第十章 動(dòng)量定理

1、10-1 10-1 動(dòng)量和沖量動(dòng)量和沖量 10-2 10-2 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 10-3 10-3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 動(dòng)量 動(dòng)量矩 動(dòng)能 沖量 力矩 功 為什么射擊時(shí)有后坐力？ 一、動(dòng)量一、動(dòng)量 1.1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：mv 動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。 例例：槍彈：速度大，質(zhì)量?。?船：速度小，質(zhì)量大。 iiC ii C rmrM M rm r 或 則設(shè),kzjyixr cccc M zm z M ym y M xm x ii C ii C ii C , , 2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量： d d d () d d () d ii i i i i c C

2、 Pm r m t m r t mr t m xCxC yCyC zCzC Pmvmx Pmvmy Pmvmz C 或者 將公式將公式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有)( iiC rmrM cii Pmvmv iCi Pmv xi CixiCi yi CiyiCi zi CiziCi Pmvm x Pmvm y Pmvm z 3.剛體系統(tǒng)的動(dòng)量剛體系統(tǒng)的動(dòng)量： C C v 已知已知:圓盤質(zhì)量為圓盤質(zhì)量為M,半徑為半徑為r,圖示瞬時(shí)三種情圖示瞬時(shí)三種情 況下圓盤的況下圓盤的 ，求各自的動(dòng)量。，求各自的動(dòng)量。P245 C C rMMvp C 0p vC rMMvp C 例題.質(zhì)量為M 的滑塊A 在滑

3、道內(nèi)滑動(dòng),其上鉸結(jié)一質(zhì)量為m 長(zhǎng)度為 l的均質(zhì)桿AB,當(dāng)AB 桿 與鉛垂線的夾角為 時(shí),滑塊A 的速度為v, 桿AB的角速度為, 求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量. A B C v 解:取系統(tǒng)為研究對(duì)象. PAx = M v PAy = 0 設(shè) 桿AB質(zhì)心 C 的速度為vC 由 vc = ve + vr cos 2 1 lvvcxsin 2 1 lvcy cos 2 1 lmmvPABxsin 2 1 lmPABy cos 2 1 lmvmMP x sin 2 1 lmPy A B C v vc vcx vcy ABA PPP ve = vlvr 2 1 例題. 水平面上放一均質(zhì)三 棱柱 A,在此三棱柱上又

4、放一 均質(zhì)三棱柱B. 兩三棱柱的橫 截面都是直角三角形,且質(zhì)量 分別為M和m.設(shè)各接觸面都 是光滑的,在圖示瞬時(shí), 三棱 柱A的速度為v, 三棱柱B相對(duì) 于A的速度為u, 求該瞬時(shí)系 統(tǒng)的動(dòng)量. A B A B 解:取系統(tǒng)為研究對(duì)象 v u PAx = - M vP Ay = 0 P Bx = - m v + m u cos P By = - m u sin Px = - (M + m) v + m u cos Py = - m u sin BA PPP 2力是變矢量：（包括大小和方向的變化） 元沖量元沖量： 沖量沖量： F 21 ()IF tt dIFdt 2 1 t t IFdt 1力是常

5、矢量：F 二沖量二沖量 3合力的沖量合力的沖量： 22 11 2 1 tt tt t i t IRdtFdt F dtI 注意注意：力的沖量是矢量，計(jì)算沖量要考慮方向性。：力的沖量是矢量，計(jì)算沖量要考慮方向性。 沖量是過(guò)程量。沖量是過(guò)程量。 一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 Fvm dt d F dt vd mam)( ()d mvFdtdI 2 1 21 t t mvmvF dtI 微分形式微分形式： 積分形式積分形式： 即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量. 即在某一時(shí)間間隔內(nèi)即在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等

6、于作用于質(zhì) 點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量. 1 t 2 t 1 v 2 v 在在 內(nèi)內(nèi), 速度由速度由 , 有有 投影形式：投影形式： xx Fmv dt d )( yy Fmv dt d )( zz Fmv dt d )( 2 1 21 t xxxx t mvmvIF dt 2 1 21 t yyyy t mvmvIF dt 2 1 21 t zzzz t mvmvIF dt 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒 若，則常矢量, 若，則常量. 0F 0 x F vm x mv ?；?0)( 0)( ; 0 )()()(i ix i iO i i FmFmF 二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理二質(zhì)

7、點(diǎn)系的動(dòng)量定理 ()e i d P F dt ( )e i F ( ) i i F 外力外力: , 內(nèi)力內(nèi)力: ( )( ) d()dd ei i iii mvFtFt 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn): ( )( ) d()dd ei i iii mvFtFt 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系: 1.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式: ( )( ) ddd ee ii pFtI 即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量 的矢量和的矢量和; ;或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn) 系的外力的矢量和系的外力的矢量和. . )( d

8、d e x x F t p )( d d e y y F t p )( d d e z z F t p 動(dòng)量定理微分形式的投影式動(dòng)量定理微分形式的投影式 ( ) d d e i p F t 或或 2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式 即在某一時(shí)間間隔內(nèi)即在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間 內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和. 動(dòng)量定理積分形式的投影式動(dòng)量定理積分形式的投影式 )( 12 e xxx Ipp )( 12 e yyy Ipp )( 12 e zzz Ipp ( ) 21 1 n e i i p

9、pI 1 t 2 t 1 p 2 p 在在 內(nèi)內(nèi), 動(dòng)量動(dòng)量 有有 3 3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律 若若 = 0, 則則 = 恒矢量恒矢量p x p 若若 , 則則 = 恒量恒量0 )( e x x F t p d d ( ) d d e i p F t 小兔子向前走時(shí)，船會(huì)怎么樣？ 動(dòng)量守恒定律 利用動(dòng)量守恒原理，火箭 的運(yùn)動(dòng) 例例 質(zhì)量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時(shí),大三角形 柱體的位移。 0)( ax mvvM 解解：選選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。研究對(duì)象。 受力分析受力分析， , 0 )(e x F

10、x P 水平方向常量。 由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則 0)()(vvmvM rx )( ba mM m S mM m S rx r v ra vvv v設(shè)大三角塊速度 ， 小三角塊相對(duì)大三角塊速度為 ， 則小三角塊 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析， m mM S S m mM v v rxrx 例題 小車重P1= 2kN, 車上有一人，重P2=0.7kN,車與人 以共同速度V0在光滑直線軌道上勻速行駛.如人以相對(duì) 于車的水平速度u向左方跳出,如圖示。求小車增加的速 度。 u V0 解解: 取小車、取小車、 和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象， 畫出受力圖。畫出

11、受力圖。 N1N2 P1u V0 P2 即：Px = P x0 0 x y 因?yàn)?0 e ix F 所以 Px = c (恒量) 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理： Px = P x0 N1N2 P1u V0 P2 0212211x0 )(P vmmvmvmvm xxixi xxixi vmvmvm 2211x P 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律：Px = P x0 得，得， 021 )(vmm )( 1211 uvmvm 解得： 21 2 01 mm um vv sm PP uP mm um vvv /52. 0 21 2 21 2 01 0 x y )( 1211 uvmvm V1 例題例題 重為G3的直角三

12、棱體置于光滑地面上， 其一傾角為；重量 分別為G1、G2的物塊A、B，用一跨過(guò)滑輪C的繩相接，放在三棱體 的斜面上。不計(jì)滑輪、繩的質(zhì)量及繩的伸長(zhǎng)，且開(kāi)始時(shí)都處于靜止。 試求當(dāng)物塊B相對(duì)于三棱體以速度u運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱體的速度。 A B u C A B u C 解解: 取小車取小車, 和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象， 畫出受力圖。畫出受力圖。 N G1 G2 即：Px = P x0 =0 0 x y 因?yàn)?0 e ix F 所以 Px = c (恒量) 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理： G3 v xxixi vmvmvm 2211x P vm vumvum 3 21 )sin()cos(

13、0 解得: )GG)/(GsinGcos( 32121 Guv 將 代入到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，得 C MP )( )( d d d d e iC Fvm tt P 若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變， 則 或 )(e iC Fam )(e iC Frm 1. 投影形式：投影形式： 。 , , )()()(e izCCz e iyCCy e ixCCx FzmmaFymmaFxMma 。 0 , , )()( 2 )(e ib e in C Cn e iC FF v MmaF dt dv mma )(e ixCiiCixi Fxmam )(e iyCiiCiyi Fymam )(e izCiiCizi Fzmam 2

14、. 剛體系統(tǒng)：剛體系統(tǒng)：設(shè)第 i 個(gè)剛體 mi，vCi，則有 或 )(e iCii Fam )(e iCii Frm )(e iC Fam )(e iC Frm C 思考題：思考題： 圖示矩形板開(kāi)始靜止，手受一微小干擾倒地，圖示矩形板開(kāi)始靜止，手受一微小干擾倒地， 問(wèn)：倒地過(guò)程，矩形板作何運(yùn)動(dòng)？其質(zhì)心作何運(yùn)動(dòng)？問(wèn)：倒地過(guò)程，矩形板作何運(yùn)動(dòng)？其質(zhì)心作何運(yùn)動(dòng)？ 例題水平面上放一均質(zhì)三棱柱A, 在此三棱柱上又放一均質(zhì)三棱柱 B 兩三棱柱的橫截面都是直角三角 形,且質(zhì)量分別為M 和m,設(shè)各接觸 面都是光滑的,求當(dāng)三棱柱B 從圖 示位置沿 A 由靜止滑下至水平面 時(shí),三棱柱A 所移動(dòng)的距離s. A B

15、b a 主矢的水平分量為零,水平 方向的動(dòng)量守恒. Px = Pxo = 0 設(shè)系統(tǒng)初終位置時(shí)質(zhì)心的x 坐標(biāo) 分別為xc0 和xc1則有 xco = xc1 = c mM Mxmx x Mm c 00 0 mM sxMsbaxm x Mm c 00 1 mM bam s 解:取系統(tǒng)為研究對(duì)象. A B b a 解解: 取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)系研究， 分析受力， 受力圖如圖示 運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度a1=0， 轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的加速度a2=e2， 方向指向O1。 例例 P247/253 電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量為m1, 轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2 , 轉(zhuǎn)子的軸通過(guò)定子的質(zhì)心O1, 但由于制造誤差

16、, 轉(zhuǎn) 子的質(zhì)心O2到O1的距離為e 。求轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的約束反力。 teatea yx sin , cos 22 22 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有 xx e ixCixi NtemamFamcos , 2 222 )( gmgmNtemamFam yy e iyCiyi21 2 222 )( sin , temgmgmNtemN yx sin ,cos 2 221 2 2 可見(jiàn)，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。 a1=0，a2=e2 321 332211 321 332211 mmm xmxmxm mmm xmxmxm 解：解：取起重船，起重桿和

17、重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。 0 ii xP 例例 P256 浮動(dòng)起重船, 船的重量為P1=200kN, 起重桿的重量為 P2=10kN, 長(zhǎng)l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN 。 設(shè)開(kāi)始起吊 時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60, 水的阻力不計(jì), 求起重桿OA與鉛直位置成角2 =30時(shí)船的位移。 受力分析如圖示，且初始 時(shí)系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標(biāo) XC保持不變。 0 )(e x F 0 ii xm 船的位移x，桿的位移 , 2/)sin(sin 2112 lxx 重物的位移 lxx)sin(sin 2113 0/ )sin(sin2/)sin(sin 211

18、3211211 lxPlxPxP )sin(sin )(2 2 21 321 32 1 l PPP PP x )30sin60(sin8 )2010200(2 20210 m 318. 0 計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表明計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表明 船的位移水平向左。船的位移水平向左。 0 ii xP 0 ii xm 例題例題 小車重小車重P1= 2kN， 車上有一人，重車上有一人，重P2=0.7kN，開(kāi)，開(kāi) 始時(shí)車與人均處于靜止。如人在車上由始時(shí)車與人均處于靜止。如人在車上由A朝朝B走過(guò)距離走過(guò)距離 AB=L，求小車水平移動(dòng)的距離，求小車水平移動(dòng)的距離b。 （不計(jì)車與軌道之（不計(jì)車與軌道之 間的摩擦）間的摩擦

19、） AB AB 解解: 取小車，取小車， 和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，畫出受力圖。和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，畫出受力圖。 N1N2 P1 P2 所以Xc = c (恒量)，即：質(zhì)心在該軸上的位置不變。 開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，即： 0 dt dx v c cx 0 x y 因?yàn)閯tacx =0, vcx = c (恒量) 0 e ix F 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律： Xc = c (恒量) A B 0 x y P1 C X1 XC0 X2 y 21 2211 0 mm xmxm X C 21 2211 mm xmxm xC 0 A B x C X/C b L P1 b 21 2211 21 2211 )()(

20、 mm lbxmbxm mm xmxm X C bxx 11 blxx 22 X/1 X/2 21 2211 0 mm xmxm X C 21 2211 21 2211 )()( mm lbxmbxm mm xmxm X C 因?yàn)橐驗(yàn)閄c = c (恒量恒量)，所以，所以X/c= X c0 21 2211 mm xmxm 即： 21 2211 )()( mm lbxmbxm 將上式化簡(jiǎn)得：將上式化簡(jiǎn)得： m PP lP mm lm b52. 0 21 2 21 2 O C A C a n C a G FOx FOy 例：桿重例：桿重G，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)，已知圖示瞬時(shí)的，已知圖示瞬時(shí)的 、 ，求求

21、該瞬時(shí)該瞬時(shí)O點(diǎn)的約束反力。點(diǎn)的約束反力。 解：解： 求反力，必用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求反力，必用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 FaM C x Cx FMa 2 L a 2n C 2 L aC Ox 2 F 2 L g G g2 GL F 2 Ox 解：解： 求反力，必用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求反力，必用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 FaM C y Cy FMa 2 L a 2n C 2 L aC 2 L g G g2 GL GFOy GFOy O C A C a n C a G FOx FOy 例：桿重例：桿重G，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)，已知圖示瞬時(shí)的，已知圖示瞬時(shí)的 、 ，求求 該瞬時(shí)該瞬時(shí)O點(diǎn)的約束反力。點(diǎn)的約束反力。 C C a n C a G FOx FOy 例：盤重例：盤重G，半徑為，半徑為R，已知圖示瞬時(shí)的，已知圖示瞬時(shí)的 、 、 ， 求該瞬時(shí)求該瞬時(shí)O點(diǎn)的約束反力。點(diǎn)的約束反力。 解：解： 求反力，必用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求反力，必用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 FaM C x Cx FMa Ra 2n C RaC sinGFR g G Ox 2 g2 GL F 2