廣東省平遠(yuǎn)縣高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教案 新人教A版選修1-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：（1）通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論,理解并掌握橢圓的幾何性質(zhì);(2）能夠根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率并能根據(jù)其性質(zhì)畫(huà)圖;（3）培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，并為學(xué)習(xí)其它圓錐曲線作方法上的準(zhǔn)備。教學(xué)重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)。 通過(guò)幾何性質(zhì)求橢圓方程并畫(huà)圖教學(xué)難點(diǎn):橢圓離心率的概念的理解.教學(xué)方法：講授法課型:新授課 教學(xué)工具：多媒體設(shè)備一、復(fù)習(xí):1.橢圓的定義，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦距。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.二、講授新課：（一）通過(guò)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,在掌握新知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)能力。 在解析幾何里，是利用曲線

2、的方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)的，我們現(xiàn)在利用焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)研究其幾何性質(zhì).已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:1。范圍我們要研究橢圓在直角坐標(biāo)系中的范圍，就是研究橢圓在哪個(gè)區(qū)域里，只要討論方程中x,y的范圍就知道了。問(wèn)題1 方程中x、y的取值范圍是什么? 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y)都適合不等式1， 1即 x2a2， y2b2所以 xa， y|b即 axa， byb這說(shuō)明橢圓位于直線xa， yb所圍成的矩形里。2.對(duì)稱(chēng)性 復(fù)習(xí)關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系: 點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）； 點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y)；點(diǎn)（

3、x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y）;問(wèn)題2 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中以y代y以x代x同時(shí)以x代x、以y代y，你有什么發(fā)現(xiàn)?（1） 在曲線的方程里，如果以y代y方程不變,那么當(dāng)點(diǎn)p(x，y）在曲線上時(shí),它關(guān)于x的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p(x，y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。（2） 如果以x代x方程方程不變，那么說(shuō)明曲線的對(duì)稱(chēng)性怎樣呢？曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).（3） 如果同時(shí)以x代x、以y代y，方程不變，這時(shí)曲線又關(guān)于什么對(duì)稱(chēng)呢?曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。歸納提問(wèn)：從上面三種情況看出,橢圓具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性？橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的。這時(shí)，橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是什么？坐標(biāo)軸橢圓的對(duì)稱(chēng)中心是什么？原點(diǎn)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做

4、橢圓的中心.3。頂點(diǎn) 研究曲線的上的某些特殊點(diǎn)的位置，可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標(biāo)系中的位置,常常需要求出曲線與x軸,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).問(wèn)題3 怎樣求曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)?在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，令x=0，得y=b。這說(shuō)明了b1(0，b），b2（0，b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。令y=0,得x=a。這說(shuō)明了a1(a，0),a2（a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。因?yàn)閤軸，y軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，所以橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).線段a1a2，b1b2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。它們的長(zhǎng)a1a2|=2a，|b1b2=2b （a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng))觀察圖形,由橢

5、圓的對(duì)稱(chēng)性可知，橢圓短軸的端點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相等,且等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng),即b1f1|=|b1f2=b2f1|=b2f2|= a在rtob2f2中，由勾股定理有 of2|2=b2f22|ob2|2 ,即c2a2b2這就是在前面一節(jié)里,我們令a2c2b2的幾何意義.4.離心率定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e，叫做橢圓的離心率. 因?yàn)閍c0,所以0e1。問(wèn)題4 觀察圖形,說(shuō)明當(dāng)離心率e變化時(shí),橢圓形狀是怎樣隨之變化的？ 調(diào)用幾何畫(huà)板,演示離心率變化(分越接近1和越接近0兩種情況討論)對(duì)橢圓形狀的影響得出結(jié)論：(1）e越接近1時(shí)，則c越接近a,從而b越小，因此橢圓越扁;(2）e越接近0時(shí),則c越接近0，從而

6、b越接近于a,這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，c0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合于橢圓的中心，圖形變成圓。當(dāng)e1時(shí)，圖形變成了一條線段。為什么？留給學(xué)生課后思考5。例題 例1求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖形。根據(jù)剛剛學(xué)過(guò)的橢圓的幾何性質(zhì)知，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b，該方程中的a？b？c?因?yàn)轭}目給出的橢圓方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，所以必須先把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再討論它的幾何性質(zhì)解：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程, 這里a5，b4,所以c3因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)分別是2a10,2b8離心率e兩個(gè)焦點(diǎn)分別是f1(3，0）,f2（3,0）,四個(gè)頂點(diǎn)分別

7、是a1（5，0） a1（5，0) a1（0,4） f1(0,4).提問(wèn)：怎樣用描點(diǎn)法畫(huà)出橢圓的圖形呢？我們可以根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性,先畫(huà)出第一象限內(nèi)的圖形. 將已知方程變形為 ，根據(jù)在0x5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y)x012345y43.93.73。22。40先描點(diǎn)畫(huà)出橢圓的一部分,再利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出整個(gè)橢圓（如圖）說(shuō)明:本題在畫(huà)圖時(shí)，利用了橢圓的對(duì)稱(chēng)性。利用圖形的幾何性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化畫(huà)圖過(guò)程，保證圖形的準(zhǔn)確性。根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),用下面的方法可以快捷地畫(huà)出反映橢圓基本形狀和大小的草圖：(1) 以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為鄰邊畫(huà)矩形；(2) 由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)；(3) 用平滑的曲

8、線將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓.畫(huà)圖時(shí)要注意它們的對(duì)稱(chēng)性及頂點(diǎn)附近的平滑性（四）練習(xí) 填空：已知橢圓的方程是9x2+25y2=225,(1) 將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程是_。(2) a=_，b=_，c=_。(3) 橢圓位于直線_和_所圍成的_區(qū)域里.橢圓的長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別是_和_，離心率e_，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是_、_,四個(gè)頂點(diǎn)分別是_、_、_、_.例2、求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0)、（0，2)；(2）長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于20，離心率等于0。6例3 點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),求點(diǎn)的軌跡。 （教師分析-示范書(shū)寫(xiě)）例4、如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)

9、一周形成的曲面） 的一部分.過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的截口abc是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)f1上，片門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)f2上，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)f1發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)f2.已知acf1f2，|f1a=2.8cm，|f1f2|=4.5cm,求截口abc所在橢圓的方程。三、課堂練習(xí)：比較下列每組橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁?與 與（學(xué)生口答，并說(shuō)明原因）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.經(jīng)過(guò)點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)焦距是，離心率等于（學(xué)生演板，教師點(diǎn)評(píng)）焦點(diǎn)在x軸、y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比。 四、小結(jié)（1）理解橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，給出方程會(huì)求橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)和離心率;（2）了解離心率變化對(duì)橢圓形狀的影響；(3）通過(guò)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)并畫(huà)圖是解析幾何的基本方法。五、布置作業(yè) 課本習(xí)題2.1 的6、7、8題課后思考：1、橢圓上