2148.建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系,自覺(jué)應(yīng)用新定義解決問(wèn)題

1、建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系,自覺(jué)應(yīng)用新定義解決問(wèn)題關(guān)鍵詞：目標(biāo)定位 材料選擇 考查方式 解題原則 解題方法摘要: 中考數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)新定義問(wèn)題, 在體現(xiàn)新特色,突出新視點(diǎn),開(kāi)辟新思路,引出新方法,令人耳目一新,本文想通過(guò)其凸現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)加以分析，尋求問(wèn)題解決的途徑。綜觀2007年全國(guó)各地中考試題,解答新數(shù)學(xué)定義問(wèn)題，重在體現(xiàn)新特色,突出新視點(diǎn),開(kāi)辟新思路,引出新方法,令人耳目一新。試題的特點(diǎn)是緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn)，材料的選擇源于教材又高于教材，發(fā)揮了中考命題的導(dǎo)向作用。一、其凸現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)有：1、 從目標(biāo)的定位看“解決問(wèn)題”的解題目標(biāo)都重在對(duì)問(wèn)題的思考和新定義的理解上，體現(xiàn)了中考命題的多樣化。通過(guò)解決數(shù)學(xué)新概

2、念問(wèn)題，重在讓學(xué)生體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的價(jià)值，從而產(chǎn)生豐富的情感。2、 從材料的選擇看“材料的選擇源于教材又高于教材”是運(yùn)用教材的理念。試題選用的教學(xué)材料簡(jiǎn)單，但又有特色，貼近學(xué)生的知識(shí)面，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中處處都有數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，學(xué)有所用，同時(shí)試題做到材料的呈現(xiàn)從易到難，同一材料設(shè)計(jì)出不同層次的變式練習(xí)，體現(xiàn)了思維的梯度。3、 從考查的方式看（1）、注重構(gòu)建“解決問(wèn)題”的基本模式。各地中考試題都力求在繼承與創(chuàng)新中尋求簡(jiǎn)潔有效的命題方式，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，即：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題模型建構(gòu)解決問(wèn)題應(yīng)用解決。成功解答新數(shù)學(xué)概念問(wèn)題,能喚起學(xué)生的舊知，考查學(xué)生靈活選擇策略解決問(wèn)題的能力

3、。因此,教師在教學(xué)中要注重學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，敢于面對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的困難，并有獨(dú)立克服困難和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，有學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。（2）、極力突出“學(xué)與用”的有效結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為:“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！?同時(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)也認(rèn)為: “評(píng)價(jià)的主要目的是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)；應(yīng)建立評(píng)價(jià)目標(biāo)多元、評(píng)價(jià)方法多樣的評(píng)價(jià)體系。對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)

4、價(jià)要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注他們學(xué)習(xí)的過(guò)程；要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更要關(guān)注他們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，建立信心?！边@類中考試題都盡量使所學(xué)知識(shí)與解決問(wèn)題完美結(jié)合在同一試題中，“以學(xué)引用”，“以用鞏固學(xué)”，學(xué)用相互依存，并使之成為考查知識(shí)與技能和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的一種新穎命題方式。讓學(xué)生自主體驗(yàn)新的概念，在解決問(wèn)題中出現(xiàn)矛盾沖突，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是為了解決問(wèn)題而產(chǎn)生，同時(shí)又強(qiáng)化了數(shù)學(xué)思想和方法，提高了試題的多樣性。4、 從解題原則看（1）、簡(jiǎn)單化原則數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)應(yīng)用“簡(jiǎn)單化原則”來(lái)解題。所謂簡(jiǎn)單，就是把比較復(fù)雜的問(wèn)題，通過(guò)變換，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題?；蛲ㄟ^(guò)問(wèn)題

5、的簡(jiǎn)單化，獲得解決復(fù)雜問(wèn)題的思路。 （2）、聯(lián)想類比原則 類比聯(lián)想就是由此（具體的個(gè)別的現(xiàn)象）及彼（抽象的普遍的本質(zhì)）的類比思考。立意中，這種尋找“此”與“彼”的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)聯(lián)想確定主題的過(guò)程，我們認(rèn)為都是類比思考的過(guò)程。（3）、熟悉化原則熟悉化原則是把陌生的、要解決的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為與之有關(guān)的熟悉問(wèn)題。用熟悉的知識(shí)予以解決。運(yùn)用熟悉化原則，對(duì)要解決的問(wèn)題從多角度、多側(cè)面去聯(lián)想，在有關(guān)的熟悉的問(wèn)題、知識(shí)和技能中比較、分析、推理逐漸發(fā)現(xiàn)并促成要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題予以解決。5、 從解題方法看（一）、使背景材料與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系例1. (2007年連云港市)如圖1，點(diǎn)將線段分成兩部分

6、，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線（1）研究小組猜想：在中，若點(diǎn)為邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線是的黃金分割線你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？（2）請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接（如圖3），則直線也是的黃金分割線請(qǐng)你說(shuō)明理由（4）如圖4，點(diǎn)是的邊的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，顯然直線是的黃金分割線請(qǐng)你畫一條的黃金分

7、割線，使它不經(jīng)過(guò)各邊黃金分割點(diǎn)dcffccaebebdabdaa圖4圖3圖2圖1分析：新定義黃金分割線對(duì)考生應(yīng)該不陌生,容易理解和接受,良好的思維品質(zhì)是解題的關(guān)鍵,常見(jiàn)思路是首先熟悉的黃金分割點(diǎn)定義(點(diǎn)c將線段ab分成兩部分，如果ac：ab=bc：ac，那么稱點(diǎn)c為線段ab的黃金分割點(diǎn))與新定義(直線l將面積為s的三角形分成兩部分，這兩部分的面積分別為s1、s2，如果s1：s= s2：s1，那么直線l叫做三角形的黃金分割線)建立聯(lián)系,最后推廣為一般地，直線l將一個(gè)面積為s的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為s1，s2，如果s1：s= s2：s1，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線。解：（1）直

8、線是的黃金分割線理由如下：設(shè)的邊上的高為，所以， 又因?yàn)辄c(diǎn)為邊的黃金分割點(diǎn)，所以有因此所以，直線是的黃金分割線（2）因?yàn)槿切蔚闹芯€將三角形分成面積相等的兩部分，此時(shí)，即，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線 （3）因?yàn)?，所以和的公共邊上的高也相等，所以?設(shè)直線與交于點(diǎn)所以所以，又因?yàn)?，所以因此，直線也是的黃金分割線 （4）畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法； 畫法一：如答圖1，取的中點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作一條直線分別交，于，點(diǎn)，則直線就是的黃金分割線畫法二：如答圖2，在上取一點(diǎn)，連接，再過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則直線就是的黃金分割線fcbdeanmg（答圖1）fcbdeanm（答圖2）（二）、推敲新概念

9、中隱藏的性質(zhì)和命題例2.(2007年寧波市)四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)如圖l，點(diǎn)p為四邊形abcd對(duì)角線ac所在直線上的一點(diǎn)，pd=pb，papc，則點(diǎn)p為四邊形abcd的準(zhǔn)等距點(diǎn)(1)如圖2，畫出菱形abcd的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn) (2)如圖3，作出四邊形abcd的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)(3)如圖4，在四邊形abcd中，p是ac上的點(diǎn)，papc，延長(zhǎng)bp交cd于點(diǎn)e，延長(zhǎng)dp交bc于點(diǎn)f，且cdf=cbe，ce=cf求證：點(diǎn)p是四邊形ab cd的準(zhǔn)等距點(diǎn)(4)試

10、研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況(說(shuō)出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明)分析：從上面這道例題可以看出，解數(shù)學(xué)信息題的關(guān)鍵在于讀懂題目，考生要求在閱讀理解四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)規(guī)范定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比聯(lián)想，找到線段垂直平分線的性質(zhì)與四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)信息遷移，建模應(yīng)用。如果我們平時(shí)能花氣力突破對(duì)新概念、術(shù)語(yǔ)的理解能力較差，缺乏聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)的意識(shí)，對(duì)問(wèn)題的探究能力較弱等問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)對(duì)此類問(wèn)題有必勝的信心，實(shí)現(xiàn)敢于拿下這類題的分?jǐn)?shù)。解：(1)如圖2，點(diǎn)p即為所畫點(diǎn) (2)如圖3，點(diǎn)p即為所作點(diǎn) (3) 如圖4，連結(jié)db， 在dcf與bce中， dcf=bce， cdf=cbe， cf=c

11、e. dcfbce(aas)， cd=cb， cdb=cbd. pdb=pbd， pd=pb， papc 點(diǎn)p是四邊形abcd的準(zhǔn)等距點(diǎn) (4)當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且任何一條對(duì)角線不平分另一對(duì)角線或者對(duì)角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；當(dāng)四邊形的對(duì)角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對(duì)角線的中垂線經(jīng)過(guò)另一對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線的中垂線都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)； 四邊形的對(duì)角線互相垂直且至少有一條對(duì)角線平分另一對(duì)角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)（三）、在問(wèn)題的分析中歸納和抽象出概念的本質(zhì)

12、屬性例3(2007年嘉興市)解答一個(gè)問(wèn)題后，將結(jié)論作為條件之一，提出與原問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題例如，原問(wèn)題是“若矩形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，求矩形的周長(zhǎng)”，求出周長(zhǎng)等于14后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若矩形的周長(zhǎng)為14，且一邊長(zhǎng)為3，求另一邊的長(zhǎng)”；也可以是“若矩形的周長(zhǎng)為14，求矩形面積的最大值”，等等（1）設(shè)a，b，求a與b的積；（2）提出（1）的一個(gè)“逆向”問(wèn)題，并解答這個(gè)問(wèn)題分析：本題為開(kāi)放題，只要將“”作為條件之一的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都是問(wèn)題（1）的“逆向”問(wèn)題本題求解時(shí)思路要簡(jiǎn)單,分清一個(gè)命題的題設(shè)和條件,圍繞命題的條件或結(jié)論進(jìn)行求異思維的思考，借助原問(wèn)題

13、的一個(gè)“逆向”問(wèn)題定義作出轉(zhuǎn)化。解：（1）（2）“逆向”問(wèn)題一：已知，求解答：“逆向”問(wèn)題二：已知，求解答：“逆向”問(wèn)題三：已知，求解答：（四）、從最近概念理解新概念例4(2007年北京市)我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于點(diǎn)，若，請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；（3）在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論分析：理解新概念中隱藏的

14、性質(zhì)和命題，考生要從特殊圖形入手，按照題目的設(shè)計(jì)層次，逐步推進(jìn)，逐個(gè)擊破。解：（1）回答正確即可（如：平行四邊形、等腰梯形等）。（2）答：與a相等的角是bod（或coe），四邊形dbce是等對(duì)邊四邊形；（3）答：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形dbce。 證法一：如圖1，作cgbe于g點(diǎn)，作bfcd交cd延長(zhǎng)線于f點(diǎn)。 因?yàn)閐cb=ebc=a，bc為公共邊， 所以bcfcbg， 所以bf=cg， 因?yàn)閎df=abe+ebc+dcb，bec=abe+a， 所以bdf=bec，可證bdfceg， 所以bd=ce所以四邊形dbce是等邊四邊形。證法二：如圖2，以c為頂點(diǎn)作fcb=dbc，cf交be于f

15、點(diǎn)。 因?yàn)閐cb=ebc=a，bc為公共邊， 所以bdccfb，所以bd=cf，bdc=cfb，所以adc=cfe，因?yàn)閍dc=dcb+ebc+abe，fec=a+abe， 所以adc=fec， 所以fec=cfe，所以cf=ce，所以bd=ce，所以四邊形dbce是等邊四邊形。（五）、通過(guò)辨析找出錯(cuò)誤并糾正例5. (2007年南京市)在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為，并且原多邊形上的任一點(diǎn)，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段或其延長(zhǎng)線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這種經(jīng)過(guò)和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為，其中點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)相似中

16、心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角（1）填空： 如圖1，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來(lái)的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為（，）；如圖2，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，則線段的長(zhǎng)為；（2）如圖3，分別以銳角三角形的三邊，為邊向外作正方形，點(diǎn)，分別是這三個(gè)正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，試分別利用與，與之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說(shuō)明線段與之間的關(guān)系bde圖1bde圖2圖3分析：考生對(duì)一個(gè)新定義的理解，一開(kāi)始會(huì)有偏差，通常需要不斷修正，逐步到位。解：（1），； ；（2）經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時(shí)，線段變?yōu)榫€段； 經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時(shí)，線段變?yōu)榫€段，二、復(fù)習(xí)中如何有效利

17、用中考試題中考試題是專家們精心設(shè)計(jì)出來(lái)的，體現(xiàn)中考復(fù)習(xí)的動(dòng)向，給我們的復(fù)習(xí)帶來(lái)指導(dǎo)作用，是中考考前備考不可或缺的典型習(xí)題。正視中考題,靈活的使用中考題,進(jìn)行合理的處理,我們的復(fù)習(xí)將會(huì)更有效果。許多教師利用試卷采用的方式依然是照本宣科，使得題目不能很好的發(fā)揮功效。多年初三畢業(yè)班的經(jīng)驗(yàn)告訴我們挖掘原題中的隱藏問(wèn)題,在中考復(fù)習(xí)中顯得尤為重要,一個(gè)新問(wèn)題的提出，學(xué)生必須進(jìn)行探究解決，從而使學(xué)生對(duì)該問(wèn)題有更深的理解，也能培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。變式練習(xí)是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的一大特色，中考試題設(shè)計(jì)時(shí)往往兼顧的只是知識(shí)點(diǎn)的一個(gè)方面，于是教師可以改變某些條件或問(wèn)法，就又是一道好的題目，解答這樣的題目必然會(huì)使學(xué)生在

18、復(fù)習(xí)中舉一反三、觸類旁通，起到精練的目的。此外對(duì)比練習(xí)、類比練習(xí)、一題多解也是常用來(lái)處理中考習(xí)題的方法。數(shù)學(xué)問(wèn)題是千變?nèi)f化的，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法也是多種多樣的，如何選擇正確的解題方法是數(shù)學(xué)教學(xué)法研究的中心課題之一。對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生總是采用從原問(wèn)題入手推出原問(wèn)題結(jié)論的方法，但有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，采用這種方法難以解決，中考復(fù)習(xí)要讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)適當(dāng)變換問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不能墨守常規(guī)，要善于抓住本質(zhì)屬性，積極進(jìn)行發(fā)散思維，數(shù)學(xué)并不是枯燥無(wú)味的東西，真的進(jìn)入了角色，會(huì)其樂(lè)無(wú)究。三、新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)從中考過(guò)程中反映出來(lái)的情況是:考生題目能讀懂,卻不會(huì)自覺(jué)應(yīng)用新概念去解決問(wèn)題。仔細(xì)想想，問(wèn)題可能就出在課堂教學(xué)上，新課標(biāo)要求我們教師要更新教學(xué)理念，重視概念課教學(xué)；精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；倡導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；引導(dǎo)學(xué)生重視概念教學(xué)，提高學(xué)生應(yīng)用概念解決問(wèn)題的能力。教學(xué)出現(xiàn)偏差，學(xué)生能力的發(fā)展沒(méi)有向課標(biāo)預(yù)設(shè)的方向去,自然會(huì)出現(xiàn)上述癥狀。通常課堂教學(xué)所能做到的是選擇具體的典型材料和實(shí)例，創(chuàng)設(shè)趣味性、探索性的問(wèn)題情境，來(lái)幫助學(xué)生完成由教材感知到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)渡，或者從最近概念出發(fā),探求新舊概念的區(qū)別和聯(lián)系。這些理解新概念的方法都是我們?cè)诔跞龔?fù)習(xí)時(shí)要?dú)w納和總結(jié)的，教師要善于從方法分析中歸納和抽象出具體經(jīng)驗(yàn)，形成學(xué)生的能力。波利亞指出“學(xué)習(xí)最好