含雜質(zhì)的一維雙原子鏈中的晶格振動(dòng)論文

1、長(zhǎng) 治 學(xué) 院2008屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文含雜質(zhì)的一維雙原子鏈中的晶格振動(dòng)學(xué) 號(hào)： 05105188 姓 名： 指導(dǎo)教師： 專 業(yè)： 物理學(xué) 系 別：電子信息與物理系 完成時(shí)間：2009年05月含雜質(zhì)的一維雙原子鏈中的晶格振動(dòng)專業(yè)：物理學(xué) 姓名：何俊霞 學(xué)號(hào)：05105109指導(dǎo)教師：逯美紅摘要：晶體內(nèi)的原子不是靜止在晶格平衡位置上，而是圍繞其平衡位置作微振動(dòng)，稱為晶格振動(dòng)。由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用力，各個(gè)原子的振動(dòng)也并非是孤立的，而是相互聯(lián)系著的，因此在晶體中形成了各種模式的波，稱為格波。格波和一般連續(xù)介質(zhì)波有共同的波的特征，但也有不同的特點(diǎn)。本文討論了一維雙原子鏈的晶格振動(dòng)，主要討論了

2、鏈中有雜質(zhì)原子的局域振動(dòng)，對(duì)雜質(zhì)原子替代大原子和替代小原子的情況分別進(jìn)行了分析，得到這兩種情況下的高頻模和隙模的頻率。關(guān)鍵詞：一維雙原子鏈；晶格振動(dòng)；雜質(zhì)；局域模1 引言晶格振動(dòng)是晶體中諸原子（離子）集體地在作振動(dòng)，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。在固體物理教材中1,3，對(duì)晶體振動(dòng)的研究是從解釋固體的熱學(xué)性質(zhì)開(kāi)始的，最初把晶體中的原子看作是一組相互獨(dú)立的振子，應(yīng)用能量均分定理可以說(shuō)明固體比熱容服從杜隆-珀替定律，但與t=0k時(shí)的的規(guī)律不符。1906年愛(ài)因斯坦提出固體比熱容的量子理論，認(rèn)為獨(dú)立諧振子的能量是量子化的，可以得到t=0k時(shí)的規(guī)律的結(jié)論，但與低溫下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。1912年德拜提出固體的比熱

3、容理論，把固體當(dāng)成連續(xù)介質(zhì)，晶格振動(dòng)的格波看連續(xù)介質(zhì)中的彈性波，得到低溫下的結(jié)果。隨后，玻恩及玻恩學(xué)派逐步建立和發(fā)展了比較系統(tǒng)的晶格振動(dòng)理論成為最早發(fā)展的固體理論之一。晶格振動(dòng)理論不僅可以用來(lái)解釋固體的熱學(xué)性質(zhì)、結(jié)構(gòu)相變等許多物理性質(zhì)都是極為重要的，是研究固體物理性質(zhì)的基礎(chǔ)。本文討論了一維雙原子鏈的晶格振動(dòng)，結(jié)論指出當(dāng)晶體中存在有雜質(zhì)時(shí)，就可能產(chǎn)生局域振動(dòng)，這種局域振動(dòng)只是局限在雜質(zhì)附近，其振動(dòng)頻率與雜質(zhì)原子質(zhì)量有關(guān)。一維雙原子鏈中雜質(zhì)對(duì)晶格振動(dòng)的影響，在固體物理學(xué)教材中未見(jiàn)討論，所以本文的研究不僅有助于對(duì)相關(guān)概念的進(jìn)一步理解，而且對(duì)于教學(xué)研究也有很重要的意義。2 一維雙原子鏈晶格振動(dòng)模型一維

4、無(wú)限長(zhǎng)雙原子鏈，原子質(zhì)量m和m（mm），相鄰原子間平衡距離為a，在簡(jiǎn)諧近似下的力常數(shù)為，如圖所示，原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動(dòng)，偏離格點(diǎn)的位移用，u2n、u2n+1表示，得到原子運(yùn)動(dòng)方程md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u2n+1dt2=u2n+2+u2n-2u2n+1 (2-1)這個(gè)方程組有下列形式的格波解 u2n=aei t-2naqu2n+1=bei t-2n+1aq (2-2)代入運(yùn)動(dòng)方程(2-1)除去共同的指數(shù)因子后，得到 -m2a=+e-iaq+eiaqb-2a-m2a=+e-iaq+eiaqb-2b (2-3)方程(2-3)可看作是以a，b為未知數(shù)的線性齊次方

5、程 m2-2a+2cosaqb=02cosaqa+m2-2b=0 (2-4)它的有解條件是m2-22cosaq2cosaqm2-2=0 (2-5)得關(guān)于2的一元二次方程 mm4-2m+m2+42sin2aq=0 (2-6)解得：2=m+mmm11-4m+mm+m2sin2aq12 (2-7)屬于+的格波稱為光學(xué)波，屬于-的格波稱為聲學(xué)波23 一維雙原子鏈中雜質(zhì)的局域振動(dòng) 設(shè)質(zhì)量分別為m和m（mm）的兩種原子組成一維雙原子鏈，相鄰原子間的平衡距離為a，在簡(jiǎn)諧近似下的力常數(shù)為，對(duì)于一維雙原子鏈中的一個(gè)雜質(zhì)原子，其位置可以是替代小原子，也可以是替代大原子，下面分別進(jìn)行討論。為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，設(shè)雜質(zhì)原子兩側(cè)

6、的力常數(shù)仍為。3.1 雜質(zhì)原子替代大原子的情況質(zhì)量為m的雜質(zhì)原子替代大原子的一維雙原子鏈如圖1所示。大、小原子相對(duì)平衡位置的位移分別記為u2n、u2n+1，取雜質(zhì)原子所在的原胞為n=0原胞。 3.1.1 晶格振動(dòng)方程及其解 在簡(jiǎn)諧近似和最近鄰近似下晶格振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為 md2u2n+2dt2=u2n+1+u2n-2u2n+1md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u0dt2=u1+u-1-2u0 (3-1)令ule-it，式（3-1）寫(xiě)為 m2u2n+1+u2n+1+u2n-2u2n+1=0m2u2n+u2n+1+u2n-1-2u2n=0 m2u0+u1+u-1-2u0=0 (

7、3-2)令m2=2m， m2=2m,=m-mm,式（3-2）簡(jiǎn)化為： u2n+2+u2n+22m2-1u2n+1=0u2n+1+u2n-1+22m2-1u2n=0u1+u-1+21-2m2-1u0=0 (3-3)由式（3-3）可知雜質(zhì)原子的存在不影響格波反對(duì)稱解（ul=-u-l），這時(shí)ul+u-l=0，且u0=0；下面只討論（ul=-u-l）對(duì)稱解。設(shè)方程（3-3）解的一般形式為： u2n=a22n+b2-2n=a22n+b2-2nu2n+2=a12n+1+b1-2n+1=a12n+12+b1-2n+12 (3-4) 將其代入式（3-3）得：a22n+2+b2-2n+2+a22n+b2-2n+

8、22m2-1a12n+1+b1-2n+1=0a12n+1+b1-2n+1+a12n-1+b1-2n-1+22m2-1a22n+b2-2n=02a11+b1-1+212m2a1+b2=0 (3-5) 由上式中第一個(gè)方程，對(duì)于n0整理得到：2n2+1a2+22m2-1a1+-2n+22+1b2+22m2-1b1=0(3-6)由于2n與-2n+2線性無(wú)關(guān)，得到：2+1a2+22m2-1a1=02+1b2+22m2-1b1=0 （3-7） 式中a1、a2及b1、b1均為待定常數(shù)，作為的方程，式（3-7）的二式無(wú)本質(zhì)區(qū)別，故可只討論第一式；對(duì)于n0，同樣可得到式（3-7）。這樣由式（3-5）的前兩個(gè)方程

9、可得：22m2-1a1+2+1a2=02+1a1+22m2-1a2=0 （3-8） 式（3-8）是關(guān)于a1、a2的線性齊次方程組，有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，22m2-12+12+122m2-1=0 （3-9）得到： 4+2-42m2-12m2-12+1=0 （3-10） 式（3-10）作為2的一元二次方程，其根的判別式為=162m22m222-12m2-12m2-1 （3-11）其中2=2,=mmm+m 當(dāng)m或m時(shí)，1,“-”解|2|1.下面只討論|2|）或隙模（mm）。3.1.2 高頻模和隙模 由式（3-5）的第三個(gè)方程，考慮到與-1線性無(wú)關(guān)，與式（3-7）類似可得 a1+(1-)2

10、m2-1a2=0 (3-13)將式（3-13）與式（3-8）聯(lián)立，消去和得到： 2+1+21-1-2m22m2-1=02+1+1+2m2-1-22m2-1=0 (3-14) 方程組（3-14）消去，得關(guān)于2的一元二次方程，解得 2=2m2+1-2m242m4+1-2m421-2 （3-15）其中+為高頻模頻率，-處于m與m之間為隙模頻率。對(duì)于高頻模，有 +2-2=22m2+1-2m2+42m4+1-2m421-20 (3-16)由式（3-16）可知，隨2的減小，+減?。划?dāng)0時(shí)，+；將式（3-12）代入式（3-14）可知，這時(shí)0，即m0-2-m2=2m2-1-2m2-42m4+1-2m421-2

11、0，即mm,也是輕雜質(zhì)情形。替代大原子的輕雜質(zhì)，在一維雙原子鏈中同時(shí)產(chǎn)生高頻模和隙模。3.2 雜質(zhì)原子替代小原子情況 質(zhì)量為m的雜質(zhì)替代小原子m的一維雙原子鏈如圖2所示.大小原子相對(duì)平衡位置的位移分別記為u2n+2、u2n,取雜質(zhì)原子所在的原胞為,n=0原胞.晶格振動(dòng)方程為：md2u2n+1dt2=u2n+2+u2n-2u2n+1md2u2ndt2=u2n+1+u2n-1-2u2nmd2u0dt2=u1+u-1-2u0 (3-18)令ule-it，式（3-18）寫(xiě)為 m2u2n+1+u2n+1+u2n-2u2n+1=0m2u2n+u2n+1+u2n-1-2u2n=0 m2u0+u1+u-1-2

12、u0=0 (3-19)令m2=2m， m2=2m,=m-mm,式（3-19）簡(jiǎn)化為： u2n+2+u2n+22m2-1u2n+1=0u2n+1+u2n-1+22m2-1u2n=0u1+u-1+21-2m2-1u0=0 （3-20）由式（3-20）可知雜質(zhì)原子的存在不影響格波反對(duì)稱解（ul=-u-l），這時(shí)ul+u-l=0，且u0=0；下面只討論（ul=-u-l）對(duì)稱解。設(shè)方程（3-20）解的一般形式為： u2n=a22n+b2-2n=a22n+b2-2nu2n+1=a12n+1+b1-2n+1=a12n+12+b1-2n+12 (3-21) 將其代入式（3-20）得：a22n+2+b2-2n+

13、2+a22n+b2-2n+22m2-1a12n+1+b1-2n+1=0a12n+1+b1-2n+1+a12n-1+b1-2n-1+22m2-1a22n+b2-2n=02a11+b1-1+212m2a1+b2=0 (3-22) 由上式中第一個(gè)方程，對(duì)于n0整理得到：2n2+1a2+22m2-1a1+-2n+22+1b2+22m2-1b1=0(3-23)由于2n與-2n+2線性無(wú)關(guān)，得到：2+1a2+22m2-1a1=02+1b2+22m2-1b1=0 （3-24） 式中a1、a2及b1、b1均為待定常數(shù)，作為的方程，式（3-24）的二式無(wú)本質(zhì)區(qū)別，故可只討論第一式；對(duì)于n0，同樣可得到式（3-2

14、4）。這樣由式（3-22）的前兩個(gè)方程可得：22m2-1a1+2+1a2=02+1a1+22m2-1a2=0 （3-25） 式（3-25）是關(guān)于a1、a2的線性齊次方程組，有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，22m2-12+12+122m2-1=0 （3-26）得到： 4+2-42m2-12m2-12+1=0 （3-27）的一元二次方程，其根的判別式為=162m22m222-12m2-12m2-1 （3-28）其中2=2,=mmm+m 當(dāng)m或m時(shí)，1,“-”解|2|1.下面只討論|2|）或隙模（mm）。3.2.1 高頻模和隙模 由式（3-22）的第三個(gè)方程，考慮到與-1線性無(wú)關(guān)，與式（3-24）

15、類似可得 a1+(1-)2m2-1a2=0 (3-30)將式（3-30）與式（3-25）聯(lián)立，消去和得到： 2+1+21-1-2m22m2-1=02+1+1+2m2-1-22m2-1=0 (3-31) 方程組（3-31）消去，得關(guān)于2的一元二次方程，解得 2=2m2+1-2m242m4+1-2m421-2 （3-32）其中+為高頻模頻率，-處于m與m之間為隙模頻率。對(duì)于高頻模，有 +2-2=22m2+1-2m2+42m4+1-2m421-20 (3-33)由式（3-33）可知，隨2的減小，+減小；當(dāng)0時(shí)，+；將式（3-29）代入式（3-31）可知，這時(shí)0，即m0-2-m2=2m2-1-2m2-

16、42m4+1-2m421-20 (3-34)由式（3-34）可知，隨2的減小，-減??；當(dāng)0時(shí)，-m；將式（3-29）代入式（3-31）可知，這時(shí)m,也是重雜質(zhì)情形。4 結(jié)論與討論 一維雙原子鏈的晶格振動(dòng)有聲頻支和光頻支，兩支格波之間存在頻隙。一維雙原子鏈中的雜質(zhì)，有可能在光頻支之上產(chǎn)生局域的高頻模，也可能在頻隙中產(chǎn)生局域的隙模，或者不產(chǎn)生局域模。 對(duì)于雜質(zhì)原子替代大原子的情況，若為輕雜質(zhì)，則同時(shí)產(chǎn)生高頻模和隙模，其頻率均隨雜質(zhì)原子質(zhì)量的增大而減小；若為重雜質(zhì)，則不產(chǎn)生局域振動(dòng)。 對(duì)于雜質(zhì)原子替代小原子的情況，若為輕雜質(zhì)，則產(chǎn)生高頻模，其頻率隨雜質(zhì)原子質(zhì)量的增大而減小；若為重雜質(zhì)，則產(chǎn)生隙模，其

17、頻率隨雜質(zhì)原子質(zhì)量的減小而增大。以上結(jié)果與教材4中的定性結(jié)論相一致。 當(dāng)一維雙原子鏈中兩種原子相同時(shí)，一維雙原子鏈就退化為一維單原子鏈，本文的討論結(jié)果可以正確地退化為一維單原子鏈的結(jié)果。令m=m，則式(3-15)和式 (3-32)均退化為 2=2m21-2 (3-35) 式(35)就是一維單原子鏈中雜質(zhì)產(chǎn)生的高頻模頻率公式，其中2m2=4m為一維單原子鏈允許頻帶的上限。參考文獻(xiàn)：1黃昆，韓汝琦。固體物理學(xué).北京：高等教育出版社，1988.82-962方俊鑫，陸棟。固體物理學(xué)。上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980，1013 李正中固體理論m.北京：高等教育出版社，1985 415 4224（美）基泰爾

18、著，項(xiàng)金鐘，吳興惠 譯。固體物理導(dǎo)論?；瘜W(xué)工業(yè)出版社，2005lattice vibration of one dimensional diatomic chain with an impurityhejunxiaabstract：the atom in the crystals is not static in the equilibrium position of the lattice , but revolves its equilibrium position to make the micro vibration, which is called lattice vibration. it has the mutual action between the atoms in the crystals, each atom of vibration is not isolated, but is relating mutually, thus in the crystal forms various modes of wave, which is called lattice wave. lattice wave and general continuous medium wave have the common characteristics of wave, bu