高中數(shù)學論文：一道課本例題的探究

1、一道課本例題的探究在高一數(shù)學第五章向量的第五節(jié)線段的定比分點中，有這樣一道例題：x1+ x2 +x3a例2 已知：abc的三個頂點a（x1,y1）,b(x2，y2),c(x3，y3),d是邊ab的中點，且 =2，求點g的坐標？y1+ y2 +y33gcyxdb 書中利用定比分點公式得出xg = 3 yg = 由此，則任意已知頂點坐標的三角形重心坐標均能以此公式求得。但如將問題變?yōu)椋阂阎猘bc的ab,bc ,ca上的中點分別是d(xd,yd),e(xe,ye),f(xf,yf),求abc的重心g的坐標，則結(jié)果如何呢？xb + xc xb + xc xa + xb 解：d,e,f分別是 ab,bc

2、 ,ca 的中點222xd= , xe = , xf = 則xd+xe+xf=xa+xb+xcxg=同理 yg=33yd+ye+yfxd+xe +xf abc的重心g的坐標是（ ， ）我們發(fā)現(xiàn)：此題中abc的重心g的坐標剛好是def的重心坐標，即兩個三角形重心是重合的。那么，如果我們繼續(xù)取def的各邊中點并連結(jié)之，仍能證明所得的三角形的重心還是g,。故而，我們能夠得出，連結(jié)任意一個anbncn的各邊中點，所得的an+1bn+1cn+1的重心均重合（nn）。a那么，如果我們繼續(xù)探討，比如取abc各邊上的三等分點（如圖），再來求def的重心g，看看此時這兩個三角形的重心有沒有重合呢?d 由已知，d

3、是ab邊上的三等分點（如圖），可得d,e,f分bcefba,cb,ac的比均為2， 故xd= ,xe = xf = xd+xe +xf = = xa+xb+xf xg= 同理 yg= 可見，以上兩個三角形的重心仍重合。d對此，我們還能取4等分點，5等分點，仍可證明按上述方法得到的三角形其重心還是重合于同一點g。如果，我們再深入探討，不取等分點，而取一個實數(shù)，使abc各邊所在直線上的點d,e,f滿足=，此時，def的重心和abc的重心g還能重合嗎？cfcebdaa 證明如下：由已知，= ,由定比分點公式feb 得xd= ,xe = xf = 則xd+xe +xf = = xa+xb+xf即 xg

4、=同理 yg= ，故 def的重心和abc的重心g仍然重合。綜上，我們得出在任意anbncn各邊anbn，bncn，cnan 所在直線上取點an+1，bn+1，cn+1，只要滿足= ，則所得的an+1bn+1cn+1的重心與anbncn的重心重合，且xan+xbn+xcn=xan+1+xbn+1+xcn+1, yan+ybn+ycn=yan+1+ybn+1+ycn+1 。應用以上結(jié)論，能幫助我們快速解決此類重心問題，如： 例1 ：已知a1b1c1的頂點為：a1（xa1，ya1），b1（xb1，yb1），c1（xc1，yc1），依次連結(jié)其各邊中點得到a2b2c2，再連結(jié)a2b2c2各邊中點得到a

5、3b3c3，如記an= xan+ xbn+ xcn, bn= yan+ ybn+ ycn,則當a1b1c1的頂點坐標為a1（2，3），b1（-2，1），c1（3，1）時，a100= ,b100= 解: 易知以上各三角形重心均重合,且橫坐標和,縱坐標和均分別相等,故a100= xa1+ xb1+ xc1=2-2+3=3 , b100= ya1+ yb1+ yc1=3+1+1=5例2 ：已知abc的頂點a(5,0),b(2,3),若d,e,f在ab,bc,ca邊上,且滿足be:ec=cf:fa=1:2,則當abc和def的重心重合時,求d點的坐標.解:設ad:db=1 ,由abc和def的重心重合及定比分點公式,則+= xa+xb+xc ,計算得1=0.5 應用定比分點公式可得d(4,1)例3: 已知abc的頂點b(-1,0),c(1,0), a在拋物線y=x+1上，且ab,bc,ca上的三點d,e,f滿足ad:db=be:ec=cf:fa,求def的重心g到頂點a的最小值。解：由ab,