2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學(xué)案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)精品

1、1.2空間向量基本定理學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解(難點(diǎn))3.掌握在簡(jiǎn)單問題中運(yùn)用空間三個(gè)不共面的向量作為基底表示其他向量的方法(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過(guò)基底概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)用空間向量基本定理，解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).平面向量基本定理表明，在給定的平面內(nèi)，當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，任意一個(gè)向量c都可以寫成a與b的線性運(yùn)算，而且表達(dá)式唯一空間向量有沒有類似的結(jié)論？如果有，嘗試歸納出來(lái)，如果沒有說(shuō)明理由知識(shí)點(diǎn)1空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在

2、唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底對(duì)于基底a，b，c，三個(gè)基向量a，b，c中能否有一個(gè)為0?提示因?yàn)橄蛄?與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，因此三個(gè)基向量均不為0.(1)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底(2)一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，而一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念1.思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)空間向量的基底是唯一的()(2)若a，b，c是空間向量的一個(gè)基底，則a，b，c均為非零向量()(3)已知A，

3、B，M，N是空間四點(diǎn)，若，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N共面()(4)若a，b，c是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xaybzc0，則有xyz0.()提示(1)任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間的一個(gè)基底(2)若a，b，c中有一個(gè)零向量，則a，b，c三向量共面不能構(gòu)成基底(3)，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則三向量共面，且有公共起點(diǎn)B，因此A，B，M，N四點(diǎn)共面(4)a，b，c不共面，則必有xyz0.知識(shí)點(diǎn)2空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底常用i，j，k表示(2)向量的正交分解由空間向量基本定理

4、可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使得axiyjzk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解2.思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)空間的單位正交基底是唯一的()(2)單位正交基底中每一個(gè)基向量是單位向量()(3)對(duì)于單位正交基底i，j，k,2j0i2j0k.()提示(1)不唯一(2)由單位正交基底的定義可知正確(3)由向量正交分解知正確 類型1空間的基底【例1】e1，e2，e3是空間的一個(gè)基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，試判斷，能否作為空間的一個(gè)基底解假設(shè)，共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)

5、數(shù)x，y，使xy成立，e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3，e1，e2，e3是空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3不共面此方程組無(wú)解即不存在實(shí)數(shù)x，y使得xy，所以，不共面所以，能作為空間的一個(gè)基底基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底假設(shè)ab c，運(yùn)用空間向量基本定理，建立，的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底依

6、托正方體，用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，構(gòu)造所需向量，判斷它們是否共面跟進(jìn)訓(xùn)練1已知O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a，向量b，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的是()ABC D或C由(ab)知與a，b共面所以a，b，不能構(gòu)成空間的基底，故選C2若a，b，c是空間的一個(gè)基底，試判斷ab，bc，ca能否作為空間的一個(gè)基底？解假設(shè)ab，bc，ca共面，則存在實(shí)數(shù)，使得ab(bc)(ca)，即abab()c.a，b，c是空間的一個(gè)基底，a，b，c不共面此方程組無(wú)解即不存在實(shí)數(shù)，使得ab(bc)(ca)，ab，bc，ca不共面故ab，bc，ca能作為空間的一個(gè)基底 類型2用空間的基底表示

7、空間向量【例2】(對(duì)接教材P12例題)如圖，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，點(diǎn)M，N分別是BC，BC的中點(diǎn)，試用基底a，b，c表示向量，.解連接AN(圖略)()()(abc)()()abc.若把本例中“a”改為“a”，其他條件不變，則結(jié)果是什么？解因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，所以()ab.()()()bac.基向量的選擇和使用方法(1)盡可能選擇具有垂直關(guān)系的，從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底(2)用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘跟進(jìn)訓(xùn)練3.如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，

8、PO平面OABC，設(shè)a，b，c，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示：，.解連接BO(圖略)，則()(cba)abc.()abc.()ac(cb)abc.a. 類型3空間向量基本定理的應(yīng)用【例3】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且CGCD(1)證明：EFB1C；(2)求EF與C1G所成角的余弦值解(1)證明：設(shè)i，j，k，則i，j，k構(gòu)成空間的一個(gè)正交基底所以k()ijk，ik，所以(ik)|i|2|k|20，所以EFB1C(2)ijk，kj，|22|i|2|j|2|k|23，|，|22|k|2|j|24，|，cos，.

9、本例中設(shè)線段A1B的中點(diǎn)為M，證明：MFB1C解設(shè)i，j，k，則ik，ik(ik)，所以MFB1C基向量法解決平行、垂直及夾角問題首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選擇一個(gè)基底，把題目中涉及的向量用基向量表示(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0；(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線；(3)若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角)跟進(jìn)訓(xùn)練4.在所有棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABCA1B1C1中，B1BC60，求證：(1)AB1BC；(2)A1C平面AB1C1.證明(1)易知，120，則()22220.所以AB1BC(2)易知四邊形AA1C1C為菱形，所以A1CAC1.因?yàn)?)()()(

10、)2242240，所以AB1A1C，又AC1AB1A，所以A1C平面AB1C1.1在正方體ABCDA1B1C1D1中，可以作為空間向量的一組基底的是()A，B，C，D，C只有選項(xiàng)C中的三個(gè)向量是不共面的，可以作為一個(gè)基底故選C2(多選題)在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若，是空間的一個(gè)基底，則下列命題正確的是()AO，A，B，C四點(diǎn)不共線BO，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線CO，A，B，C四點(diǎn)不共面DO，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線ACD選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)的命題是正確的，若四點(diǎn)共線，則向量，共面，構(gòu)不成基底；選項(xiàng)B對(duì)應(yīng)的命題是錯(cuò)誤的，若四點(diǎn)共面，則，共面，構(gòu)不成基底；選項(xiàng)C對(duì)應(yīng)的命題是正確的，若四點(diǎn)共面，

11、則，構(gòu)不成基底；選項(xiàng)D對(duì)應(yīng)的命題是正確的，若有三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)共面，向量，構(gòu)不成基底，故選ACD3設(shè)a，b都是非零向量，2a3b，ab，則不重合的直線AB與CD()A相交B平行C垂直D無(wú)法判位置關(guān)系B由題意知，2，則ABCD，故選B4正方體ABCDA1B1C1D1中，取，為基底，若G為平面BCC1B1的中心，且xyz，則xyz_.2如圖，().由條件知x1，y，z.xyz12.5已知e1，e2，e3為空間的一個(gè)基底，若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且dabc，則，分別為_，1，abc(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3.又de12e23e3，解得回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：(1)