直線與圓方程例題(總結(jié)版)[優(yōu)選試題]

1、【考試大綱要求】1理解直線的斜率的概念，掌握兩點(diǎn)的直線的斜率公式掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程 2掌握兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式；能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系 4了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法5掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.6掌握直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，能利用直線和圓的位置關(guān)系解決相關(guān)問題.直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問題，可與三角知識(shí)聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對(duì)參數(shù)的討論中確定圓的方程【基礎(chǔ)知識(shí)歸納】1

2、直線方程（1）直線的傾斜角 直線傾斜角的取值范圍是：.（2）直線的斜率.傾斜角是90的直線沒有斜率；傾斜角不是90的直線都有斜率，斜率的取值范圍是（，+）.(3)直線的方向向量設(shè)F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直線上不同的兩點(diǎn)，則向量=（x2x1，y2y1）稱為直線的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率.特別地，垂直于軸的直線的一個(gè)方向向量為(0,1) .說(shuō)明：直線的傾斜角、斜率、方向向量都是刻劃、描述直線的傾斜程度的每一條直線都有傾斜角和方向向量，但不是每一條直線都有斜率，要注意三者之間的內(nèi)在聯(lián)系（4）直線方程的五種形式點(diǎn)斜式：，(斜率存在) 斜截式

3、： (斜率存在)兩點(diǎn)式：，(不垂直坐標(biāo)軸) 截距式： (不垂直坐標(biāo)軸,不過(guò)原點(diǎn))一般式：.引申：過(guò)直線, 交點(diǎn)的直線系方程為：（R）(除l2外)2兩條直線的位置關(guān)系（1）直線與直線的位置關(guān)系存在斜率的兩直線；.有： 且； ；與相交 0與重合 且.一般式的直線,.有；且; ;與相交;與重合；且 （2）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系若點(diǎn)在直線上，則有；若點(diǎn)不在直上，則有，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為平行直線與之間的距離為 （3）兩條直線的交點(diǎn)直線,的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是方程 的解相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行方程組無(wú)解.重合方程組有無(wú)數(shù)解.3曲線與方程4. 圓的方程(1)圓的定義 (2)圓的方程標(biāo)準(zhǔn)式：，

4、其中為圓的半徑，為圓心一般式：（）.其中圓心為，半徑為參數(shù)方程:，是參數(shù)）. 消去可得普通方程5. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系代入方程看符號(hào).6.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有：相離、相切和相交.有兩種判斷方法： （1）代數(shù)法：（判別式法）時(shí)分別相離、相交、相切. （2）幾何法：圓心到直線的距離 時(shí)相離、相交、相切. 7弦長(zhǎng)求法（1）幾何法：弦心距d，圓半徑r，弦長(zhǎng)l，則 （2）解析法：用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式.8圓與圓的位置關(guān)系題型1：直線的傾斜角1（07上海）直線的傾斜角 答案：解析：直線可化為， 題型2 ：直線的斜率2（08安徽卷）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率

5、的取值范圍為 （ ） A BC D答案：C解析：記圓心為,記上、下兩切點(diǎn)分別記為，則，的斜率即.題型3 直線的方程3（07浙江）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是 （ ）答案：D解析：(利用相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為(2-x, y)在直線上,即，化簡(jiǎn)得答案D.題型4：直線與直線的位置關(guān)系4（06福建）已知兩條直線和互相垂直，則等于 ( )A2 B1 C0 D答案 D解析：兩條直線和互相垂直，則， a=1，選D.題型5：點(diǎn)與直線的位置關(guān)系5（06湖南）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是 ( )A36 B. 18 C. D. 答案C解析：圓的圓心為(2，2)，半徑為3

6、，圓心到直線的距離為3，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.題型6：圓的方程6. (06重慶)以點(diǎn)（2，1）為圓心且與直線相切的圓的方程為 （ ）A BC D答案 C解析 3，故選C.10.。（08福建)若直線3x+4y+m=0與圓 （為參數(shù)）沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .解析：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心，半徑. 直線與圓相離， .題型7：直線與圓的位置關(guān)系7.（09遼寧）已知圓C與直線xy0 及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為 （ ）A.B.C. D. 答案B解析：圓心在xy0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即

7、可.題型8：圓與圓的位置關(guān)系12（07山東）與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案 【解析】曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)方程為.【重點(diǎn)方法提煉】在解答有關(guān)直線的問題時(shí)，應(yīng)特別注意的幾個(gè)方面：（1）在確定直線的斜率、傾斜角時(shí)，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾角的范圍（2）在利用直線的截距式解題時(shí)，要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況.如題目條件中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的m倍（m0）”等時(shí)，采用截距式就會(huì)出現(xiàn)“零截距”，從而丟解.此時(shí)最好采用點(diǎn)斜式

8、或斜截式求解（3）在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時(shí)，要注意防止由于“無(wú)斜率”，從而造成丟解.如在求過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)或討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，或討論兩直線的平行、垂直的位置關(guān)系時(shí)，一般要分直線有無(wú)斜率兩種情況進(jìn)行討論（4）有關(guān)圓的問題解答時(shí)，應(yīng)注意利用圓的平面幾何性質(zhì)，如圓與直線相切、相交的性質(zhì)，圓與圓相切的性質(zhì)，這樣可以使問題簡(jiǎn)化 （5）對(duì)獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法坐標(biāo)法要引起足夠重視要注意學(xué)習(xí)如何借助于坐標(biāo)系，用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題，體會(huì)這種數(shù)形結(jié)合的思想 （6）首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義

9、，最終解決幾何問題這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終典型例題1.（2004年湖北，文2）已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx7與線段M1M2的交點(diǎn)M分有向線段M1M2的比為32，則m的值為A. B. C. D.4解析：設(shè)M（x，y），點(diǎn)M分M1M2所成比為=. 得x=3，y=5. 代入y=mx7，得m=4.答案：D2.（2003年遼寧）在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y=ax與y=x+a正確的是解：根據(jù)a的符號(hào)和表示直線的位置特征，顯見C正確，因?yàn)楫?dāng)a0時(shí)，直線ax+2y-z=0的斜率k=-a/2kAC= -1,a2;當(dāng)a0時(shí)，k=-a/2-4,綜合得a的取值范圍是（，2 ）9（2

10、008全國(guó)2，11）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（ ）A3B2CD10.（2010 福建，8）設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是，平面區(qū)域與關(guān)于直線3x-4y-9對(duì)稱。對(duì)于中的任意點(diǎn)A與中的任意點(diǎn)B，AB的最小值等于A. B. 4 C. D. 211（2010 浙江，7）若實(shí)數(shù)滿足不等式組且的最大值為9，則實(shí)數(shù)（A）-2（B）-1（C）1（D）212（2009 安徽 7）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是（A） （B） （C） （D） 13. (2009 寧夏海南6)設(shè)滿足則（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小

11、值2，無(wú)最大值（C）有最大值3，無(wú)最小值 （D）既無(wú)最小值，也無(wú)最大值【答案】B【解析】畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過(guò)A（2,0）時(shí)，z取得最小值，最小值為：z2，無(wú)最大值，故選.B22（2009，上海，22）已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條漸近線m:,設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l的方向向量。（1） 求雙曲線C的方程；（2） 若過(guò)原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求K的值；（3） 證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.【解析】（1）設(shè)雙曲線的方程為 ，解雙曲線的方程為（2）直線，直線 由題意，得，解得（3）【證

12、法一】設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線則直線與的距離當(dāng)時(shí)， 又雙曲線的漸近線為 雙曲線的右支在直線的右下方， 雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為【證法二】假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，則由（1）得設(shè)，當(dāng)時(shí)，；將代入（2）得， 方程不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為練習(xí)題一選擇題 1（09湖南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）過(guò)定點(diǎn)作直線分別交軸、軸正向于A、B兩點(diǎn)，若使ABC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，則的方程是 （ ） A. B. C. D.2（09湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）若P（2，1）為圓（x1）2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直

13、線AB的方程是 （ ） A.xy3=0 B.2x+y3=0C.x+y1=0 D.2xy5=0 3.（09陜西）過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓學(xué)所截得的弦長(zhǎng)為（ ）A. B.2 C. D.2 4.（09寧夏海南）已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為 ( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=15.（09重慶）直線與圓的位置關(guān)系為 （ ）A相切 B相交但直線不過(guò)圓心 C直線過(guò)圓心 D相離6.（09重慶）圓心在軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)（1，2）的圓的方程為 （ ）A B C D7（08湖北）過(guò)點(diǎn)作圓的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有 （）A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條8（

14、08北京）過(guò)直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于對(duì)稱時(shí)，它們之間的夾角為 （ ）A B C D二填空題9（07上海）已知與，若兩直線平行，則的值為_.10.（08天津）已知圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱直線與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_ 11.（09四川）若與相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是 w.12.（09全國(guó)）若直線被兩平行線所截得的線段的長(zhǎng)為，則的傾斜角可以是: 其中正確答案的序號(hào)是 .（寫出所有正確答案的序號(hào)）13.（09天津）若圓與圓（a0）的公共弦的長(zhǎng)為，則a=_ .14（09遼寧）已知圓C與直線xy0 及xy40都相切，圓心在直線xy0上，

15、則圓C的方程為_.三解答題15 （09廣西重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)A（2，4），它被平行線xy +1=0與x-y-l=0所截得的線段的中點(diǎn)在直線x+2y-3=0上，求直線的方程.16（08北京）已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對(duì)角線所在直線的斜率為1（）當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值17（08江蘇）設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C求：（）求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問圓C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論參考答案一選擇題1【答案】D【解析】由題設(shè)，可知，且， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，. 的方程為：

16、 應(yīng)選D. 2【答案】A【解析】由（x1）2+y2=25知圓心為Q（1，0）.據(jù)kQPkAB=1，kAB=1（其中kQP=1）.AB的方程為y=（x2）1=x3，即xy3=0. 應(yīng)選A.3. 【答案】D【解析】直線方程,圓的方程為：圓心到直線的距離，由垂徑定理知所求弦長(zhǎng)為 ，選D.4.【答案】B【解析】設(shè)圓的圓心為（a，b），則依題意，有，解得，對(duì)稱圓的半徑不變，為1.5.【答案】B【解析】圓心為到直線，即的距離，而，選B.6.【答案】A【解法】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知，解得，故圓的方程為.7【答案】C【解析】由已知得圓心為P(-1，2)，半徑為13，顯然過(guò)A點(diǎn)的弦長(zhǎng)中最長(zhǎng)的是直徑，此時(shí)只有一

17、條，其長(zhǎng)度為26，過(guò)A點(diǎn)的弦長(zhǎng)中最短的是過(guò)A點(diǎn)且垂直于線段PA的弦，也只有一條，其長(zhǎng)度為10（PA的長(zhǎng)為12，弦長(zhǎng)=2=10），而其它的弦可以看成是繞A點(diǎn)不間斷旋轉(zhuǎn)而成的，并且除了最長(zhǎng)與最短的外，均有兩條件弦關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直徑對(duì)稱，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32故選C8【答案】C【解析】此圓的圓心為C（5，1），半徑.設(shè)直線上的點(diǎn)P符合要求，連結(jié)PC，則由題意知，又.設(shè)與切于點(diǎn)A，連結(jié)AC，則.在中，l1與l2的夾角為60. 故選C.二填空題9【答案】 【解析】 .10.【答案】.【解析】圓C的圓心與P（2,1）關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱的圓心為(0,-1),設(shè)該圓的方程為設(shè)AB中點(diǎn)

18、為M，連結(jié)CM、CA，在三角形CMA中故圓的方程為11.【答案】4【解析】由題知，且，又，所以有.12.【答案】或【解析】?jī)善叫芯€間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或.13.【答案】1【解析】由知的半徑為,解之得.14【答案】【解析】圓心在xy0上,結(jié)合圖象,或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可.三解答題15【答案】3x-y-2=0【解析】由幾何的基本的性質(zhì)，被兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)一定在y=x上，將x+2y-3=0與y=x聯(lián)立構(gòu)成方程組解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）點(diǎn)，又由直線 過(guò)點(diǎn)A（2，4）由兩點(diǎn)式得直線 的方程為：3x-y-2=0.16【解析】（）由題意得直線的方程為因?yàn)樗倪呅螢榱庑危杂谑强稍O(shè)直線的方程為由得因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上， 所以