含雜質的一維雙原子鏈中的晶格振動論文

1、長 治 學 院2008屆學士學位畢業(yè)論文含雜質的一維雙原子鏈中的晶格振動學 號： 05105188 姓 名： 指導教師： 專 業(yè)： 物理學 系 別：電子信息與物理系 完成時間：2009年05月含雜質的一維雙原子鏈中的晶格振動專業(yè)：物理學 姓名：何俊霞 學號：05105109指導教師：逯美紅摘要：晶體內的原子不是靜止在晶格平衡位置上，而是圍繞其平衡位置作微振動，稱為晶格振動。由于晶體內原子間存在著相互作用力，各個原子的振動也并非是孤立的，而是相互聯系著的，因此在晶體中形成了各種模式的波，稱為格波。格波和一般連續(xù)介質波有共同的波的特征，但也有不同的特點。本文討論了一維雙原子鏈的晶格振動，主要討論了

2、鏈中有雜質原子的局域振動，對雜質原子替代大原子和替代小原子的情況分別進行了分析，得到這兩種情況下的高頻模和隙模的頻率。關鍵詞：一維雙原子鏈；晶格振動；雜質；局域模1 引言晶格振動是晶體中諸原子（離子）集體地在作振動，其結果表現為晶格中的格波。在固體物理教材中1,3，對晶體振動的研究是從解釋固體的熱學性質開始的，最初把晶體中的原子看作是一組相互獨立的振子，應用能量均分定理可以說明固體比熱容服從杜隆-珀替定律，但與t=0k時的的規(guī)律不符。1906年愛因斯坦提出固體比熱容的量子理論，認為獨立諧振子的能量是量子化的，可以得到t=0k時的規(guī)律的結論，但與低溫下的實驗結果不符。1912年德拜提出固體的比熱

3、容理論，把固體當成連續(xù)介質，晶格振動的格波看連續(xù)介質中的彈性波，得到低溫下的結果。隨后，玻恩及玻恩學派逐步建立和發(fā)展了比較系統(tǒng)的晶格振動理論成為最早發(fā)展的固體理論之一。晶格振動理論不僅可以用來解釋固體的熱學性質、結構相變等許多物理性質都是極為重要的，是研究固體物理性質的基礎。本文討論了一維雙原子鏈的晶格振動，結論指出當晶體中存在有雜質時，就可能產生局域振動，這種局域振動只是局限在雜質附近，其振動頻率與雜質原子質量有關。一維雙原子鏈中雜質對晶格振動的影響，在固體物理學教材中未見討論，所以本文的研究不僅有助于對相關概念的進一步理解，而且對于教學研究也有很重要的意義。2 一維雙原子鏈晶格振動模型一維

4、無限長雙原子鏈，原子質量m和m（mm），相鄰原子間平衡距離為a，在簡諧近似下的力常數為，如圖所示，原子限制在沿鏈的方向運動，偏離格點的位移用，u2n、u2n+1表示，得到原子運動方程md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u2n+1dt2=u2n+2+u2n-2u2n+1 (2-1)這個方程組有下列形式的格波解 u2n=aei t-2naqu2n+1=bei t-2n+1aq (2-2)代入運動方程(2-1)除去共同的指數因子后，得到 -m2a=+e-iaq+eiaqb-2a-m2a=+e-iaq+eiaqb-2b (2-3)方程(2-3)可看作是以a，b為未知數的線性齊次方

5、程 m2-2a+2cosaqb=02cosaqa+m2-2b=0 (2-4)它的有解條件是m2-22cosaq2cosaqm2-2=0 (2-5)得關于2的一元二次方程 mm4-2m+m2+42sin2aq=0 (2-6)解得：2=m+mmm11-4m+mm+m2sin2aq12 (2-7)屬于+的格波稱為光學波，屬于-的格波稱為聲學波23 一維雙原子鏈中雜質的局域振動 設質量分別為m和m（mm）的兩種原子組成一維雙原子鏈，相鄰原子間的平衡距離為a，在簡諧近似下的力常數為，對于一維雙原子鏈中的一個雜質原子，其位置可以是替代小原子，也可以是替代大原子，下面分別進行討論。為簡明起見，設雜質原子兩側

6、的力常數仍為。3.1 雜質原子替代大原子的情況質量為m的雜質原子替代大原子的一維雙原子鏈如圖1所示。大、小原子相對平衡位置的位移分別記為u2n、u2n+1，取雜質原子所在的原胞為n=0原胞。 3.1.1 晶格振動方程及其解 在簡諧近似和最近鄰近似下晶格振動運動方程為 md2u2n+2dt2=u2n+1+u2n-2u2n+1md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u0dt2=u1+u-1-2u0 (3-1)令ule-it，式（3-1）寫為 m2u2n+1+u2n+1+u2n-2u2n+1=0m2u2n+u2n+1+u2n-1-2u2n=0 m2u0+u1+u-1-2u0=0 (

7、3-2)令m2=2m， m2=2m,=m-mm,式（3-2）簡化為： u2n+2+u2n+22m2-1u2n+1=0u2n+1+u2n-1+22m2-1u2n=0u1+u-1+21-2m2-1u0=0 (3-3)由式（3-3）可知雜質原子的存在不影響格波反對稱解（ul=-u-l），這時ul+u-l=0，且u0=0；下面只討論（ul=-u-l）對稱解。設方程（3-3）解的一般形式為： u2n=a22n+b2-2n=a22n+b2-2nu2n+2=a12n+1+b1-2n+1=a12n+12+b1-2n+12 (3-4) 將其代入式（3-3）得：a22n+2+b2-2n+2+a22n+b2-2n+

8、22m2-1a12n+1+b1-2n+1=0a12n+1+b1-2n+1+a12n-1+b1-2n-1+22m2-1a22n+b2-2n=02a11+b1-1+212m2a1+b2=0 (3-5) 由上式中第一個方程，對于n0整理得到：2n2+1a2+22m2-1a1+-2n+22+1b2+22m2-1b1=0(3-6)由于2n與-2n+2線性無關，得到：2+1a2+22m2-1a1=02+1b2+22m2-1b1=0 （3-7） 式中a1、a2及b1、b1均為待定常數，作為的方程，式（3-7）的二式無本質區(qū)別，故可只討論第一式；對于n0，同樣可得到式（3-7）。這樣由式（3-5）的前兩個方程

9、可得：22m2-1a1+2+1a2=02+1a1+22m2-1a2=0 （3-8） 式（3-8）是關于a1、a2的線性齊次方程組，有非零解的條件是其系數行列式為零，22m2-12+12+122m2-1=0 （3-9）得到： 4+2-42m2-12m2-12+1=0 （3-10） 式（3-10）作為2的一元二次方程，其根的判別式為=162m22m222-12m2-12m2-1 （3-11）其中2=2,=mmm+m 當m或m時，1,“-”解|2|1.下面只討論|2|）或隙模（mm）。3.1.2 高頻模和隙模 由式（3-5）的第三個方程，考慮到與-1線性無關，與式（3-7）類似可得 a1+(1-)2

10、m2-1a2=0 (3-13)將式（3-13）與式（3-8）聯立，消去和得到： 2+1+21-1-2m22m2-1=02+1+1+2m2-1-22m2-1=0 (3-14) 方程組（3-14）消去，得關于2的一元二次方程，解得 2=2m2+1-2m242m4+1-2m421-2 （3-15）其中+為高頻模頻率，-處于m與m之間為隙模頻率。對于高頻模，有 +2-2=22m2+1-2m2+42m4+1-2m421-20 (3-16)由式（3-16）可知，隨2的減小，+減小；當0時，+；將式（3-12）代入式（3-14）可知，這時0，即m0-2-m2=2m2-1-2m2-42m4+1-2m421-2

11、0，即mm,也是輕雜質情形。替代大原子的輕雜質，在一維雙原子鏈中同時產生高頻模和隙模。3.2 雜質原子替代小原子情況 質量為m的雜質替代小原子m的一維雙原子鏈如圖2所示.大小原子相對平衡位置的位移分別記為u2n+2、u2n,取雜質原子所在的原胞為,n=0原胞.晶格振動方程為：md2u2n+1dt2=u2n+2+u2n-2u2n+1md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u0dt2=u1+u-1-2u0 (3-18)令ule-it，式（3-18）寫為 m2u2n+1+u2n+1+u2n-2u2n+1=0m2u2n+u2n+1+u2n-1-2u2n=0 m2u0+u1+u-1-2

12、u0=0 (3-19)令m2=2m， m2=2m,=m-mm,式（3-19）簡化為： u2n+2+u2n+22m2-1u2n+1=0u2n+1+u2n-1+22m2-1u2n=0u1+u-1+21-2m2-1u0=0 （3-20）由式（3-20）可知雜質原子的存在不影響格波反對稱解（ul=-u-l），這時ul+u-l=0，且u0=0；下面只討論（ul=-u-l）對稱解。設方程（3-20）解的一般形式為： u2n=a22n+b2-2n=a22n+b2-2nu2n+1=a12n+1+b1-2n+1=a12n+12+b1-2n+12 (3-21) 將其代入式（3-20）得：a22n+2+b2-2n+

13、2+a22n+b2-2n+22m2-1a12n+1+b1-2n+1=0a12n+1+b1-2n+1+a12n-1+b1-2n-1+22m2-1a22n+b2-2n=02a11+b1-1+212m2a1+b2=0 (3-22) 由上式中第一個方程，對于n0整理得到：2n2+1a2+22m2-1a1+-2n+22+1b2+22m2-1b1=0(3-23)由于2n與-2n+2線性無關，得到：2+1a2+22m2-1a1=02+1b2+22m2-1b1=0 （3-24） 式中a1、a2及b1、b1均為待定常數，作為的方程，式（3-24）的二式無本質區(qū)別，故可只討論第一式；對于n0，同樣可得到式（3-2

14、4）。這樣由式（3-22）的前兩個方程可得：22m2-1a1+2+1a2=02+1a1+22m2-1a2=0 （3-25） 式（3-25）是關于a1、a2的線性齊次方程組，有非零解的條件是其系數行列式為零，22m2-12+12+122m2-1=0 （3-26）得到： 4+2-42m2-12m2-12+1=0 （3-27）的一元二次方程，其根的判別式為=162m22m222-12m2-12m2-1 （3-28）其中2=2,=mmm+m 當m或m時，1,“-”解|2|1.下面只討論|2|）或隙模（mm）。3.2.1 高頻模和隙模 由式（3-22）的第三個方程，考慮到與-1線性無關，與式（3-24）

15、類似可得 a1+(1-)2m2-1a2=0 (3-30)將式（3-30）與式（3-25）聯立，消去和得到： 2+1+21-1-2m22m2-1=02+1+1+2m2-1-22m2-1=0 (3-31) 方程組（3-31）消去，得關于2的一元二次方程，解得 2=2m2+1-2m242m4+1-2m421-2 （3-32）其中+為高頻模頻率，-處于m與m之間為隙模頻率。對于高頻模，有 +2-2=22m2+1-2m2+42m4+1-2m421-20 (3-33)由式（3-33）可知，隨2的減小，+減??；當0時，+；將式（3-29）代入式（3-31）可知，這時0，即m0-2-m2=2m2-1-2m2-

16、42m4+1-2m421-20 (3-34)由式（3-34）可知，隨2的減小，-減?。划?時，-m；將式（3-29）代入式（3-31）可知，這時m,也是重雜質情形。4 結論與討論 一維雙原子鏈的晶格振動有聲頻支和光頻支，兩支格波之間存在頻隙。一維雙原子鏈中的雜質，有可能在光頻支之上產生局域的高頻模，也可能在頻隙中產生局域的隙模，或者不產生局域模。 對于雜質原子替代大原子的情況，若為輕雜質，則同時產生高頻模和隙模，其頻率均隨雜質原子質量的增大而減??；若為重雜質，則不產生局域振動。 對于雜質原子替代小原子的情況，若為輕雜質，則產生高頻模，其頻率隨雜質原子質量的增大而減?。蝗魹橹仉s質，則產生隙模，其

17、頻率隨雜質原子質量的減小而增大。以上結果與教材4中的定性結論相一致。 當一維雙原子鏈中兩種原子相同時，一維雙原子鏈就退化為一維單原子鏈，本文的討論結果可以正確地退化為一維單原子鏈的結果。令m=m，則式(3-15)和式 (3-32)均退化為 2=2m21-2 (3-35) 式(35)就是一維單原子鏈中雜質產生的高頻模頻率公式，其中2m2=4m為一維單原子鏈允許頻帶的上限。參考文獻：1黃昆，韓汝琦。固體物理學.北京：高等教育出版社，1988.82-962方俊鑫，陸棟。固體物理學。上海科學技術出版社，1980，1013 李正中固體理論m.北京：高等教育出版社，1985 415 4224（美）基泰爾

18、著，項金鐘，吳興惠 譯。固體物理導論?；瘜W工業(yè)出版社，2005lattice vibration of one dimensional diatomic chain with an impurityhejunxiaabstract：the atom in the crystals is not static in the equilibrium position of the lattice , but revolves its equilibrium position to make the micro vibration, which is called lattice vibration. it has the mutual action between the atoms in the crystals, each atom of vibration is not isolated, but is relating mutually, thus in the crystal forms various modes of wave, which is called lattice wave. lattice wave and general continuous medium wave have the common characteristics of wave, bu