn)動(dòng)方向和狀態(tài)都有可能改 變 ,其改變方式由碰撞

8、規(guī)則所確定 ,碰撞規(guī)則決定節(jié)點(diǎn)粒子碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 。碰撞規(guī)則的 設(shè)計(jì)必須遵循守恒定律 ,即碰撞過程必須保證節(jié)點(diǎn)粒子質(zhì)量 、動(dòng)量以及總能量守恒 。另外 ,格 子氣模型的運(yùn)行還應(yīng)服從 pauli 不相容原理 。典型的碰撞規(guī)則如下 :1) 二體碰撞 (圖 2) ; 2) 同類粒子三體碰撞 (圖 3) ; 3) 不同類粒子的三體碰撞 (圖 4) 1第 22 卷第 3 期鄭 忠 等 : 132bit 多速正六邊形格子氣自動(dòng)機(jī)模型119( a)( b)1 速或 2 速粒子與靜止粒子的碰撞規(guī)則兩個(gè)同類粒子的對心碰撞規(guī)則圖 3 二體碰撞規(guī)則圖 4 三個(gè)同類粒子的“梅花型”碰撞規(guī)則圖 5 一個(gè) 2 速粒子與兩

9、個(gè) 1 速粒子的碰撞規(guī)則它們從上游邊界流進(jìn)來 ,設(shè)上游邊界和下游邊界在 t 時(shí)刻分布的粒子數(shù)分別用 n上 ( t ) 和 n下( t) 表示 ,則該方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 :n上 ( t + 1) = n下 ( t)(2)模型的宏觀平均行為與宏觀物理量的統(tǒng)計(jì)粒子數(shù)分布 n ( x , t) 的系綜平均就稱為分布函數(shù) f ( x , t ) ,由粒子數(shù)分布2n 的系綜平均 ,再根據(jù) n 弱關(guān)聯(lián)的 boltzmann 假設(shè) ,可以得到以 f 表示的 boltzmann 方程 ,并且格子氣系統(tǒng)要滿足 fermi2dirac 平衡分布 ,而基于粒子間碰撞的守恒定律可以導(dǎo)出流體力學(xué)矩方程 ,運(yùn) 用 chap

10、man2enskog 展開和多尺度技術(shù)可以導(dǎo)出格子氣模型的宏觀流體力學(xué)方程4 ,經(jīng)尺度 變換可得到流體流動(dòng)的 navier2stokes 方程 。這種為收斂到 n2s 方程的理論分析方法以及模型網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量的限制 ,將導(dǎo)致格子氣自動(dòng)機(jī)模型僅適用于低 re 數(shù)和低 mach 數(shù)的流動(dòng)情況 。 2 粒子密度 、速度以及比內(nèi)能等宏觀物理量可由單粒子密度分布函數(shù) f ( x , t) 來定義。x 處 t 時(shí)刻具有動(dòng)能 e 的粒子數(shù) n ( x , t) , 因此用在實(shí)際模擬中 ,所能知道的只是某節(jié)點(diǎn) 4 n ( x , t ) 來代替 f ( x , t ),于是 :流體密度 :( x , t ) =

11、n ( x , t )(3)宏觀速度 u :u ( x , t)en ( x , t)(4)= 1比內(nèi)能 :( x , t )=n ( x , t ) 2 ( e -u) ( e -u)(5)雷諾數(shù) re 及有關(guān)參數(shù)按格子氣流體計(jì)算方法進(jìn)行 ,運(yùn)動(dòng)粘度 或( = ) 可 用 bolt2zmann 近似分析法得到6 ,具體可借鑒 fhp 模型的相應(yīng)公式4 ,并考慮 132bitl ga 模型有 012 個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)方向的實(shí)際條件進(jìn)行計(jì)算或由數(shù)值實(shí)驗(yàn)確定5 。對一定時(shí)間步長和空間 步長的相應(yīng)物理量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均 ,可獲得具統(tǒng)計(jì)意義的宏觀格子氣模擬結(jié)果 。132bit l ga 模型對二維柱體繞流的模擬

12、為考察所建立的 132bit l ga 模型的正確性和對流體流動(dòng)模擬的有效性 ,下面以幾種典 型的二維柱體繞流問題的模擬為例 ,通過與著名 fhp 格子氣模型的模擬結(jié)果 ,以及與有關(guān)33. 1與 fhp 模型模擬結(jié)果的比較已有的研究證明了 fhp 模型不僅能夠正確模擬許多種類的流體流動(dòng) ,而且其理論推導(dǎo) 結(jié)果也與 n2s 方程相符合 。而我們將 fhp 模型推廣得到的 132bitl ga 模型 ,它們的原理相同 ,遵循同樣的守恒定律 ,二者的根本區(qū)別是后者可以有速度為 2 的粒子 ,而前者卻沒有 。既然如此 ,問題就歸結(jié)為 2 速粒子的引入是否正確 。因此 ,我們可以采用如下方法 : 暫時(shí)不

13、考慮溫度的影響 ,只對流場情況進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)并加以分析 ,即如果去掉 2 速粒子 ( 只有 1 速 粒子和靜止粒子 ,即為 fhp 模型) 所模擬的結(jié)果正確 ,且與含有 2 速粒子情況下所模擬流場 一致 ,那么 ,我們就認(rèn)為所建立的 132bitl ga 模型正確 。大量的數(shù)值對比實(shí)驗(yàn)證明了這一 點(diǎn) 。典型的結(jié)果如圖 6 、圖 7 所示 。圖 2 貨幣識(shí)別軟件流程圖 6 fhp 模型模擬結(jié)果128 64 格子 , 迭代 400 時(shí)步 , 統(tǒng)計(jì)時(shí)步 50 ,統(tǒng)計(jì) 空間 4 4 ,粒子密度 ( = 1. 2 粒子格點(diǎn) ,速度放大 倍數(shù) 1. 0 ,上下板為絕熱邊界 , 僅 1 速和靜止粒子 ,u =

14、 0. 372 單位格子長度時(shí)步 ,re = 39. 4圖 7 132bitl ga 模型模擬結(jié)果128 64 格子 , 迭代 400 時(shí)步 , 統(tǒng)計(jì)時(shí)步 50 ,統(tǒng)計(jì) 空間 4 4 ,粒子密度 ( = 1. 2 粒子格點(diǎn) ,速度放大 倍數(shù) 1. 0 ,上下板絕熱邊界 ,有靜止 、1 速和 2 速粒子 ,u = 0. 41 單位格子長度時(shí)步 , re = 43. 63. 2與傳統(tǒng)數(shù)值方法模擬結(jié)果的比較盡管人們對 fhp 格子氣自動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行了大量深入的研究 ,但仍處于探索階段 。而傳統(tǒng)的計(jì)算流體力學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一門較為成熟的學(xué)科 ,流體力學(xué)數(shù)值模擬傳統(tǒng)的有限差分 、有限元 、邊界元等方法也較為

15、完善 ,特別是有限差分法 ,它們都已經(jīng)成功 、有效地應(yīng)用于工程實(shí)際 ,解決了大量的流動(dòng)問題 。圖 8 132bitl ga 模型模擬的方柱繞流128 64 格子 ,粒子密度 = 1. 0 粒子格點(diǎn) ,上下 板絕熱邊界 ,迭代 400 時(shí)步 ,統(tǒng)計(jì)時(shí)步 50 , u = 0.55 ,單位格子長度時(shí)步 , re = 57. 4圖 9 132bitl ga 模型模擬三園柱繞流128 64 格子 ,迭代 400 時(shí)步 ,統(tǒng)計(jì)時(shí)步 50 。粒子 密度 = 1. 5 粒子格點(diǎn) , 上下板為絕熱邊界 。 u= 0. 30 單位格子長度時(shí)步 , re = 25. 8第 22 卷第 3 期鄭 忠 等 : 132

16、bit 多速正六邊形格子氣自動(dòng)機(jī)模型1217 中仿真迭代法) 以及圖 8 的三圓柱繞流 (對應(yīng)于文獻(xiàn) 8 中邊界元法多體繞流) 的 132bitl2ga 模型模擬計(jì)算流場 。由以上模擬結(jié)果圖例可以看出 : 在條件基本相同的情況下 ,多速模型與 fhp 模型模擬 所得流場分布規(guī)律一致 ;與傳統(tǒng)數(shù)值模擬結(jié)果相比 ,132bit 格子氣自動(dòng)機(jī)模型能夠正確模擬 各種流體流動(dòng) ,而且方法更簡便易行 ,模型通用性較強(qiáng) 。模擬可以統(tǒng)計(jì)出速度 、雷諾數(shù) re 等宏觀參數(shù) 。各種初始條件 、邊界條件的調(diào)整容易 。模擬所獲得的信息詳細(xì) 、直觀 。4結(jié)論建立的具完全對稱性的 132bit 多速正六邊形格子氣自動(dòng)機(jī)模

17、型 ,其方法簡便易行 ,通用性較強(qiáng) ,可有效模擬典型繞流等復(fù)雜邊界流動(dòng)問題 。模擬結(jié)果不僅可描述流體的宏觀流動(dòng) 特征 ,同時(shí)又能得出流動(dòng)的微觀細(xì)節(jié) 。參考文獻(xiàn)hardyj ,pomeau y. thermodynamics and hydrodynamics for a model fluidj . j . math. phys. ,1972 ,13 ,10421051frisch u , hasslacher b , pomeau y. lattice2gas automata for the navier2stokes equation j . phys. rev. lett . ,198

18、6 ,56 ,15051508chen s ,l ee m ,zao k h et al . a lattice gas model with temperature j . physica d , 1989 ,37 ,42 59李元香 ,康立山 ,陳毓屏 . 格子氣自動(dòng)機(jī) m . 北京 :清華大學(xué)出版社 ,1994. 5265 ,169rothman d h. cellular2automaton fluids :a model for flow in porous media j , geophysics ,1988 , 53 (4) :509518frisch u ,dhumieres d , hasslacher b et al . lattice hydrodynamics in two and three dimensions j . complex systems , 1987 , 1 :649707mchugn p r ,ramshaw j d. damped artifical compressibility iteration scheme for implicit calculations of un2steady impressible flow , international journal for numerical methods in fl