函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、2. 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的要求：1. 掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活應(yīng)用。.2. 熟記基本求導(dǎo)公式。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)過(guò)程：一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理1 如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù), 那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù), 并且 u(x) v(x)=u(x) v(x) ; u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x); . 證明 (1) =u(x)v(x). 法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為 (uv)=uv . (2) =u(x)v(x)+u(x)v(x), 其中v(x+h)=v(x)是

2、由于v(x)存在, 故v(x)在點(diǎn)x連續(xù). 法則(2)可簡(jiǎn)單地表示為 (uv)=uv+uv. (3) . 法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為 . (uv)=uv, (uv)=uv+uv, . 定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形. 例如, 設(shè)u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導(dǎo), 則有 (u+v-w)=u+v-w. (uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw. 即 (uvw) =uvw+uvw+uvw. 在法則(2)中, 如果v=c(c為常數(shù)), 則有 (cu)=cu. 例1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y

3、 解: y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7)= 2 (x 3)- 5( x 2)+ 3( x) =23x 2-52x+3=6x 2-10x+3. 例2. , 求f (x)及. 解: , . 例3y=e x (sin x+cos x), 求y. 解: y=(e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例4y=tan x , 求y. 解: .即 (tan x)=sec2x . 例5y=sec x, 求y. 解: =

4、sec x tan x . 即 (sec x)=sec x tan x . 用類(lèi)似方法, 還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)=-csc2x , (csc x)=-csc x cot x . 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2 如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y)0, 那么它的反函數(shù)y=f -1(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間ix=x|x=f(y), yiy內(nèi)也可導(dǎo), 并且 . 或. 簡(jiǎn)要證明: 由于x=f(y)在i y內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)), 所以x=f(y)的反函數(shù)y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在i x內(nèi)也單調(diào)、連續(xù). 任取x i x, 給x以增量dx(dx

5、0, x+dxi x), 由y=f -1(x)的單調(diào)性可知 dy=f -1(x+dx)-f -1(x)0, 于是 . 因?yàn)閥=f -1(x)連續(xù), 故 從而 . 上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)成: 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 例6設(shè)x=sin y, 為直接函數(shù), 則y=arcsin x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=sin y在開(kāi)區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (sin y)=cos y0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間i x=(-1, 1)內(nèi)有 . 類(lèi)似地有: . 例7設(shè)x=tan y, 為直接函數(shù), 則y=arctan x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=tan y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (tan y)

6、=sec2 y0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間i x=(-, +)內(nèi)有 . 類(lèi)似地有: . 例8設(shè)x=a y(a0, a 1)為直接函數(shù), 則y=loga x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=a y在區(qū)間i y=(-, +)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (a y)=a y ln a 0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間i x=(0, +)內(nèi)有 . 到目前為止, 所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來(lái)了, 那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x 、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？ 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理3 如果u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo)

7、, 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或. 證明: 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí), y=fj(x)也是常數(shù), 此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零, 結(jié)論自然成立.當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí), du0, 此時(shí)有 , = f (u)g (x ). 簡(jiǎn)要證明: . 例9 , 求. 解 函數(shù)可看作是由y=e u, u=x3復(fù)合而成的, 因此 . 例10 , 求. 解 函數(shù)是由y=sin u , 復(fù)合而成的, 因此 . 對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后, 就不必再寫(xiě)出中間變量, 例11lnsin x, 求. 解: . 例12, 求. 解: . 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形.

8、例如, 設(shè)y=f(u), u=j(v), v=y(x), 則 . 例13y=lncos(e x), 求. 解: . 例14, 求. 解: . 例15設(shè)x0, 證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (x m)=m x m-1. 解 因?yàn)閤 m=(e ln x)m=e m ln x, 所以 (x m)=(e m ln x)= e m ln x(m ln x)= e m ln xm x-1=m x m-1. 四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(c)=0, (2)(xm)=m xm-1,(3)(sin x)=cos x, (4)(cos x)=-sin x,(5)(tan x)=sec2x, (

9、6)(cot x)=-csc2x,(7)(sec x)=sec xtan x, (8)(csc x)=-csc xcot x,(9)(a x)=a x ln a, (10)(e x)=ex,(11) (12) ,(13) (14) (15) , (16) . 2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè)u=u(x), v=v(x)都可導(dǎo), 則(1)(u v)=uv,(2)(c u)=c u,(3)(u v)=uv+uv,(4). 3反函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)x=f(y)在區(qū)間iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y)0, 則它的反函數(shù)y=f -1(x)在ix=f(iy)內(nèi)也可導(dǎo), 并且 . 或. 4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為 或y(x)=f (u)g(x). 例16. 求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù).解: 因?yàn)? 所以 , 即 (sh x)=ch x. 類(lèi)似地, 有 (ch x)=sh x. 例17. 求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以 . 例18. 求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以 . 由, 可得. 由, 可得. 類(lèi)似地可得, . 例19y=sin nxsinn x (n為常數(shù)