【數(shù)學(xué)課件】數(shù)值計(jì)算方法(第4章)21

1、王曉峰著線性代數(shù)習(xí)題解答第一章1. 1. 解下列方程組, 并在直角坐標(biāo)系中作出圖示.1);2);3).解: 1) 將第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程, 得2y=-1, y=-1/2, 再代入第個(gè)方程解得x=1+1/2=3/2, 繪出圖示如下圖所示, 兩直線相將于一點(diǎn)方程有唯一解.2) 將第二個(gè)方程除以3得, 與第一個(gè)方程相比較知此方程組為矛盾方程組, 無解, 繪出圖示如下圖所示3) 將第2個(gè)方程除以2, 可以得到第一個(gè)方程, 令y=t為任意實(shí)數(shù), 則x=1+t, 方程組的解集為(1+t, t), 圖示如下圖所示, 方程的解集為一條直線.2. 用gauss消元法解下列線性方程組.1)2)3)4)解: 1

2、) 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換:則x3為自由變量, 令x3=t為任意實(shí)數(shù), 則x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有無窮多解, 解集為(10-3t, 5t-7, t).2) 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換:則x3為自由變量, 令x3=t為任意實(shí)數(shù), 則x1=-t, x2=2t-1, 解集為(-t, 2t-1, t).3) 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換:方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.4) 此為齊次方程, 對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行變換可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.3. 確定下列線性方程組中k的值滿足所要求的解的個(gè)數(shù).1) 無解:2) 有唯一解:3) 有無窮多解:解:1) 對(duì)增廣矩陣作變換:因此, 要使方程組無解

3、, 須使8-3k=0, 解得k=8/3, 即當(dāng)k取值為8/3時(shí), 方程無解.2) 對(duì)增廣矩陣作變換:因此, 如要方程組有唯一解, 必須有, 即.3) 對(duì)增廣矩陣作變換因此, 如要方程組有無窮多解, 必須4-4k=0, 即當(dāng)k=1時(shí), 方程組才有無窮多解.4. 證明: 如果對(duì)所有的實(shí)數(shù)x均有ax2+bx+c=0, 那么a=b=c=0.證: 既然對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都有ax2+bx+c=0成立, 那么具體地分別取x=0, x=1, x=2代入上式也成立, 則有, 這是關(guān)于a,b,c的齊次線性方程組, 對(duì)其系數(shù)矩陣作變換:看出此方程只有唯一零解, 因此有a=b=c=0.5. 討論以下述階梯矩陣為增廣矩陣的

4、線性方程組是否有解; 如有解區(qū)分是唯一解還是無窮多解.1)2)3)4)解: 1) 方程組有一個(gè)自由變?cè)獂2, 因此方程組有無窮多解.2) 方程組的三個(gè)變?cè)鶠槭醉?xiàng)變?cè)? 因此方程組有唯一解.3) 第三個(gè)方程0=4說明此方程無解.4) 方程組的三個(gè)變?cè)鶠槭醉?xiàng)變?cè)? 因此方程組有唯一解.6. 對(duì)給定方程組的增廣矩陣施行行初等變換求解線性方程組.1)2)3)解: 1) 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換:方程組無解.2) 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換可以看出y和w為自由變?cè)? 則令y=s, w=t, s與t為任意常數(shù), 則x=100-3s+96t,z=54+52t. 方程的解集表示為(100-3s+96t, s, 54+5

5、2t, t).3) 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換可知y與z為自由變?cè)? 令y=s, z=t, s與t均為任意實(shí)數(shù), 則, 方程組的解集為7. 對(duì)給定齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行行初等變換求解下列方程組.1) 2)解: 1) 對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換.方程只有零解, x=y=z=0.2) 對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換因此, w為自由變?cè)? 令w=t為任意實(shí)數(shù), 則x=-2t, y=0, z=t, 方程組的解集為(2t, 0, t, t).8. 設(shè)一線性方程組的增廣矩陣為求的值使得此方程組有唯一解.解: 對(duì)增方矩陣求初等變換因此, 此方程組要有唯一解, 就必須滿足+20, 即-2.9. 設(shè)一線性方程組的增廣矩陣為1)

6、此方程有可能無解嗎? 說明你的理由.2) 取何值時(shí)方程組有無窮多解?解: 1) 此方程一定有解, 因?yàn)榇朔匠淌驱R次方程, 至少有零解.2) 對(duì)此增廣矩陣做初等變換因此, 只有當(dāng)+5=0, 即=-5時(shí),方程才有無窮多解.10. 求的值使得下述方程組有非零解.解: 對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換:因此, 要使方程有非零解, 必須有(-2)2+1=0, 但(-2)2+10對(duì)取任何實(shí)數(shù)值總是成立, 因此必有(-2)2+10, 因此, 無論取什么值此方程組都不會(huì)有非零解.11. 求出下列電路網(wǎng)絡(luò)中電流i1,i2,i3的值.解: 根據(jù)基爾霍夫定律可得如下方程組:對(duì)增廣矩陣做初等行變換最后得i1=7/13, i2=

7、22/13, i3=15/1312. 一城市局部交通流如圖所示.(單位: 輛/小時(shí))1) 建立數(shù)學(xué)模型2) 要控制x2至多200輛/小時(shí), 并且x3至多50輛小時(shí)是可行的嗎?解: 1 將上圖的四個(gè)結(jié)點(diǎn)命名為a, b, c, d, 如下圖所示:則每一個(gè)結(jié)點(diǎn)流入的車流總和與流出的車流總和應(yīng)當(dāng)一樣, 這樣這四個(gè)結(jié)點(diǎn)可列出四個(gè)方程如下:對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換:可見x3和x5為自由變量, 因此令x3=s, x5=t, 其中s,t為任意正整數(shù)(車流量不可能為負(fù)值), 則可得x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t.2) 令x2=200, x3=s=50, 代入上面的x2的表達(dá)式, 得2

8、00=50+t-200, 求出t=350, 則x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的.13. 在應(yīng)用三的貨物交換經(jīng)濟(jì)模型中, 如果交換系統(tǒng)由下表給出, 試確定農(nóng)作物的價(jià)值x1, 農(nóng)具及工具的價(jià)值x2, 織物的價(jià)值x3的比值.解: 根據(jù)上表可得關(guān)于x1, x2,x3的三個(gè)齊次方程如下:對(duì)系數(shù)矩陣做行初等變換:可見方程有非零解, x3為自由變量, 令x3=t為任意正實(shí)數(shù), 則有x1=x2=x3=t, 即三種價(jià)值的比值為1:1:1. 第二章2. 1. 寫出下列方程組的矩陣形式:1) x1-2x2+5x3=-1;2) 3) 解:1) ;2) ;3) 2. 設(shè),求: 1) 3a-2b; 2

9、) 若x滿足at+xt=bt, 求x.解: 1)2)因x滿足at+xt=bt, 等號(hào)兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)置, 有a+x=b, 等號(hào)兩邊同時(shí)減去a, 得x=b-a, 因此有3. 計(jì)算下列矩陣的乘積:1) ;2) ;3) ;4) 解:1)2)3)4)4. 設(shè)求: 1) (a+b)(a-b); 2) a2-b2.比較1)和2)的結(jié)果, 可得出什么結(jié)論?解: 1)2)可得出的結(jié)論: 大家知道, 在代數(shù)公式上有a2-b2=(a+b)(a-b), 而將此公式中的a和b換成矩陣a與b, 就不一定成立了, 這是因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律, 即一般abba, 當(dāng)然也就有a2-b2(a+b)(a-b).5. 已知矩陣a,

10、b,c, 求矩陣x,y使其滿足下列方程:解: 將此方程編上號(hào), 用類似解線性方程組一樣的辦法來解,將方程(1)的左邊和(2)的左邊和左邊相加, 右邊和右邊相加, 等號(hào)還是成立, 得:3x=c+(a+b)t兩邊同乘1/3, 得(3)(2)式等號(hào)兩邊都加上x, 得y=(a+b)t-x(4)將(3)式代入到(4)式, 得因此6. 如矩陣ab=ba, 則稱a與b可交換, 試證:1) 如果b1, b2都與a可交換, 那么b1+b2, b1b2, 也與a可交換;2) 如果b與a可交換, 那么b的k(k0)次冪bk也與a可交換.證: 1) 因b1, b2都與a可交換, 即ab1=b1a, ab2=b2a,

11、則(b1+b2)a=b1a+b2a=ab1+ab2=a(b1+b2)即b1+b2與a可交換. 而且(b1b2)a=b1(b2a)=b1(ab2)=(b1a)b2=(ab1)b2=a(b1b2), 因此b1b2與a可交換.2)因b與a可交換, 即ab=ba, 則用歸納法, 當(dāng)k=1時(shí), 有b1=b, 結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng)k=m時(shí)假設(shè)成立, 即abm=bma, 則當(dāng)k=m+1時(shí), 有abm+1=abmb=bmab=bmba=bm+1a, 結(jié)論也成立.7. 如矩陣a=at, 則稱a為對(duì)稱矩陣.設(shè)a,b都是n階對(duì)稱矩陣, 證明ab是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是ab=ba.證: 已知a=at, b=bt,

12、充分性: 假設(shè)ab=ba, 則(ab)t=btat=ba=ab, 因此ab為對(duì)稱矩陣.必要性: 如果ab為對(duì)稱矩陣, 即(ab)t=ab, 則因(ab)t=btat=ba, 可得ba=ab.8. 設(shè)其中aiaj, 當(dāng)ij (i, j = 1,2, , n). 試證: 與a可交換的矩陣一定是對(duì)角矩陣.證:假設(shè)矩陣b=bijn與a可交換, 即有ba=ab, 而ba相乘得到的矩陣為b的第j列所有元素都乘上aj得到的矩陣, ab相乘得到的矩陣為b的第i行元素都乘上ai得到的矩陣. 即ba=ajbijn, ab=aibijn, 但對(duì)于任給的i,j,ij, 因ab=ba, 因此有ajbij=aibij,

13、因aiaj, 所以必有bij=0, 即b只能是對(duì)角矩陣.9. 檢驗(yàn)以下兩個(gè)矩陣是否互為可逆矩陣?解: 計(jì)算ab和ba如下:因此a與b確實(shí)互為逆矩陣.10. 設(shè)a,b,c為n階方陣, 且c非奇異, 滿足c-1ac=b, 求證bm=c-1amc (m為正整數(shù)).證: 用歸納法, 當(dāng)m=1時(shí)條件已經(jīng)成立為c-1ac=b, 假設(shè)當(dāng)m=k時(shí), 命題成立, 即有bk=c-1akc, 則當(dāng)m=k+1時(shí), 有bk+1= bkb= c-1akcc-1ac= c-1ak(cc-1)ac= c-1akiac= c-1akac= c-1ak+1c, 命題得證.11. 若n階矩陣a滿足a2-2a-4i=0, 試證a+i

14、可逆, 并求(a+i)-1.證: 將a2-2a-4i=0改寫為a2-2a-3i=i, 先解一元二次方程組x2-2x-3=0, 根據(jù)公式其中a=1, b=-2, c=-3, 則, 因此可將多項(xiàng)式x2-2x-3因式分解為x2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根據(jù)矩陣相乘相加的性質(zhì)也就能將a2-2a-3i因式分解為a2-2a-3i=(a-3i)(a+i)=(a+i)(a-3i), 因此我們有(a-3i)(a+i)=(a+i)(a-3i)=i, 即a+i與a-3i 互為逆矩陣, (a+i)-1=a-3i.12. 證明: 如果a=ab, 但b不是單位矩陣, 則a必為奇異矩陣.證: 用反證法,

15、假設(shè)a為可逆, 其逆為a-1, 則對(duì)于a=ab兩邊同時(shí)左乘a-1, 得a-1a=a-1ab, 即i=b, 這與b不是單位矩陣相矛盾, 因此a必為奇異矩陣.13. 判別下列矩陣是否初等矩陣?1) ,2) 3) ,4) 解: 1) 是初等矩陣p(2(-2), 2) 是初等矩陣p(1,3), 3) 不是初等矩陣,4) 是初等矩陣p(3(-4), 2).14. 求3階方陣a滿足解: 從等式看出a左乘一矩陣相當(dāng)于對(duì)此矩陣作初等行變換r3(-5)+r1, 因此a為一相應(yīng)的初等矩陣, 即15. 設(shè)a,b,c均為n階可逆矩陣, 且abc=i, 證明bca=i證: 因b,c為可逆矩陣, 則bc也是可逆矩陣, 且

16、(bc)-1=c-1b-1, 因abc=i, 對(duì)此等式兩邊右乘(bc)-1, 即abc(bc)-1=i(bc)-1, 因?yàn)閎c(bc)-1=i, 因此上式化簡(jiǎn)為a=(bc)-1, 因此當(dāng)然有bca=bc(bc)-1=i.16. 設(shè)a,b均為n階方陣, 且, 證明: a2=a的充分必要條件是b2=i.證: 充分性: 假設(shè)b2=i, 則必要性: 如果a2=a, 則有等式兩邊乘4得,等式兩邊同時(shí)減去2b+i得b2=i證畢.17. 如果n階矩陣a滿足a2=a, 且ai, 則a為奇異矩陣.證: 用反證法, 假設(shè)a為可逆, 其逆為a-1, 則上式兩邊左乘(或者右乘)a-1, 得aaa-1=aa-1, 即a

17、=i, 但這與ai相矛盾, 因此a的逆不存在, 即a為奇異矩陣.18. 求下列矩陣的逆矩陣:1) ;2) 3) 解: 用對(duì)a|i進(jìn)行行初等變換為i|a-1的辦法來求:1)因此, 最后得2)因此有3)因此, 最后得19. 解下列矩陣方程, 求出未知矩陣x.1) 2) 解: 令, 則要解的方程為ax=b將方程兩邊左乘上a的逆a-1, 可得a-1ax=a-1b, 即x=a-1b下面求a-1:因此有因此2) 令則矩陣方程為xa=b設(shè)a的逆存在為a-1, 則方程兩邊右乘a-1, 得xaa-1=ba-1, 即x=ba-1下面求a-1:因此, 最后得20. 求矩陣x滿足ax=a+2x, 其中解: 將方程兩邊

18、減去2x, 得ax-2x=a因2x=2ix, 因此上面的方程可以從右邊提取公因子x, 得(a-2i)x=a假設(shè)a-2i可逆, 則方程兩邊同時(shí)左乘(a-2i)-1, 得(a-2i)-1(a-2i)x=(a-2i)-1a, 即x=(a-2i)-1a設(shè)b=a-2i, 則x=b-1a, 而下面用行初等變換求b的逆b-1:則最后得驗(yàn)算:21. 利用分塊的方法, 求下列矩陣的乘積:1) ;2) 解:1) 將乘積分塊為其中2) 將乘積分塊為第三章3. 1. 計(jì)算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) ;2) ;3) .2. 計(jì)算下列三階行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 將行列式按第一列展開2)

19、 將行列式按第二行展開3)3. 計(jì)算下列行列式:1) ;2) ;3) 解: 1) 將行列式按第一列展開后, 得到的各子式再按第二列展開, 這樣展開后的后三列構(gòu)成的任何三階子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三階子式均為0, 整個(gè)行列式的值d=0.2) 將行列式按第一列展開得3) 先對(duì)第一列展開, 然后對(duì)第二列展開, 得4. 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式1) ;2) ;3) 解: 下面都將所求行列式的值設(shè)為d.1) 因?yàn)榈?行加到第2行以后, 第2行將和第4行相等, 因此行列式的值d=0;2) 首先從第1,2,3行分別提取公因子a,d,f, 再?gòu)牡?,2,3列提取公因子b,c,e, 得3)

20、將第2,3,4列都展開, 并統(tǒng)統(tǒng)減去第1列, 得再將第3列減去2倍的第2列, 第4列減去3倍的第2列, 得5. 把下列行列式化為上三角形行列式, 并計(jì)算其值1) ;2) 解:1)2)6. 計(jì)算下列n階行列式1) 2) 解: 1) 設(shè)此行列式的值為d, 將第2,3,n列均加于第一列, 則第一列的所有元素均為, 將此公因式提出, 因此有再令第n行減去第n-1行, 第n-1行減去第n-2行, , 第2行減去第1行, 可得2) 此題和第3題的2)一樣, 因此有7. 證明下列行列式1) 2) 證: 1)2) 用歸納法, 設(shè)dn為所求行列式值, 當(dāng)n=1時(shí), 等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)假設(shè)成立, 即有當(dāng)n=

21、k+1時(shí), 證畢.8. 求矩陣的伴隨矩陣a*, 并求a-1.解: 因此得a的行列式為因此有9. 設(shè)a為三階方陣, a*是a的伴隨矩陣, 且|a|=1/2, 求行列式|(3a)-1-2a*|的值.解: 因, 以及, 還有,則10. 設(shè)a為n階可逆陣, a2=|a|i, 證明: a的伴隨矩陣a*=a.證: 因a可逆, 則在等式a2=|a|i兩邊乘a-1, 得a=|a|a-1, 即, 而因?yàn)? 所以有a=a*, 證畢.11. 用克萊姆法則解下列方程組.(1) (2) 解: (1) 方程的系數(shù)矩陣a為, 常數(shù)向量, 則求a的逆矩陣:因此得則方程的解x為即x1=3,x2=4,x3=5.(2) 方程的系數(shù)

22、矩陣a為, 常數(shù)向量先求a的逆a-1:因此有則即x1=0, x2=2, x3=0, x4=0.12. 如果齊次線性方程組有非零解, k應(yīng)取什么值?解: 此方程組的系數(shù)矩陣a為要使方程組有非零解, 必須有det(a)=0.而因此, 只有當(dāng)k=5或者k=2或者k=8時(shí), 此方程組才有非零解.13. 問, 取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解?解: 此方程組的系數(shù)矩陣a為, 要使方程組有非零解, 必須det(a)=0, 而因此, 只有當(dāng)=1或者=0時(shí), 方程組才有非零解.4. 1. 設(shè)1=(1,1,1), 2=(-1,2,1), 3=(2,3,4), 求=31+22-3解: =31+22-3=3(1,

23、1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4)=(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)2. 設(shè)3(1-)+2(2+)=5(3+), 求, 其中1=(2,5,1,3), 2=(10,1,5,10), 3=(4,1,-1,1)解: 將上述方程整理:31-3+22+2=53+5-3+2-5=-31-22+53(-3+2-5)=-31-22+53-6=-31-22+53最后得3. 設(shè)r為全體實(shí)數(shù)的集合, 并且設(shè),.問v1,v2是否向量空間? 為什么?解: (一般的技巧: 凡是對(duì)rn作一個(gè)齊次線性方程的約束的集合都是向量子空間,

24、而作非齊次線性方程的約束的集合則因?yàn)樗淮┻^原點(diǎn), 就不是向量子空間).v1是向量空間, 且是rn的向量子空間, 因?yàn)? 而任給, 設(shè)則令, 則因,則,因?yàn)? 而則,因此, v1是rn的向量子空間.而v2不是向量空間, 是因?yàn)? 零向量o不屬于v2, .4. 試證: 由所生成的向量空間就是r3證: 因?yàn)? 只須證, 任給, 試求實(shí)數(shù)x1,x2,x3使x11+x22+x33=d, 即x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3)也就是解線性方程組對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行行初等變換成階梯形矩陣:可見方程有解, 因此得證.5. 判數(shù)下

25、列向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān).1) 1=(1,1), 2=(2,2);2) 1=(2,3), 2=(1,4), 3=(5,6);3) 1=(1,1,1), 2=(2,1,3), 3=(0,1,2);4) 1=(a11,0,0,0), 2=(0,a22,0,0),n=(0,0,ann);解: 1) 考察齊次方程x11+x22=o,即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),整理得(x1+2x2, x1+2x2)=(0,0),再寫成如下的形式:對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換:存在一自由變量x2, 方程有非零解, 因此1,2線性相關(guān).2) 考察齊次方程x11+x22+x33=o即x1(2,3)+x2(1

26、,4)+x3(5,6)=(0,0)整理得(2x1+x2+5x3, 3x1+4x2+6x3)=(0,0)再寫成如下形式:則因方程數(shù)少于變?cè)獢?shù), 必有非零解, 因此1,2,3線性相關(guān).3) 考察齊次方程x11+x22+x33=o即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)整理得(x1+2x2, x1+x2+x3, x1+3x2+2x3)=(0,0,0)再寫成如下形式:對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換方程沒有自由變量, 只有唯一零解, 因此1,2,3線性無關(guān).4) 考察齊次方程x11+x22+xnn=o,即x1(a11,0,0,0,0)+x2(0,a22,0,0,0)+xn(

27、0,0,0,ann)=(0,0,0)整理得(a11x1,a22x2,annxn)=(0,0,0)再寫成如下形式:由于, 此齊次方程組只有零解, 因此1,2,n線性無關(guān).6. 設(shè)1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1, 證明向量組1,2,3,4線性相關(guān).證: 只須證明齊次方程x11+x22+x33+x44=o(1)有非零解, 即證明了向量組1,2,3,4線性相關(guān). 將1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1代入(1)式, 得x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+4)+x4(4+1)=o整理后得(x1+x4)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=o

28、因此, 只須找到不全為零的x1,x2,x3,x4使得上式中的1,2,3,4,的系數(shù)等于0, 則命題得證.也就是要使(2)解此齊次方程組, 對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換得:方程有一個(gè)自由變量x4, 因此方程組(2)有非零解, 此解也就滿足方程組(1), 因此1,2,3,4線性相關(guān).7. 設(shè)向量組1,2,s 線性無關(guān), 證明向量組1,1+2,1+2+s也線性無關(guān).證: 考察齊次方程組x11+x2(1+2)+xs(1+2+s)=o(1)整理后得(x1+x2+xs)1+(x2+xs)2+xss=o(2)因?yàn)?,2,s線性無關(guān), 因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的1,2,s的各個(gè)系數(shù)為0, 即此

29、齊次方程組的系數(shù)矩陣為上三角方陣, 對(duì)角線上元素全為1, 因此只有零解, 即齊次方程組(1)也只有零解, 因此向量組1,1+2,1+2+s線性無關(guān).8. 設(shè)1,2,3是一組3維向量, 已知3維單位坐標(biāo)向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)能由1,2,3線性表出, 證明1,2,3線性無關(guān).證: 用反證法, 假設(shè)1,2,3線性相關(guān), 則存在不全為零的數(shù)x1,x2,x3, 使得x11+x22+x33=o不妨假設(shè)x10, 則可得, 既然1可由2,3線性表出,即1,2,3可由2,3線性表出, 則根據(jù)題意e1,e2,e3又可被1,2,3線性表出, 則e1,e2,e3可被2,3

30、線性表出, 則三個(gè)向量可被少于三個(gè)的向量線性表出, 其必線性相關(guān). 但我們知道e1,e2,e3線性無關(guān), 因此導(dǎo)出矛盾. 這就證明了1,2,3必線性無關(guān).9. 設(shè)n維向量組1,2,m線性相關(guān). 證明: 任意加上h個(gè)n維向量m+1,m+2,m+h構(gòu)成的向量組1,2,m,m+1,m+2,m+h也線性相關(guān).證: 因向量組1,2,m線性相關(guān), 因此必有不全為零的數(shù)x1,x2,xm使得x11+x22+xmm=o, 因此, 選取m+h個(gè)數(shù), 前面m個(gè)與x1,x2,xm相同, 后面h個(gè)數(shù)為0, 則這樣的m+h個(gè)數(shù)仍然是不全為零, 且有x11+x22+xmm+0m+1+0m+2+0m+h=o所以向量組1,2,

31、m,m+1,m+2,m+h也線性相關(guān).10. 判斷下述向量組是否線性相關(guān)?1=(1,0,0,a1), 2=(0,1,0,a2), , n=(0,0,1,an)解: 因?yàn)橄蛄拷M1,2,n是由單位坐標(biāo)向量組e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), , en=(0,0,1)增加一個(gè)分量構(gòu)成的rn+1中的向量組, 而因?yàn)閑1,e2,en線性無關(guān), 因此1,2,n也線性無關(guān).11. 驗(yàn)證1=(1,-1,0), 2=(2,1,3),3=(3,1,2)是r3的一個(gè)基， 并把=(5,0,7)用這個(gè)基線性表示。解: 如果將1,2,3看作列向量拼成的矩陣有逆存在, 則它們必是r3的一個(gè)基, 因此試求此矩陣的

32、逆如下:因此a有逆存在為因此1,2,3線性無關(guān)確實(shí)是r3的一個(gè)基. 則任給一列向量d=(d1,d2,d3), 將其作為列向量, 則解方程組ax=d, 可得x=a-1d, 具體用代入d, 可得即解得在這基1,2,3下的坐標(biāo)為2,3,-1, 即=21+32-3, 不難驗(yàn)證確實(shí)有(5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)12. 判斷rn的子集s=x=(x1,x2,xn), 其中xn=0是否rn的子空間? 如果是子空間, 寫出該子空間的基和維數(shù).解: 任取s中兩個(gè)元素x=(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn), 即xn=yn=0, 則x+y的第n個(gè)分量xn+yn=0,

33、 因此x+ys, 再任取s中的一個(gè)元素x和一實(shí)數(shù)k, 則kx的第n個(gè)分量kxn=0, 即kxs, 因此s是rn的子空間.實(shí)際上, s是齊次方程0x1+0x2+xn=0的解集, 此齊次方程共有n-1個(gè)自由變?cè)? 將這n-1個(gè)自由變?cè)来稳?而其它變?cè)獮?, 就可以得到s的基或者說是齊次方程xn=0的基礎(chǔ)解系.因此, s的維數(shù)為n-1, 其中的基或者說齊次方程xn=0的基礎(chǔ)解系為:1=(1,0,0,0), 2=(0,1,0,0),n-1=(0,0,1,0).13. 在r3中, 設(shè)s1是由1=(1,1,1),2=(2,3,4)生成的子空間, s2是由1=(3,4,5),2=(0,1,2)生成的子空間

34、, 證明s1=s2, 并說出該子空間的維數(shù).解: 要證明s1=s2只須證明1,2與1,2相互等價(jià), 也就是要驗(yàn)證1,2能夠被1,2線性表出, 同時(shí)1,2也能夠被1,2線性表出.首先驗(yàn)證1,2能夠被1,2線性表出, 先驗(yàn)證1能夠被1,2線性表出, 就是要解線性方程組x11+x22=1, 寫成標(biāo)準(zhǔn)的線性方程組的形式為對(duì)其增廣矩陣作初等行變換成為行最簡(jiǎn)矩陣:方程有唯一解x1=1/3, x2=-1/3. 因此1能夠被1,2線性表出為(1)再驗(yàn)證2能夠被1,2線性表出, 就是要解線性方程組x11+x22=1, 寫成標(biāo)準(zhǔn)線性方程組的形式為對(duì)其增廣矩陣作初等行變換成為行最簡(jiǎn)矩陣:方程有唯一解x1=2/3,

35、x2=1/3. 因此1能夠被1,2線性表出為(2)將(1)式和(2)式等號(hào)兩邊分別相加, 得而(1)式兩邊乘-2再加到(2)式, 可得因此1,2也能夠被1,2線性表出. 所以兩個(gè)向量組生成的子空間s2=s2.下面討論1,2是否線性無關(guān), 即解齊次方程x11+x22=o, 即解如下方程:對(duì)此方程的系數(shù)矩陣作行初等變換可見方程沒有自由變量, 只有唯一零解, 因此1,2線性無關(guān), 構(gòu)成s1的一組基, 因此s1的維數(shù)是2.14. 設(shè)1,2,n是rn的一個(gè)基, a為n階可逆矩陣, 求證a1,a2,an也是rn的一個(gè)基.解: 這種表述方法是將所有的向量看作是列向量, 即n行一列的矩陣. 任給一向量rn,

36、當(dāng)然有a-1rn, 又因1,2,n是rn的一個(gè)基, 因此向量a-1可以由1,2,n線性表出, 即存在一組數(shù)c1,c2,cn使得a-1=c11+c22+cnn則在上式兩邊同時(shí)左乘矩陣a, 可得=c1a1+c2a2+cnan即可由a1,a2,an線性表出.下面證a1,a2,an線性無關(guān). 用反證法, 如若不然, 假設(shè)a1,a2,an線性相關(guān), 齊次方程組x1a1+x2a2+xnan=o有非零解, 則方程兩邊左乘a-1可得x11+x22+xnn=o也有非零解, 導(dǎo)出1,2,n線性相關(guān), 這與1,2,n是rn的一個(gè)基相矛盾. 因此a1,a2,an線性無關(guān), 從而也是rn的一個(gè)基.15. 證明: 同一個(gè)

37、向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).證: 假設(shè)向量組1,2,n的秩為r, 它的兩個(gè)極大無關(guān)組為1,2,r和1,2,r, 則因?yàn)橄蛄拷M1,2,r中的每一個(gè)向量都是向量組1,2,n中的向量, 當(dāng)然就能夠被向量組1,2,r線性表出, 反之亦然, 因此向量組1,2,r和向量組1,2,r相互間等價(jià).16. 證明: 等價(jià)的向量組有相同的秩.證: 假設(shè)向量組1,2,n和向量組1,2,m相互等價(jià), 其中向量組1,2,n的秩為r, 不妨假設(shè)其頭r個(gè)向量1,2,r為它的一個(gè)極大無關(guān)組, 而向量組1,2,m的秩為s, 不妨假設(shè)其頭s個(gè)向量1,2,s為它的一個(gè)極大無關(guān)組. 則因?yàn)橄蛄拷M1,2,n和向量組1,2,m相互等價(jià)

38、, 必有它們的極大無關(guān)組1,2,r和1,2,s相互等價(jià), 則兩個(gè)線性無關(guān)的向量組相互等價(jià), 必有它們的個(gè)數(shù)相同, 即r=s.17. 設(shè)向量可以由向量組1,2,r-1,r線性表出, 但向量不能由向量組1,2,r-1線性表出, 試證: 向量組1,2,r-1,r與1,2,r-1,有相同的秩.證: 因可以由向量組1,2,r-1,r線性表出, 即存在一組數(shù)c1,c2,cr-1,cr使得=c11+c22+cr-1r-1+crr(1)現(xiàn)證明cr0, 如若不然, cr=0, 則上式就成為=c11+c22+cr-1r-1, 但這與題意所述不能由向量組1,2,r-1線性表出相矛盾. 因此將(1)式的兩邊減, 然后

39、兩邊減crr, 兩邊再乘(-1/cr), 可得即r可由向量組1,2,r-1,線性表出, 當(dāng)然向量組1,2,r-1,也可由向量組1,2,r-1,r線性表出, 這兩個(gè)向量組等價(jià), 因此必有相同的秩.18. 求下列向量組的秩, 并求出它的一個(gè)極大無關(guān)組:1) 1=(2,0,1,1), 2=(-1,-1,0,1), 3=(1,-1,0,0),4=(0,-2,-1,-1)2) 1=(1,2,1,3), 2=(4,-1,-5,-6), 3=(1,-3,-4,-7)解: 1) 解齊次方程組x11+x22+x33+x44=o, 化成ax=o的形式, 對(duì)其系數(shù)矩陣a作行初等變換成階梯矩陣, 首項(xiàng)變?cè)膫€(gè)數(shù)為向量

40、組的秩, 而首項(xiàng)變?cè)獙?duì)應(yīng)的向量構(gòu)成極大無關(guān)組.則首項(xiàng)變?cè)獂1,x2,x3對(duì)應(yīng)的向量1,2,3構(gòu)成極大無關(guān)組, 因此向量組的秩為3.2) 解齊次方程組x11+x22+x33=o, 化成ax=o的形式, 對(duì)其系數(shù)矩陣a作行初等變換成階梯矩陣, 首項(xiàng)變?cè)膫€(gè)數(shù)為向量組的秩, 而首項(xiàng)變?cè)獙?duì)應(yīng)的向量構(gòu)成極大無關(guān)組.首項(xiàng)變?cè)獢?shù)為2個(gè)，因此秩為2，首項(xiàng)變?cè)獂1,x2對(duì)應(yīng)的向量1,2構(gòu)成極大無關(guān)組.19. 求下列矩陣的秩1) ;2) 解: 求矩陣a的秩, 就是求a作為系數(shù)矩陣的齊次方程組ax=o的解中首項(xiàng)變?cè)臄?shù)目. 因此將a作行初等變換變成階梯矩陣后, 不為零的行數(shù)就是a的秩.1) 因此a的秩為22)秩為3

41、.20. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, 并寫出其通解:1) 2) 解: 1) 對(duì)系數(shù)矩陣作行初行變換:x4為自由變?cè)? 令x4=t, t為任意常數(shù), 則有寫成向量形式為:, 基礎(chǔ)解系為2) 對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換有兩個(gè)自由變?cè)獂2和x4, 令x2=s, x4=t, s,t為任意常數(shù), 則x1=-2x2+x4, x3=0, 寫成向量形式有, 基礎(chǔ)解系為21. 求解下列非齊次線性方程組：1) 2) 解: 1) 對(duì)其增廣矩陣作行初等變換:因此, 方程無解.2) 對(duì)其增廣矩陣作行初等變換:方程有兩個(gè)首項(xiàng)變?cè)獂1和x4, 兩個(gè)自由變?cè)獂2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t為任意常數(shù), 則

42、, 將解寫成向量形式, 有22. 當(dāng)a1,a2,b1,b2滿足什么條件時(shí), 下述方程組有解, 當(dāng)方程組有解時(shí), 求出其通解.解: 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換,因此, 為使方程有解, 必須有a1+a2-b1-b2=0, 這時(shí)有a2=b1+b2-a1. 方程有一個(gè)自由變?cè)獂4, 令x4=t, t為任意常數(shù), 則x1=a1-b2+x4=a1-b2+t, x2=b2-t, x3=a2-t, 寫成向量形式, 就是23. 設(shè)三維向量空間里的兩個(gè)基底分別為1,2,3與1,2,3, 且1) 若向量=21-2+33, 求對(duì)于基底1,2,3的坐標(biāo);2) 若向量=21-2+33, 求對(duì)于基底1,2,3的坐標(biāo).解: 將

43、兩個(gè)基底拼成按列分塊的矩陣, 即令a=(1,2,3), b=(1,2,3), 則a與b均為三階方陣. 則按題意知a與b的關(guān)系為其中則1)即對(duì)于基底1,2,3的坐標(biāo)為3,4,42)由b=ac知a=bc-1, 先求c-1如下:求出則有因此對(duì)基底1,2,3的坐標(biāo)為11/2, -5, 13/2.第五章5. 1. 求如下矩陣的特征值和特征向量:1) ;2) ; 3) 解: (注: 對(duì)于三階以上矩陣, 沒有多少可以解出特征值的好辦法, 通常是嘗試0,1,2,-1,-2這幾個(gè)值是否特征值, 通過這樣的嘗試找出一個(gè)特征值之后, 通過因式分解將多項(xiàng)式化為二次方程再解余下的兩個(gè)根).1) 特征方程為解出兩個(gè)特征值

44、為:即兩個(gè)特征值1=1, 2=-5,對(duì)1=1, 解齊次線性方程組, 容易看出方程有一個(gè)自由變?cè)獂2, 令x2=t為任意常數(shù), 則x1=x2=t, 因此通解為, 則求得1=1對(duì)應(yīng)的特征向量為t(1,1)t.對(duì)2=5, 解齊次線性方程組, 此方程也有一個(gè)自由變?cè)獂2, 令x2=t為任意常數(shù), 則因此通解為, 則求得2=5對(duì)應(yīng)的特征向量為t(-2,1)t2) 特證方程為因此特征值為1=2=7, 3=-2.對(duì)于特征值1=2=7, 解齊次方程對(duì)系數(shù)矩陣作行初等變換, 方程有兩個(gè)自由變?cè)獂2,x3, 令x2=s, x4=t, s,t為任意實(shí)數(shù)， 則寫成向量形式有,因此特征值1=2=7對(duì)應(yīng)的特征向量為s(-

45、1/2,1,0)t, t(-1,0,1)t.對(duì)于特征值3=-2, 解下面的齊次方程對(duì)系數(shù)矩陣作行初等變換有一個(gè)自由變?cè)獂3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x3=t, x2=(1/2)x3=(1/2)t, 寫成向量形式, 得因此特征值3=-2對(duì)應(yīng)的特征向量為t(1,1/2,1).3) 特征方程為因此a的三個(gè)特征值為1=1, 2=2, 3=2a-1.對(duì)于特征值1=1, 解齊次方程對(duì)其系數(shù)矩陣作初等行變換,有一個(gè)自由變量x2, 令x2=t為任意常數(shù), 則x3=0, x1=(1/3)(a+2)x2-(2a-1)x3=(1/3)(a+2)t, 寫成向量形式, 得即對(duì)于應(yīng)特征值1=1的特征向量為t(a

46、+2)/3,1,0)t.對(duì)于特征值2=2, 解齊次方程對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換,方程有一個(gè)自由變量x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x2=2x3=2t, 寫成向量形式, 得即對(duì)應(yīng)于特征值2=2的特征向量為t(2,2,1)t.對(duì)于特征值3=2a-1, 解齊次方程對(duì)其系數(shù)矩陣作行初等變換這是為了方便起見使矩陣變成一個(gè)倒的階梯形, 可以看出x1為自由變?cè)? 令x1=t為任意常數(shù), 則x2=x1=t, x3=(a-1)x1=(a-1)t, 寫成向量形式:因此, 3=2a-1對(duì)應(yīng)的特征向量為t(1,1,a-1)t.2. 已知a為n階方陣且a2=a, 求a的特征值.解: 設(shè)a的一個(gè)特征值為, 對(duì)應(yīng)的特

47、征向量為x, 則有ax=x, 又將題意中的條件a2=a代入此式, 得a2x=x, 但a2x=a(ax)=a(x)=ax=2x, 因此有x=2x, 即2x-x=(2-)x=o, 因?yàn)閤為特征向量則必不為零向量, 因此只能有2-=0, 即(-1)=0, 因此, a的特征值只能取0或者1值.3. a是3階實(shí)對(duì)稱矩陣, a的特征值為1, -1, 0. 其中=1和=0所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為(1,a,1)t及(a,a+1,1)t, 求矩陣a.解: 此題原本不適宜在這一章做. 因?yàn)閍是實(shí)對(duì)稱矩陣, 則必有它的各個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交, 因此特征向量(1,a,1)與(a,a+1,1)正交, 即對(duì)應(yīng)

48、分量相乘相加后等于0, 即, 因此a=-1, =1和=0對(duì)應(yīng)的特征向量為1=(1,-1,1)t及2=(-1,0,1)t, 則因剩下的那個(gè)特征向量, 即=-1對(duì)應(yīng)的特征向量3=(x1,x2,x3)t必與1和2正交, 由此可得下面的齊次方程組:對(duì)其系數(shù)矩陣作行初等變換, 方程有一個(gè)自由變量x3, 令x3=t為任意常數(shù), 則x1=x3=t, x2=2x3=2t, 寫成向量形式, 有, 因此t(1,2,1)t為特征值-1對(duì)應(yīng)的特征向量, 可令3=(1,2,1).t將這三個(gè)向量規(guī)范化得則令則必有, 因此有4. 已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 求x.解: 特征方程為因此, a有三個(gè)特征值1=2=1, 3=

49、-1, 因此, x的選值必須使特征值為重根1的時(shí)候?qū)?yīng)的齊次方程有兩個(gè)自由變量, 才能夠得到兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.因?yàn)榇〝?shù)為x, 因此齊次方程就用y1,y2,y3來作變?cè)? 則特征值為1對(duì)應(yīng)的齊次方程為:對(duì)系數(shù)矩陣作行初等變換如要方程有兩個(gè)自由變?cè)? 必須x=0.5. 判斷第一題中各矩陣是否可對(duì)角化. 如可對(duì)角化, 求可逆矩陣t, 使得t-1at為對(duì)角陣.解: 各矩陣是否可對(duì)角化的等價(jià)條件是要有與矩陣階數(shù)一樣多的線性無關(guān)的特征向量.1) 矩陣a有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量1=(1,1)t, 2=(-2,1)t, 因此可對(duì)角化,2) 矩陣a有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量1=(-1/2,1,0)t,2=

50、(-1,0,1)t,3=(1,1/2,1)t,因此可對(duì)角化,3) a的三個(gè)特征值為1=1, 2=2, 3=2a-1. 當(dāng)31且32時(shí), 特征方程沒有重根, 三個(gè)特征值不同, 因此對(duì)應(yīng)的必有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, a可對(duì)角化, 三個(gè)特征向量為1=(a+2)/3,1,0)t,2=(2,2,1)t,3=(1,1,a-1)t, 因此而當(dāng)3=2a-1=1時(shí), a=1, 這時(shí)候1=3=(1,1,0)t, 則不夠三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 矩陣a不能被對(duì)角化.當(dāng)3=2a-1=2時(shí), a=3/2, 這時(shí)候3=(1,1,1/2)t=(1/2)2, 即與2線性相關(guān), 這樣就還是不夠三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 矩陣a也不能被對(duì)角化.6. 已知有特征值1和-1, 問a是否能對(duì)角化?解: 將已知的特征值1和-1分別代入特征方程, 可得關(guān)于a和b的兩個(gè)方程, 先將特征值1