哈爾濱工業(yè)大學(xué) 計(jì)算傳熱學(xué) 第五章 對(duì)流-擴(kuò)散方程的離散格式-2013

1、 導(dǎo)熱型方程：導(dǎo)熱型方程： 二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng) 對(duì)流對(duì)流- -擴(kuò)散方程：擴(kuò)散方程： 二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng) 一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（對(duì)流）一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（對(duì)流） 一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的對(duì)流一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的對(duì)流- -擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程: : ()() ddd u dxdxdx 密度，密度， 擴(kuò)散系數(shù)。擴(kuò)散系數(shù)。 2 2 dTd T cuk dxdx 0 0, , L xTT xL TT 精確解精確解 對(duì)流熱能量方程對(duì)流熱能量方程 0 0 exp() 1 exp(/ ) 1 exp(/ ) 1exp() 1 e Le Px TTcux k L TTcuL kP

2、貝克立數(shù)貝克立數(shù) 對(duì)流傳熱量對(duì)流傳熱量/ /導(dǎo)熱量導(dǎo)熱量 e cuLcuA T P T k kA L 純導(dǎo)熱純導(dǎo)熱 0 e P 上游信息對(duì)流到下游，上游信息對(duì)流到下游， 下游信息無法通過擴(kuò)下游信息無法通過擴(kuò) 散傳到上游。散傳到上游。 e P 純對(duì)流 純對(duì)流 以上述精度解為例討論各種差分格式的性能。以上述精度解為例討論各種差分格式的性能。 x TL 1 -5 Pe=0 15 L T0 0 5-1 5-1 對(duì)流項(xiàng)中心差分與迎風(fēng)差分。對(duì)流項(xiàng)中心差分與迎風(fēng)差分。 連續(xù)方程連續(xù)方程 ()0, d uu dx 常數(shù)常數(shù) 而而 ()() ddd u dxdxdx 對(duì)控制容積采用分段線性進(jìn)行積分。對(duì)控制容積采

3、用分段線性進(jìn)行積分。 ()()()() ewew dd uu dxdx ()()11 () ()() () 22 eEPwPW eEPwWP ew uu xx 記記 FuD x w x e x W e E w 對(duì)流項(xiàng)中心差分格式對(duì)流項(xiàng)中心差分格式 則則 1111 ()()() 2222 PewewEeeWww FFDDFDFD 記記 11 () 22 EeeWwwPEWew aDFaDFaaaFF 即即 記記 以網(wǎng)格間距以網(wǎng)格間距 為特征尺寸的貝克列數(shù)。為特征尺寸的貝克列數(shù)。 Fu x P D x 在均勻網(wǎng)格和常物性條件下，上式為在均勻網(wǎng)格和常物性條件下，上式為: : W 11 (2)()()

4、 22 PE DDFDF 即即 W 1 2 11 1 22 E P PP （B B） （A A） PPEEWW aaa (5)(5)中心差分格式只適用于中心差分格式只適用于低雷諾數(shù)問題低雷諾數(shù)問題 (2)(2)式（式（A A）為中心差分格式為中心差分格式 (4)(4)導(dǎo)致不合理的原因?qū)е虏缓侠淼脑?而使而使 在在 大時(shí)，大時(shí)， 分布偏離線性很遠(yuǎn)，積分假設(shè)不合理。且分布偏離線性很遠(yuǎn)，積分假設(shè)不合理。且 大時(shí)，在大時(shí)，在x=L/2x=L/2處，處， 上游值而非平均值。上游值而非平均值。 (3)(3)存在的問題，用（存在的問題，用（B B）式計(jì)算。式計(jì)算。 (1)(1)當(dāng)滿足連續(xù)性條件時(shí)，當(dāng)滿足連

5、續(xù)性條件時(shí)， 討論討論 W,PEew aaaFF 取取 144DFP （a a） W 200,100 E 得得 50 P （b b） W 100,200 E 250 P 得得 顯然不合理，真實(shí)值顯然不合理，真實(shí)值 在在 和和 之間。之間。 P E W 2P 0 E a P x P 0 為了避免上式造成物理不真實(shí)，而構(gòu)造迎風(fēng)差分格式：為了避免上式造成物理不真實(shí)，而構(gòu)造迎風(fēng)差分格式： （介紹第二類，有守恒性）在控制容積積分時(shí)，界面上的（介紹第二類，有守恒性）在控制容積積分時(shí)，界面上的 未知量恒取上游節(jié)點(diǎn)的值，而不象中心差分那樣取兩邊節(jié)未知量恒取上游節(jié)點(diǎn)的值，而不象中心差分那樣取兩邊節(jié) 點(diǎn)的平均值。

6、點(diǎn)的平均值。 對(duì)流迎風(fēng)差分格式對(duì)流迎風(fēng)差分格式 ()|,0|,0| eeePeEe uFFF 取最大值取最大值 E eP e F F W ()|,0|,0| wwwwPw uFFF 二階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散項(xiàng)仍采用中心差分，二階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散項(xiàng)仍采用中心差分， 整理后得整理后得 WWpPEE aaa 但但 W W |,0|,|,0| (C) () Eeeww PEew aDFaDF aaaFF 當(dāng)當(dāng)u0u0 當(dāng)當(dāng)u0u0 C 一、指數(shù)格式一、指數(shù)格式 d - d J =u x 記總通量記總通量 對(duì)流和擴(kuò)散，對(duì)流和擴(kuò)散， 則則 dddd ()()()0 dddd uJ xxxx 控制容積積分控制容積積分 0

7、ew JJ 把精度解代入把精度解代入 J J 中中 00 0 exp1exp exp1exp( ) 1 LeLee ee PxPPx Ju PLPLL 00 00 exp()1exp()1 LL ee uF PP 5-2 5-2 指數(shù)格式、混合格式與乘方格式指數(shù)格式、混合格式與乘方格式 / e PuL exp() 1exp() 1 WPPE ePwW ew FF PP 故故 exp()exp()1 exp() 1exp() 1exp() 1exp() 1 eeww PewEW ewew PFFP FF PPPP WWPPEE aaa 而而 W exp() , exp() 1exp() 1 ew

8、w E ew FFP aa PP W () PEew aaaFF (D) E e e a P D 1 1 2 E e e a P D E e a D 指數(shù)指數(shù) 0 E e a D EW aa和區(qū)別就在函數(shù)區(qū)別就在函數(shù) exp() 1 eE ee Pa DP exp() exp() 1 Www ww aPP DP 二混合格式二混合格式 雖然指數(shù)格式是精確解雖然指數(shù)格式是精確解, ,但計(jì)算過繁但計(jì)算過繁, ,通過對(duì)通過對(duì) 隨隨 變化及其三條切線變化及其三條切線 E e a D e P ;0 E e e a P D ; E ee e a PP D 1 22;1 2 E ee e a PP D 斯波爾

9、丁提出斯波爾丁提出 1 |,1,0 | 2 1 |,1,0 | 2 () PPEEWW Eeee Wwww PEWew aaa aDPP aDPP aaaFF (e) 討論討論 (1)(1)在在 之間，之間， ，就是中心差分格式。，就是中心差分格式。 22 e P 1 2 Eee aDF (2)(2)在在 的區(qū)域里的區(qū)域里 即擴(kuò)散項(xiàng)取零的逆風(fēng)格式。即擴(kuò)散項(xiàng)取零的逆風(fēng)格式。 22 ee PP 和0, EeE aFa 或 由于其綜合了中心和迎風(fēng)兩種格式的優(yōu)點(diǎn)，故稱混合格由于其綜合了中心和迎風(fēng)兩種格式的優(yōu)點(diǎn)，故稱混合格 式。但最好還是看成精確解的三條直線的近似，包絡(luò)線。式。但最好還是看成精確解的三條

10、直線的近似，包絡(luò)線。 三、乘方格式三、乘方格式 由于混合格式在由于混合格式在 附近，偏離真值較遠(yuǎn)，帕坦卡附近，偏離真值較遠(yuǎn)，帕坦卡 提出乘方格式。提出乘方格式。 2 e P 10 e P 5 5 (1 0.1) (1 0.1) 0 E e E E ee E E e E E E a P D a PP D a P D a D 100 e P 010 e P 10 e P 5 |0,(1 0.1|) | |0,| E ee e a PP D 討論討論 該格式計(jì)算量比指數(shù)小，且與指數(shù)格式的解差別很小。該格式計(jì)算量比指數(shù)小，且與指數(shù)格式的解差別很小。 (f) 系數(shù)系數(shù)A A和和B B的性質(zhì)的討論的性質(zhì)的

11、討論 (1)(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，擴(kuò)散量時(shí)，擴(kuò)散量=0=0， 完全由對(duì)流造成，即完全由對(duì)流造成，即 5-3 5-3 通用表達(dá)式通用表達(dá)式 為了在討論中引入為了在討論中引入 E P 記記 界面界面i+ i+ 上的值可以用界面兩側(cè)節(jié)點(diǎn)值表示上的值可以用界面兩側(cè)節(jié)點(diǎn)值表示 * 1ii JBA （y y） 1ii * J * 11iiii JPPBA 1 2 得得B-A= 此為和差特性。此為和差特性。 P *J x ii+1 i+1/2 x （2 2）對(duì)稱特性）對(duì)稱特性 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo)I I：D D在界面前。在界面前。 * ()() CD JB PA P 坐標(biāo)坐標(biāo)II相對(duì)相對(duì)I反向，流向不變，而反向，流向不變

12、，而 此時(shí)此時(shí)D D在界面后。（界面的前后相在界面后。（界面的前后相 對(duì)坐標(biāo)方向而言）對(duì)坐標(biāo)方向而言） * ()() DC JBPAP 由于坐標(biāo)描述的是同一量，故由于坐標(biāo)描述的是同一量，故 * JJ ()()()() CDCD B PA PAPBP ()()()() CD B PAPA PBP *J *J I C C D D II 是是 的函數(shù)，而的函數(shù)，而 是與之對(duì)稱的。是與之對(duì)稱的。 上述若對(duì)任何成立，必得上述若對(duì)任何成立，必得 ()() ()() B PAP A PBP 即即 ()A PP 與B(的值以的值以 =0 =0 的軸對(duì)稱的。的軸對(duì)稱的。 P 根據(jù)對(duì)稱特性可以說明為什么前面討論格

13、式特性根據(jù)對(duì)稱特性可以說明為什么前面討論格式特性 只研究函數(shù)只研究函數(shù) E a 因?yàn)橐驗(yàn)?E e a D e P W w a D A A B B P P A A，B B系數(shù)性質(zhì)的含義系數(shù)性質(zhì)的含義 根據(jù)對(duì)稱及和差特性，我們僅根據(jù)對(duì)稱及和差特性，我們僅 須知道紅線的值，即在須知道紅線的值，即在 (,0,)PA P 則所有則所有 ()A P 和和 ()B P 均確定了。均確定了。 在在 0:()()()(|) |PA PB PPAPPA PP 通用格式通用格式 ()(|)|,0|A PA PP 對(duì)對(duì)B B ()(|)|,0|B PA PP 各種格式的通用表達(dá)式各種格式的通用表達(dá)式 * ()() e

14、ePeE JB PA P * ()() wwWwP JB PA P w x e x W w e E * w J * e J A B 1 P 而而 * , () u FJ PJ DD x 根據(jù)通量守恒根據(jù)通量守恒 * 0 eweeww JJD JD J EW ()()() Peewweeww DBD A PD A PD B P () (|)|,0| Eeeeee aD A PD A PP W () (|)|,0| wwwww aD B PDA PP ()() Peeww aD B PD A P (|)|,0| ()|1,0| eeewww D A PPDA PP () EWew aaFF 即即

15、PPEEWW aaa 顯然不論那種格式，僅僅是顯然不論那種格式，僅僅是 (|)A P 表達(dá)式的區(qū)別。表達(dá)式的區(qū)別。 5 |) 1 0.5| 1 |0,1 0.5| | exp(|) 1 |0,(1 0.1|) | P P PP P A(|P 中心中心 迎風(fēng)迎風(fēng) 混合混合 指數(shù)指數(shù) 乘方乘方 A( ) P 1.0 迎風(fēng)迎風(fēng) 指數(shù)指數(shù) 乘方乘方 中心中心 混合混合P 5-4 5-4 關(guān)于假擴(kuò)散的討論關(guān)于假擴(kuò)散的討論 原始的假擴(kuò)散概念原始的假擴(kuò)散概念 一維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流方程一維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流方程（純對(duì)流（純對(duì)流, ,沒有擴(kuò)散）沒有擴(kuò)散） u tx 顯示迎風(fēng)差分格式顯示迎風(fēng)差分格式 1 1 ,(,) nnnn

16、 iiii uoxt tx 將上式在將上式在（i，n）點(diǎn)做點(diǎn)做Taylar級(jí)數(shù)展開，保留二階。級(jí)數(shù)展開，保留二階。 2 22 2 (1)(,) 2 u xu t uoxt txxx 變成了對(duì)流變成了對(duì)流- -擴(kuò)散問題，新增項(xiàng)叫做假擴(kuò)散。擴(kuò)散問題，新增項(xiàng)叫做假擴(kuò)散。 u tx （1 1） 非穩(wěn)態(tài)或?qū)α黜?xiàng)采用一階階差的格式。非穩(wěn)態(tài)或?qū)α黜?xiàng)采用一階階差的格式。 （2 2） 流向與網(wǎng)格線斜交叉。流向與網(wǎng)格線斜交叉。 （3 3） 差分格式?jīng)]有考慮非常數(shù)源項(xiàng)的影響。差分格式?jīng)]有考慮非常數(shù)源項(xiàng)的影響。 數(shù)學(xué)原因：數(shù)學(xué)原因：一階導(dǎo)數(shù)的差分格式的截?cái)嗾`差（第一一階導(dǎo)數(shù)的差分格式的截?cái)嗾`差（第一 項(xiàng)就是二階導(dǎo)數(shù)）

17、造成的。項(xiàng)就是二階導(dǎo)數(shù)）造成的。 廣義假擴(kuò)散：廣義假擴(kuò)散：引起較大的數(shù)值計(jì)算誤差。引起較大的數(shù)值計(jì)算誤差。 物理后果：物理后果：由于擴(kuò)散作用使場均化。由于擴(kuò)散作用使場均化。 5-5 5-5 高階迎風(fēng)格式與高階迎風(fēng)格式與QUICKQUICK格式格式 一、二階迎風(fēng)格式一、二階迎風(fēng)格式 即一階導(dǎo)數(shù)采用具有二階截差的偏差分格式。即一階導(dǎo)數(shù)采用具有二階截差的偏差分格式。 即在一般迎風(fēng)差分加上曲率修正。即在一般迎風(fēng)差分加上曲率修正。 (u0) 三、三、 QUICK格式格式 界面上函數(shù)采用二次插值界面上函數(shù)采用二次插值 線性插值時(shí)線性插值時(shí) 1 () 2 ePE 二、三階迎風(fēng)格式二、三階迎風(fēng)格式 （1 1）

18、該對(duì)流項(xiàng)有三階精度。）該對(duì)流項(xiàng)有三階精度。 但曲線上凹時(shí)，這個(gè)但曲線上凹時(shí)，這個(gè) e 比真值偏大，需加曲率修正。比真值偏大，需加曲率修正。 W 2,0 11 (), 2,028 EP ePEurvurv PEEE u CC u 近風(fēng)是指近風(fēng)是指 uvU C是由界面兩側(cè)點(diǎn)和上游的另一側(cè)點(diǎn)組成。是由界面兩側(cè)點(diǎn)和上游的另一側(cè)點(diǎn)組成。 （2 2）該格式具有守恒性。（即從任一界面的兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)）該格式具有守恒性。（即從任一界面的兩側(cè)的節(jié)點(diǎn) 來寫該界來寫該界面上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式都是相同的）面上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式都是相同的） 亦即亦即 1 ( )() ieiw 1 ()() ii ew xx 注意注意 由于這時(shí)的一維是五點(diǎn)格式，二維為九點(diǎn)，帶來由于這時(shí)的一維是五點(diǎn)格式，二維為九點(diǎn)，帶來 兩個(gè)問題。兩個(gè)問題。 （1 1）第一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程）第一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程 當(dāng)當(dāng)u0u0時(shí)，節(jié)點(diǎn)的方程需要重新處理。時(shí)，節(jié)點(diǎn)的方程需要重新處理。 a a、設(shè)虛擬點(diǎn)設(shè)虛擬點(diǎn) ， 0 021 2 b b、采用一階近風(fēng)或混合格式。采用一階近風(fēng)或混合格式。 （2 2）離散方程如何求解。）離散方程如何求解。 延遲修正方法：延遲修正方法：把特定的界面值作為上次迭代的已知值歸把特定的界