《微積分_B_Ⅰ》期末考試試卷B答案

1、北 京 交 通 大 學2007-2008學年第一學期微積分（B）期末考試試卷（B卷）答案 1（本題滿分8分） 設函數(shù)在點處可導，求極限 解： 2（本題滿分8分） 求積分 解： 令，則，所以有 3（本題滿分8分） 設函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求 解： 4（本題滿分8分） 計算曲線上對應于的一段弧的長度 解： 所以，因此，所求弧長為 5（本題滿分8分） 設，求 解： 等式兩端從到積分，記，得 而 ， 所以，有，即 ，所以，有 6（本題滿分8分） 設曲線在點處的切線與軸的交點為，求極限 解： 切線斜率為，所以切線方程為 令，得的切線與軸的交點的橫坐標為， 于是 7（本題滿分8分） 設，求 解： 8（本題

2、滿分8分） 設，求積分 解： 9（本題滿分9分） 設當時，的導數(shù)與是等價無窮小，求 解： 所以， 由題意，得 所以， 10（本題滿分9分） 設是常數(shù)，討論方程根的個數(shù)，并指出每個根所在的范圍 解： 將方程改寫為，引入函數(shù)由于，從而有于是可得 當時，原方程無根； 當時，原方程有唯一根，； 當時，原方程有個根，； 當時，原方程有個根，； 當時，原方程有唯一根， 11（本題滿分9分） 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且如果函數(shù)在區(qū)間上的最大值，證明：存在，使得 證明： 令，則函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，而且由題設，知， 由連續(xù)函數(shù)的最大值定理，以及題設，知存在，使得，所以 ，所以由連續(xù)

3、函數(shù)的零點定理，知存在，使得 再由，由Rolle中值定理，知存在，使得而，所以存在，使得 12（本題滿分9分） 設拋物線與它的兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為，其中一條切線于拋物線相切于點， 求的表達式 為何值時，面積取最小值 解： 拋物線在點處的切線的方程為 ， 即 再設拋物線在點處的切線的方程為 ， 即 由于與相互垂直，故有，即 所以切線的方程為 設切線與的交點為，則有，于是直線與，以及拋物線所圍圖形的面積為 以下求函數(shù)在區(qū)間上的最小值點 ，令，得函數(shù)在區(qū)間上的駐點當時，；當時，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值點即當時，面積函數(shù)取最小值 附加題一（本題滿分10分） 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)二階可導，則存在，使得 證明： 設，則與在區(qū)間上滿足Cauchy中值定理的條件，且 ，因此由Cauchy中值定理，知存在，使得 再在區(qū)間上對函數(shù)應用Lagrange中值定理，知存在，使得 所以，有