第十章 二叉樹(shù)模型

1、第十章第十章 二叉樹(shù)模型二叉樹(shù)模型 n為期權(quán)和其它衍生證券進(jìn)行估值的一個(gè) n有用和很常見(jiàn)的方法是構(gòu)造二叉樹(shù)圖 (binoinial tree)。 n二叉樹(shù)樹(shù)圖表示了衍生證券的標(biāo)的資產(chǎn) n價(jià)格在有效期內(nèi)可能遵循的路徑。 n 1、單步二叉樹(shù)定價(jià) n1）條件： n假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為$20，三個(gè)月后的 價(jià)格將可能為$22或$18。 n假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。 n歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格$21，有效期為三個(gè) 月。 一、單步二叉樹(shù)模型一、單步二叉樹(shù)模型 n2）定價(jià)思路： n構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合，使得在三個(gè) 月末該組合的價(jià)值是確定的。 n它的收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。 n由此得出該期權(quán)的價(jià)格。 n3

2、 3）構(gòu)造組合：）構(gòu)造組合： n該組合包含一個(gè)該組合包含一個(gè) 股股票多頭頭股股票多頭頭 寸和一個(gè)看漲期權(quán)的空頭頭寸。寸和一個(gè)看漲期權(quán)的空頭頭寸。 n上升時(shí)：股票價(jià)格從$20上升到$22，期權(quán) 的價(jià)值為$l，該證券組合的總價(jià)值為22- 1； n下降時(shí)：股票價(jià)格從$20下降到$18，期權(quán) 的價(jià)值為零，該證券組合的總價(jià)值為18。 n如果選取某個(gè)值，以使得該組合的終值對(duì) 兩個(gè)股票價(jià)格都是相等的，則該組合就是 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 n 221=18 n =0.25 n一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合是：一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合是： n多頭：多頭：0.250.25股股票股股票 n空頭：一個(gè)期權(quán)空頭：一個(gè)期權(quán) n4）定價(jià)： n如果股票價(jià)格上

3、升到$22，該組合的價(jià)值為： 220.254.5 n如果股票價(jià)格下跌到$18，該組合的價(jià)值為： 180.254.5 n無(wú)論股票價(jià)格是上升還是下降，在期權(quán)有 效期的末尾，該組合的價(jià)值總是$4.5。 n在無(wú)套利均衡的情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券 組合的盈利必定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 n假設(shè)在這種情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年 率12。 n該組合現(xiàn)在價(jià)值一定是$45的現(xiàn)值。 n即：4.5e-0.120.25=4.3674 n股票現(xiàn)在的價(jià)格已知為$20。 n假設(shè)期權(quán)的價(jià)格由f來(lái)表示。 n現(xiàn)在該組合的價(jià)值：200.25f=5f n即f=0.633 n5）偏離均衡價(jià)格時(shí)的套利： n如果期權(quán)的價(jià)值超過(guò)了$0.633，構(gòu)造該組 合的成

4、本就有可能低于$4.367，并將獲得 超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的額外收益； n如果期權(quán)的價(jià)值低于$0.633，那么賣空該 證券組合將獲得低于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的資金。 n2、一般結(jié)論 n1）條件： n考慮一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，股票價(jià)格為S。 n基于該股票的某個(gè)衍生證券的當(dāng)前價(jià)格為f。 n假設(shè)當(dāng)前時(shí)間為零時(shí)刻，衍生證券給出了在T時(shí)刻 n的盈虧狀況 。 n2）構(gòu)造組合： n一個(gè)證券組合由股的股票多頭和一個(gè)衍生 證券空頭來(lái)組成。 n如果股票價(jià)格上升,在有效期末該組合的價(jià) 值為： Sufu n如果股票價(jià)格下降，在有效期末該組合的 價(jià)值為： Sdfd 當(dāng)兩個(gè)價(jià)值相等時(shí)： Sufu =Sdfd SdSu ff du 3）定

5、價(jià)： 該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，收益必得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 在T時(shí)刻的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，是衍生證 券價(jià)格變化與股票價(jià)格變化之比。 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率用r來(lái)表示。 fS efSu rT u : )( : 該組合的成本 該組合的現(xiàn)值 )1 (: du rT fppfef 得到 du de p rT :其中 rT u efSufS )(:則有 3、股票預(yù)期收益的無(wú)關(guān)性 n衍生證券定價(jià)公式?jīng)]有用到股票上升和下 降的概率。 n人們感覺(jué)：假設(shè)如果股票價(jià)格上升的概率 增加，基于該股票的看漲期權(quán)價(jià)值也增加， 看跌期權(quán)的價(jià)值則減少。 n原因： n根據(jù)標(biāo)的股票的價(jià)格估計(jì)期權(quán)的價(jià)值。未 來(lái)上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價(jià) 格中。 n

6、它說(shuō)明：當(dāng)根據(jù)股票價(jià)格為期權(quán)估值時(shí)， 我們不需要股票價(jià)格上漲下降的概率。 二、風(fēng)險(xiǎn)中性估值二、風(fēng)險(xiǎn)中性估值 n1、預(yù)期價(jià)格與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 n變量p解釋為股票價(jià)格上升的概率，于是變 量1p，就是股票價(jià)格下降的概率。 n在T時(shí)刻預(yù)期的股票價(jià)格ST： n E（ST）=pSu+(1-p)Sd n即E（ST）=pS（u-d）+Sd 。 n將P代入上式，化簡(jiǎn)得： nE（ST）=SerT n即：平均來(lái)說(shuō)，股票價(jià)格以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增 長(zhǎng)。 n因此，設(shè)定上升運(yùn)動(dòng)的概率等于p就是等價(jià) 于假設(shè)股票收益等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 n則衍生證券的預(yù)期收益：pfu+(1-p)fd n衍生證券的價(jià)值是其未來(lái)預(yù)期值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn) 利率貼現(xiàn)的值 。

7、n2、風(fēng)險(xiǎn)中性世界(risk-neutral wrld)：我們 將把每一個(gè)人是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界稱為風(fēng)險(xiǎn) 中性世界。 n在這樣的世界中，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要求補(bǔ) 償，所有證券的預(yù)期收益率是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 n上升運(yùn)動(dòng)的概率為p時(shí)，我們就在假設(shè)一個(gè) 風(fēng)險(xiǎn)中性世界 。 n3、風(fēng)險(xiǎn)中性估值(risk-neutralvaluation)： 把金融資產(chǎn)放在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界去估值 n即為期權(quán)和其它衍生證券估值時(shí)，世界是 風(fēng)險(xiǎn)中性的。 n在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的價(jià)格，在現(xiàn)實(shí)世 界中也是正確的。 4、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)舉例： n求風(fēng)險(xiǎn)中性概率p n在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，股票的預(yù)期收益率一定 等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率12。 n則有：22p+18(1

8、-p)=20e0.120.25 n即 4p=20e0.120.25-18 np=O.6523。 n期權(quán)定價(jià): n在三個(gè)月末尾:看漲期權(quán)價(jià)值為$1的概率為 0.6523，價(jià)值為零的概率為0.3477。 n看漲期權(quán)的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 n期權(quán)現(xiàn)在的價(jià)值： nf=0.6523e-0.120.25 =0.633 三、兩步二叉樹(shù)圖三、兩步二叉樹(shù)圖 n1、兩步二叉樹(shù)圖的例子 n1）條件： n開(kāi)始的股票價(jià)格為$20，并在兩步二叉樹(shù)圖 的每個(gè)單步二叉樹(shù)圖中，股票價(jià)格可以上 升10或者下降10。 n我們假設(shè)在每個(gè)單步二叉樹(shù)的步長(zhǎng)是三個(gè) 月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是年率12。 n期權(quán)的

9、執(zhí)行價(jià)格為$21 n2）定價(jià)： n計(jì)算在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格： nu=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. n節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格為： e-0.120.25(0.65233.2十 0.34770)=2.0257 n同理求出節(jié)點(diǎn)C的期權(quán)價(jià)格為：0 n計(jì)算節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)格: n知道在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)值為2.0257;以及在 節(jié)點(diǎn)C的期權(quán)價(jià)值為零。 n因此，節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)值： ne-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 n于是期權(quán)的價(jià)格為:$1.2823 n注意:在構(gòu)造這個(gè)例子時(shí) nu和d(股票價(jià)格上升和下降的比率)在樹(shù)圖的 每個(gè)節(jié)點(diǎn)上是相同

10、的; n每個(gè)單步二叉樹(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度是相等的; n在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)中性的概率p都是相同的 2.2.一般結(jié)論一般結(jié)論 n初始股票價(jià)格為S。 n在每個(gè)單步二叉樹(shù)中，股票價(jià)格或者上升 到初始值的u倍，或下降到初始值的d倍。 n我們假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是r。 n每個(gè)單步二又樹(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度是t年。 du Tr ddud Tr d uduu Tr u fppfef fppfef fppfef )1( )1( )1( dduduu Tr fpfppfpef 222 )1 ()1 (2 np2,2p(1-p),(1-p)2是達(dá)到最后上、中、下三個(gè) 節(jié)點(diǎn)的概率。 n衍生證券的價(jià)格等于它在它在風(fēng)險(xiǎn)中性世 界的預(yù)期收益按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)

11、利率貼現(xiàn)的值。 n如果在樹(shù)圖中加入更多的步(step)以推廣應(yīng) 用二叉樹(shù)圖方法，風(fēng)險(xiǎn)中性估值的原理一 直是成立的。 n衍生證券的價(jià)格總是等于它在風(fēng)險(xiǎn)中性世 界的預(yù)期收益按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 3 3、看跌期權(quán)的例子、看跌期權(quán)的例子 n1）條件： n一個(gè)兩年期歐式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價(jià) 格為$52，當(dāng)前價(jià)格為$50。 n假設(shè)價(jià)格為兩步二叉樹(shù)，每個(gè)步長(zhǎng)為一年。 n在每個(gè)單步二叉樹(shù)中股票價(jià)格或者按比率 上升20，或者按比率下降20。 n假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是5。 2）定價(jià)： 風(fēng)險(xiǎn)中性概率P的值為： n最后股票的可能價(jià)格為$72、$48和$32。 n在這種情況下，fuu=0,fud=4,fdd=20,t=1

12、， n利用公式，我們有： 6282. 0 8 . 02 . 1 8 . 0 105. 0 e p nf n= e-20.051(0.628220十20.62820.37184 十0.3718220) n=4.1923 n看跌期權(quán)的價(jià)值是$4.1923。 n利用每個(gè)單步二步二叉樹(shù)向回倒推算，也 可以得到這個(gè)結(jié)果。 四、美式期權(quán)四、美式期權(quán) n1、方法： n從樹(shù)圖的最后末端向開(kāi)始的起點(diǎn)倒推計(jì)算。 n在每個(gè)節(jié)點(diǎn)檢驗(yàn)提前執(zhí)行是否最佳。 n在最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值與歐式期權(quán)在最后 節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值相同。 n在較早的一些節(jié)點(diǎn)，期杈的價(jià)值是取如下 兩者之中較大者： n1）由公式f=e-rTpfu+(1-p)fd

13、求出的值。 n2）提前執(zhí)行所得的收益。 n2、例： n1）條件： n考慮一個(gè)兩年期美式看跌期權(quán)，股票的執(zhí) 行價(jià)格為$52，當(dāng)前價(jià)格為$50。 n假設(shè)價(jià)格為兩步二叉樹(shù)，每個(gè)步長(zhǎng)為一年， 在每個(gè)單步二叉樹(shù)中股票價(jià)格或者按比率 上升20，或者按比率下降20。 n假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是5。 2）、定價(jià) n在節(jié)點(diǎn)B，期權(quán)的價(jià)值為$1.4147，而提前 執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值(-$8)。在節(jié)點(diǎn)B提前 執(zhí)行不是明智的，此時(shí)期權(quán)價(jià)值為1.4147。 n在節(jié)點(diǎn)C，期權(quán)的價(jià)值為$9.4636，而提前 執(zhí)行期權(quán)的損益為$12.0。在這種情況下， 提前執(zhí)行是最佳的，因此期權(quán)的價(jià)值為 $12.0。 n在初始節(jié)點(diǎn)A，求出的期權(quán)價(jià)

14、值為: f= e-0.051(0.62821.4147十0.371812.0)=5.0894 n而提前執(zhí)行的價(jià)值為$2.0。 n在這種情況下，提前執(zhí)行是不明智的。 n因此期權(quán)的價(jià)值為$5.0894。 n 五、五、DeltaDelta n股票期權(quán)的Delta：是股票期權(quán)價(jià)格的變化 與標(biāo)的股票價(jià)格的變化之比。 n它與在較早時(shí)引入的是相同的。 nDelta是為了構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，對(duì)每一 個(gè)賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù) 目。 n構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有時(shí)就稱之為Delta對(duì)沖 (delta hedging)。 n看漲期權(quán)的Delta是正值，而看跌期權(quán)的 Delta是負(fù)值。 n計(jì)算該看漲期權(quán)的Delta如下： n(1-0)/(22-18)=0.25 n這是因?yàn)楫?dāng)股票價(jià)格從18變化到22時(shí)，期 權(quán)價(jià)格從O變化到1。 n第一個(gè)時(shí)間步 nDelta=(2.0257-0)/(22-18)=0.5064 n第二個(gè)時(shí)間步價(jià)格向上變動(dòng) nDelta=（3.2-0）/(24.2-19.8)=0.7273 n第二個(gè)時(shí)間步價(jià)格向上變動(dòng) nDelta= （0-0）/（19.8-16）=0 n兩個(gè)時(shí)間的步的例子說(shuō)明，Delta值隨時(shí)間 而變化。 n這意味著利用期權(quán)和標(biāo)的股票來(lái)保持一個(gè) 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，我們需要定期調(diào)整我們所持 有的股票數(shù)量。 六、二叉樹(shù)圖方法在實(shí)際中的應(yīng)六、二叉樹(shù)圖方法在實(shí)際中的應(yīng) 用用 n在實(shí)際中