結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)例題復(fù)習(xí)題

1、第十六章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)【例16-1】不計(jì)桿件分布質(zhì)量和軸向變形 ，確定圖16-6 所示剛架的動(dòng)力自由度 。 圖16-6 【解】各剛架的自由度確定如圖中所示。這里要注意以下兩點(diǎn)：1 在確定剛架的自由度時(shí)，引用受彎直桿上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變的假定。根據(jù)這個(gè)假定并加入最少數(shù)量的鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)量的位置，則剛架的自由度數(shù)目即等于所加鏈桿數(shù)目。2 集中質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)數(shù)并不一定等于體系的自由度數(shù)，而根據(jù)自由度的定義及問(wèn)題的具體情形確定?！纠?6-2】 試用柔度法建立圖16-7a所示單自由度體系，受均布動(dòng)荷載作用的運(yùn)動(dòng)方程。 【解】本題特點(diǎn)是，動(dòng)荷載不是作用在質(zhì)量上的集中荷載。對(duì)于非質(zhì)量處的集中動(dòng)荷載

2、的情況，在建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，一般采用柔度法較為方便。 設(shè)圖a質(zhì)量任一時(shí)刻沿自由度方向的位移為y（向下為正）。把慣性力、阻尼力及動(dòng)荷載，均看作是一個(gè)靜荷載，則在其作用下體系在質(zhì)量處的位移y，由疊加原理（見(jiàn)圖b、c、d及e），則 式中，。將它們代入上式，并注意到，得 圖16-7經(jīng)整理后可得 式中，稱為等效動(dòng)荷載或等效干擾力。其含義為：直接作用于質(zhì)量上所產(chǎn)生的位移和實(shí)際動(dòng)荷載引起的位移相等。圖a的相當(dāng)體系如圖f所示。 【例16-3】 圖16-8a為剛性外伸梁，C處為彈性支座,其剛度系數(shù)為，梁端點(diǎn)A、D處分別有和質(zhì)量，端點(diǎn)D處裝有阻尼器c，同時(shí)梁BD段受有均布動(dòng)荷載作用，試建立剛性梁的運(yùn)動(dòng)方程?！窘狻?

3、因?yàn)榱菏莿傂缘?，這個(gè)體系僅有一個(gè)自由度，故它的動(dòng)力響應(yīng)可由一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)表達(dá)，方程可以用直接平衡法來(lái)建立。這個(gè)單自由度體系可能產(chǎn)生的位移形式如圖b所示，可以用鉸B的運(yùn)動(dòng)作為基本量，而其它一切位移均可利用它來(lái)表示。 圖16-8以順時(shí)針向?yàn)檎?。則A點(diǎn)有位移和加速度；D點(diǎn)有位移和加速度及速度；C點(diǎn)約束反力為。由，有將慣性力、阻尼力及約束反力代入上式，得經(jīng)整理，運(yùn)動(dòng)方程為 小結(jié)： 例16-2及例16-3討論的是單自由度的一般情況下的運(yùn)動(dòng)方程的建立。建立方程的思路是通過(guò)分析動(dòng)力平衡或考慮變形協(xié)調(diào)。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于單自由度體系,求和的難易程度是相同的，因?yàn)樗鼈兓榈箶?shù)，都可用同一方法求得。對(duì)于多自由度體系，

4、若是靜定結(jié)構(gòu)，一般情況下求柔度系數(shù)容易些，但對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)就要根據(jù)情況而定。 剛度法和柔度法。它們都是根據(jù)達(dá)朗貝爾原理和所采用的阻尼理論在體系上加慣性力和阻尼力。剛度法是考慮質(zhì)量自由度方向的平衡；柔度法是建立沿自由度方向位移的協(xié)調(diào)條件。 所謂結(jié)構(gòu)振動(dòng)自由度是指：確定體系全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立位移分量的個(gè)數(shù)。在例16-3中我們選取為獨(dú)立位移分量，由此得兩質(zhì)點(diǎn)處的位移、加速度及慣性力的表達(dá)式。 體系的振動(dòng)自由度數(shù)目既和體系的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目有關(guān)，又不完全取決于質(zhì)點(diǎn)數(shù)目，自由度還和體系的可能位移狀態(tài)有關(guān)（如例題16-3），因此要根據(jù)具體問(wèn)題，按自由度定義分析確定。另一方面，自由度是確定質(zhì)點(diǎn)空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)（

5、位移分量）個(gè)數(shù)，它和結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)或獨(dú)立位移個(gè)數(shù)沒(méi)有關(guān)系。 任何單自由度的振動(dòng)問(wèn)題，本質(zhì)上都可抽象為質(zhì)點(diǎn)、彈簧、阻尼器體系。從實(shí)際結(jié)構(gòu)到抽象模型的關(guān)鍵是求和（或）。 【例16-4】試 寫 出 圖 16-9a 質(zhì) 點(diǎn) m 的 運(yùn) 動(dòng) 微 分 方 程 ， 并 計(jì) 算 各 系 數(shù) 。 圖16-9【解】(1) 列位移方程, (2) 計(jì)算系數(shù)項(xiàng)(圖b) ， (3) 計(jì)算自由項(xiàng)(圖c,d ) 同理， (4) 將 系 數(shù) 代 入 位 移 方 程 ， 或 【例16-5】 試 按剛度法列 出 圖 16-10a所示 剛 架 在 給 定 荷 載 作 用 下 的 動(dòng) 力 平 衡 方 程 。 圖16-10【解】( 1

6、) 考 慮 質(zhì) 點(diǎn) m 平 衡 (圖b) 有 , (2) 確 定 彈 性 力 恢 復(fù) 力 S , 彈 性 力 恢 復(fù) 力S 可 以 認(rèn) 為 由 兩 部 分 疊 加 而 成 。 第 一 部分 為 使 m 產(chǎn) 生 位 移 施 加 的 力； 第 二 部 分 為 m 不 動(dòng) 在 荷 載 作 用 下 產(chǎn) 生 的 反 力 , 即 , , ( 3 ) 代 回 動(dòng) 力 平 衡 方 程 得 ， 【例16-6】 圖 16-11a所示梁不計(jì)自重 ，求 自 振 頻 率 。 圖16-11【解】由圖（圖b），求得柔 度 為： 。所以， 【例16-7】 圖 16-12a所示 單 跨 梁 不 計(jì)自重 ，桿 無(wú) 彎 曲 變 形

7、 ，彈 性 支 座 剛 度 為 k ，求 自 振 頻 率 。 圖16-12【解】在 W處 加 。 【例16- 8】 圖 16-13a所示梁不計(jì)自 重 ，求 自 振 圓頻 率 ?！窘狻坑捎趯?duì)稱跨中無(wú)轉(zhuǎn)角 ，求剛度。 ，則。 圖16- 13【例16-9】 試求圖16-14a所示結(jié)構(gòu)的自振頻率。略去桿件自重及阻尼影響。圖16-14【解】圖a為一次超靜定結(jié)構(gòu)，用力矩分配法作出單位彎矩圖（圖b）。計(jì)算質(zhì)點(diǎn)處的柔度系數(shù)（即位移計(jì)算），由圖b（或圖c）與圖d（虛擬狀態(tài)），得則，?！纠?6-10】作圖16-15a所示 結(jié)構(gòu)的動(dòng) 力 彎 矩 幅 值 圖 。已 知 質(zhì) 點(diǎn) 重 W = kN，擾 力 幅 值 P =

8、 kN，擾 力 頻 率 ，梁 的 抗 彎 剛 度 EI = 4490kNm。 圖16-15【解】由圖b列 幅 方 程 ，即，因?yàn)?，由圖c求柔度系數(shù)，即，由圖d求柔度系數(shù)，即,將動(dòng)荷載和慣性力加于結(jié)構(gòu)上，得動(dòng)力彎矩幅值圖如圖e所示?！纠?6-11】 圖16-16a所 示 體 系 中 ，電 機(jī) 重 置 于 剛 性 橫 梁 上 ，電 機(jī) 轉(zhuǎn) 速 ，水 平 方 向 強(qiáng) 迫 力 為 ，已 知 柱 頂 側(cè) 移 剛 度 ，自 振 頻 率 。求 穩(wěn) 態(tài) 振 動(dòng) 的 振 幅 及 最 大 動(dòng) 力 彎 矩 圖 。圖16-16【解】只有水平振動(dòng)。干擾力頻率 ，動(dòng)力系數(shù) 靜位移 振 幅 動(dòng) 力 彎 矩 圖 （圖c）

9、?！纠?6-12】 圖 16-17a所示 體 系 各 柱 EI = 常 數(shù) ，柱 高 均 為 ，。求 最 大 動(dòng) 力 彎 矩 。圖16-17 【解】由圖b可知，則自 振 頻 率。動(dòng)力系數(shù)，最 大 動(dòng) 力 彎 矩 （見(jiàn)圖c、d）。 【例16-13】 求 圖 16-18a所示 體 系 的 自 振 頻 率 和 主 振 型 ，并 作 出 振 型 圖 。已 知 ：，EI = 常 數(shù) 。 圖16-18【解】用柔度法作。1為求柔度系數(shù)，首先繪出單位彎矩圖(圖b和c)。由位移計(jì)算公式， 得,， 2求頻率將它們代入頻率方程，即展開(kāi)上式并令 得兩個(gè)根為 ，從而可得兩個(gè)自振頻率為 ， 3求主振型下面確定相應(yīng)的兩個(gè)主

10、振型。求第一振型時(shí)，將代入上式，由于系數(shù)行列式為零，所以兩個(gè)方程線性相關(guān)，只有一個(gè)是獨(dú)立的，可由其中任何一式求得與的比值，比如由第一式可得 同理可求得第二振型為 兩振型的規(guī)準(zhǔn)化矩陣表達(dá)式為 ， 如圖d、e所示?！纠?6-14】 求 圖16-19a所 示 體 系 的 頻 率 方 程 。圖16-19【解】本題為兩個(gè)動(dòng)力自由度（圖b）。另外注意的是，水平向的振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)是。于是由圖b列 幅 值 方 程 ：，由圖c、d求柔度系數(shù)，其結(jié)果如下。 【例16-15】 求 圖 16-20a所示 兩 個(gè) 自 由 度 體 系 的 自 振 頻 率 ， 。 圖16-20【解】用柔度法解。首先根據(jù)圖c、d計(jì)算柔度系數(shù)，其

11、位移計(jì)算公式為，這里 為彈支座處位移。，。將它們代入頻率方程，解得，?！纠?6-16】求 圖 16-21a所示 體 系 的 自 振 頻 率 、振 型 及 廣 義 質(zhì) 量 。圖16-21【解】由圖b幅 值 方 程 為 ：整理后得， 令上的系數(shù)行列為零，得頻率方程，由該方程的兩頻率如下 振 型 1：，振 型 2：，見(jiàn)圖c。廣 義 質(zhì) 量 為：，【例16-17】 求 圖16-22a 示 桁 架 的 自 振 頻 率 。各 桿 EA 為 常 數(shù)。圖16-22【解】 將 振 動(dòng) 分 為 豎 向 、水 平 分 量 ，求 ， ； ；【例16-18】 試求圖16-23a所示剛架的自振頻率和主振型。EI=常數(shù)。圖

12、16-23【解】圖a在不計(jì)軸向變形情況下，則與圖b的振動(dòng)是相同的。因此圖a可分成反對(duì)稱（圖c）和正對(duì)稱（圖d）的振動(dòng)。第一頻率由單自由度頻率計(jì)算公式 可知，則為反對(duì)稱情況。由單跨梁的位移計(jì)算公式，得柔度系數(shù)為則第一頻率為 同理第二頻率為 振型：第一振為反對(duì)稱振動(dòng)，如圖e所示；第二振為對(duì)稱振動(dòng)，如圖f所示；【例16-19 】 圖16-24所示梁的質(zhì)量重，振動(dòng)力最大值，干擾頻率，已知梁的，。試求兩質(zhì)點(diǎn)處的最大豎向位移。梁自重不計(jì)。 【解】用柔度法解。由圖b、c、d計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)如下：， ， ， 。代入，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)位移幅值方程 并乘以有解得 ，圖16-24 【例16-20】 圖16-25a所示剛架各橫梁剛度無(wú)窮大，試求各橫梁處的位移幅值和柱端彎矩幅值。已知，。；簡(jiǎn)諧荷載幅值，每分鐘振動(dòng)240次。圖16-25【解】用剛度法解。穩(wěn)態(tài)振動(dòng)位移幅值方程 有 ，。，。（單位t，即）代入穩(wěn)態(tài)振動(dòng)位移幅值方程，有解得 ，慣性力幅值為，即本題橫梁剛度為無(wú)窮大，每層只有兩根柱且截面及高度相等，故每根柱的彎矩為 為該層的總剪力，等于該層以上水平外力（包括慣性力）的代數(shù)和；h為該層柱高。于是各層柱端彎矩為頂層：中層：第層：。如圖b所示。對(duì)于橫梁的桿端彎矩可由剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡推求?！纠?6-21】 用振型分解法重作例