2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.6 距離的計算教學(xué)案 選修2-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精6 距離的計算 點到直線的距離如圖,設(shè)l是過點p平行于向量s的直線，a是直線l外一定點如圖,作aal,垂足為a.問題1：點a到直線l的距離與線段aa的長度有何關(guān)系？提示：相等問題2:若s0為s的單位向量，你能得出在s上的投影長嗎？提示：向量在s上的投影長為|cos,s|s0|.問題3：設(shè)點a到直線l的距離為d，你能根據(jù)問題2的答案寫出d的表達(dá)式嗎？提示：daa| .點到直線的距離設(shè)l是過點p平行于向量s的直線,a是直線l外一定點，向量在s上的投影的大小為|s0，則點a到直線l的距離d 。點到平面的距離如圖，設(shè)是過點p垂直于向量n的平面,a是平面外一定點作aa,垂足為a

2、.問題1：點a到平面的距離d與線段aa的長度有何關(guān)系？提示：相等問題2：n0是n的單位向量，則向量在向量n上的投影大小是什么？與aa|相等嗎？提示：|n0|，相等點到平面的距離設(shè)n為過點p的平面的一個法向量，a是該平面外一定點，向量在n上的投影的大小為|n0，則點a到該平面的距離dn0.1用向量法求點到直線的距離,在直線上選點時,可視情況靈活選擇，原則是便于計算,s0是s的單位向量, s0.2用向量法求點到平面的距離,關(guān)鍵是找到平面的法向量和平面的斜線段的方向向量 點到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中,有長方體abcdabcd，ab2，bc3，aa4，求點b到直線ac的距離思路點撥用點到

3、直線的距離公式計算點b到直線ac的距離d。精解詳析因為ab2，bc3,aa4,所以b（2，0，0），c（2，3，0），a（0，0，4）（0,0,4）（2,3,0)(2，3，4）（2，0，0）(2，3，0)（0，3，0)所以在上的投影:(0，3，0）（0,3，0)0(3）0；所以點b到直線ac的距離為d .一點通1用向量法求直線外一點a到直線l的距離的步驟（1）確定直線l的方向向量s及s0；(2）在l上找一點p，計算的長度；(3）計算s0的值；(4)由公式d 求解2用向量法求點到直線的距離的好處在于回避了用直接法求距離的難點（即過a1點作l的垂線，難在垂足的位置的確定）1已知正方體abcda1b

4、1c1d1的棱長為a，則點a1與對角線bc1所在的直線間的距離為（）a。abac.a d.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a1(a，0，a)，b（a，a，0),c1(0,a,a)(0,a，a)，(a,0，a）|a,|a.點a1到bc1的距離d a.答案:a2正方體a1b1c1d1abcd中，e，f分別是c1c，d1a1的中點，求點a到ef的距離解:以d點為原點,da，dc，dd1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)da2，則a(2,0,0），e（0，2，1)，f（1，0，2)，則(1，2,1)，(1,0，2)，|，110(2)(2)11，在上的投影長。點a到ef的距離 。求點到

5、平面的距離例2如圖，已知abc是以abc為直角的直角三角形，sa平面abc，sabc2,ab4，m，n，d分別是sc，ab,bc的中點，求a到平面snd的距離思路點撥建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求點到面的距離精解詳析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則n（0，2,0）,s（0,0，2)，d(1,4,0），（0，2，2)，（1，4，2)設(shè)平面snd的法向量為n(x，y,1)n0，n0，n（2,1,1)（0,0,2)a到平面snd的距離為.一點通用向量法求平面外一點a到平面的距離的步驟:(1）計算平面的法向量n及n0；(2）在平面上找一點p，計算;(3）由公式計算dn0|.利用這種方法求點到平面的距離

6、,不必作出垂線段，只需求出垂線段對應(yīng)的向量和平面的法向量，代入公式求解即可3已知pd正方形abcd所在平面,pdad1，則c到平面pab的距離d（)a1b。c.d.解析:以d為原點,以da，dc，dp所在直線分別為x軸，y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則a(1，0，0），b(1,1,0)，c（0，1，0），p(0,0，1），(1,0,1)，(0，1，0）,（1,1，0）,設(shè)平面pab的法向量為n（x,y，z)，即令x1,則z1，n(1，0,1)d.答案：c4在正三棱柱abca1b1c1中，若ab2，aa11，則點a到平面a1bc的距離為_.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a（0,0，0

7、)，b（,1,0），c(0，2，0)，a1(0,0，1)，（，1,1），（0,2,1)設(shè)平面a1bc的法向量n(x,y，z），則即令y3，則n（，3,6)，n0.又（0，0，1)，dn0.答案：5。已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，e,f,g分別是c1c，d1a1，ab的中點，求點a到平面efg的距離解:建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則a(2,0，0)，e（0，2，1)，f(1,0，2），g(2，1,0)，(0,1，0），（2,1，1)，（1，1，2)設(shè)n（x，y，z)是平面gef的法向量,點a到平面efg的距離為d，則令z1，則n(1,1，1)，d.即點a到平面efg的距離為.1空間距

8、離包括：點到點、點到線、點到面、線到線、線到面、面到面之間的距離其中以點到面的距離最為重要,其他距離，如線到面、面到面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到面的距離2空間一點a到直線l的距離的算法：3空間一點a到平面的距離的算法： 1已知平面的一個法向量n（2，2,1)，點a（2，1,0）在內(nèi)，則p（1，3，2）到的距離為（）a10b3c.d。解析：（1，4，2)，又平面的一個法向量為n（2,2,1），所以p到的距離為。答案：c2正方體abcd a1b1c1d1的棱長為a，點m在上且，n為b1b的中點,則|為（）a.a b。a c。a d。a解析：以d為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(a，0，0)，c1

9、(0,a，a)，n。設(shè)m(x，y，z）點m在上且.(xa，y，z)(x，ay,az),xa,y，z.于是m。| a。答案:a3.如圖，pabcd是正四棱錐，abcda1b1c1d1是正方體，其中ab2，pa，則b1到平面pad的距離為（）a6b。c. d。解析：以a1b1為x軸，a1d1為y軸，a1a為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面pad的法向量是n(x,y，z),由題意知，b1（2，0，0），a(0，0,2),d(0,2，2),p(1,1，4）（0，2,0），(1，1，2)，n0，且n0。y0，xy2z0，取z1,得n(2,0，1）（2,0,2），b1到平面pad的距離d。答案:c4在長方體

10、abcda1b1c1d1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點a1到截面ab1d1的距離為（）a.b。c.d.解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,則d(0,0，0)，a（2,0，0)，a1(2,0,4），b1(2,2，4)，d1（0，0，4）（2,2,0），（2，0,4）,（0，0，4），設(shè)n（x，y,z）是平面ab1d1的一個法向量，則n，n，即令z1,則平面ab1d1的一個法向量為n（2，2，1）由在n上射影可得a1到平面ab1d1的距離為d.答案:c5如圖所示,在正三棱柱abca1b1c1中，所有棱長均為1，則點b1到平面abc1的距離為_解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則c（0,0,

11、0），a，b(0，1，0）,b1（0,1，1），c1(0,0,1），則，（0,1，0),（0，1，1)，設(shè)平面abc1的法向量為n(x,y,1)，則有，解得n，則d|.答案:6如圖所示，正方體的棱長為1，e，f，m，n分別是棱的中點,則平面a1ef與平面b1nmd1的距離為_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a1(1,0,0)，b1（1,1，0)，e，f,d1（0,0，0），m，n。e,f，m，n分別是棱的中點，mnef，a1eb1n。平面a1ef平面b1nmd1。平面a1ef與平面b1nmd1的距離即為a1到平面b1nmd1的距離設(shè)平面b1nmd1的法向量為n(x，y,z），n0，且n0

12、。即（x,y,z）（1，1，0)0，且（x，y，z）0.xy0，且xz0,令x2，則y2，z1.n(2，2,1），n0.a1到平面b1nmd1的距離為dn0。答案:7。如圖，已知正方形abcd，邊長為1,過d作pd平面abcd，且pd1，e,f分別是ab和bc的中點求直線ac到平面pef的距離解：由題意知直線ac到平面pef的距離即為點a到平面pef的距離，以da為x軸，dc為y軸，dp為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則a（1，0，0）,p(0，0,1），e，f,.設(shè)n(x，y，z）是平面pef的一個法向量，則由得令x1，則y1，z，n。又(1,0，1)，d。8.如圖所示的多面體是由底面為abcd

13、的長方體被截面aec1f所截而得到的，其中ab4，bc2，cc13,be1。求點c到平面aec1f的距離解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則d(0，0,0)，b（2，4,0）,a(2,0,0)，c(0,4，0),e(2,4,1)，c1（0,4,3）設(shè)n為平面aec1f的法向量,顯然n不垂直于平面adf，故可設(shè)n（x，y，1）由得即n。又(0，0,3)c到平面aec1f的距離為d。對應(yīng)學(xué)生用書p42一、空間向量的概念與運算1空間向量有關(guān)概念與平面向量的有關(guān)概念類似，對基本概念的理解要做到全面、準(zhǔn)確、深入2空間向量的運算包括加、減、數(shù)乘及數(shù)量積運算，其中加、減、數(shù)乘運算稱為線性運算，結(jié)果仍為向量，

14、加減算法可運用平行四邊形法則與三角形法則進(jìn)行運算；數(shù)量積運算結(jié)果為實數(shù)，運用數(shù)量積可解決長度、夾角與距離等問題二、向量的坐標(biāo)表示與運算和空間向量基本定理1選定空間不共面的向量作為基向量，并用它們表示出目標(biāo)向量，是空間向量基本定理的具體體現(xiàn)2空間向量的坐標(biāo)表示與運算是解決立體幾何中的夾角、長度、距離等問題的關(guān)鍵，要熟記公式三、空間向量與平行和垂直利用空間向量解決空間中的位置關(guān)系的常用方法為:1線線平行：證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量2線線垂直：證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直，利用abab0。3線面平行:用向量證明線面平行的方法主要有：（1)證明直線的方向向

15、量與平面的法向量垂直(需說明直線不在平面內(nèi))；（2)證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量(需說明直線不在平面內(nèi)）；(3)利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量把直線的方向向量線性表示出來(需說明直線不在平面內(nèi))4線面垂直：用向量證明線面垂直的方法主要有：（1)證明直線的方向向量與平面的法向量平行；（2）證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線向量垂直5面面平行:(1）證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量）；（2)證明一個平面內(nèi)的兩個不共線向量與另一平面平行6面面垂直：(1)證明兩個平面的法向量互相垂直;（2）證明一個平面內(nèi)某直線的方向向量是另一平面的法向量四、空間向量

16、與空間角1求兩異面直線的夾角可利用公式cosa,b,但務(wù)必注意兩異面直線夾角的范圍是，而兩向量之間的夾角的范圍是0，故實質(zhì)上應(yīng)有cos cosa，b|.2求線面角:求直線與平面的夾角時,一種方法是先求出直線及此直線在平面內(nèi)的投影直線的方向向量，通過數(shù)量積求出直線與平面的夾角;另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線方向向量與平面法向量的夾角，即可求出直線與平面的夾角，其關(guān)系是sin |cos |.3求兩平面間的夾角：利用空間直角坐標(biāo)系求得兩個平面的法向量n1，n2,代入cosn1，n2當(dāng)cosn1，n20時，兩平面的夾角為n1,n2，當(dāng)cos五、空間距離的計算主要掌握點到直線的距離與點到平面的

17、距離，利用直線的方向向量與平面的法向量求解1若直線l的方向向量為s,s0，點p是直線l上的點,點a是直線外任一點，則點a到直線l的距離d 。2若n0為平面的單位法向量，點p是平面內(nèi)一點,點a是平面外一點,則點a到該平面的距離dn0|.(時間90分鐘,滿分120分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1設(shè)a(x，4，3),b（3，2，z)，若ab，則xz(）a4b9c9 d.解析：ab,.x6，z。xz9.答案：b2。如圖所示，已知四面體abcd,e，f，g，h分別為ab，bc，cd，ac的中點，則（)(）a bc d解析：()（

18、)，又，（）。答案:c3p是abc所在平面上一點，若，則p是abc的()a外心 b內(nèi)心c重心 d垂心解析:,（）0，即0，。同理(）0，0,p是abc的垂心答案：d4已知a(1，0,0），b(0,1,0），c(0,0,1)，則平面abc的一個單位法向量是（）a. b.c. d.解析：設(shè)平面abc的法向量為n（x，y，z）則n0，即(x，y，z)(1，1，0）0，xy0。n0，即(x,y,z)（0，1,1)0,yz0,令x1，則y1，z1，n(1，1,1），與n平行的單位向量為或.答案:d5已知空間四個點a（1,1，1)，b(4,0，2），c（3，1，0），d（1，0,4)，則直線ad與平面ab

19、c的夾角為(）a30 b45c60 d90解析:設(shè)n(x，y,1）是平面abc的一個法向量（5，1,1），(4，2，1），n。又(2，1,3)，設(shè)ad與平面abc所成的角為，則sin ，30.答案：a6已知正四棱錐sabcd的側(cè)棱長與底面邊長都相等,e是sb的中點,則ae，sd夾角的余弦值為(）a. b.c。 d.解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令正四棱錐的棱長為2，則a(1，1，0)，d(1，1，0)，s（0，0，)，e,，(1，1，)，cos，,ae、sd夾角的余弦值為。答案:c7。如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f，g，h分別為aa1，ab，bb1，b1c1的中點，則異面

20、直線ef與gh的夾角等于（)a45b60c90 d120解析：以d為原點，da，dc，dd1所在直線為x軸，y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），設(shè)正方體棱長為1，則e，f，g,h,，cos.ef與gh的夾角為60。答案:b8正方體abcda1b1c1d1中，直線bc1與平面a1bd夾角的余弦值為()a. b.c。 d.解析：以a為坐標(biāo)原點，以ab,ad，aa1分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則c1（1，1，1)，a1(0,0，1），b(1,0,0)，d（0,1,0）（1，1，1)，(1,0，1）,（1，1，0），0，0，即為平面a1bd的法向量設(shè)bc1與面a1bd

21、夾角為,又（0，1,1），則sin ，cos 。答案:c9在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中，m是aa1的中點，則點a1到平面mbd的距離是（）a。a b。ac.a d.a解析：以d為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則d(0，0，0），b(a,a，0),m，a1（a,0，a）（a，a，0),。設(shè)平面bdm的法向量為n（x,y，z)，則即令z2,得x1,y1.n（1,1，2），n0。a1到平面bdm的距離為dn0|a.答案：a10三棱錐oabc中，g1是abc的重心，g是og1上的一點,且og3gg1，若xyz,則(x，y，z)為()a。 b。c。 d。解析:()()()，而x

22、yz，x,y,z.答案：a二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分請把正確的答案填在題中的橫線上）11已知正方體abcdabcd中，點f是側(cè)面cddc的中心，若xy，則xy_.解析：如圖，（)(），又xy,x，y，即xy0.答案：012已知向量a（3,2,5），b（1，x,1)，且ab2,則x的值為_解析：a（3,2，5）,b(1，x，1)，且ab2,312x5（1)2，x5.答案：513如圖所示，正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，e是a1b1的中點，則點e到平面abc1d1的距離是_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,正方體的棱長為1，a（1，0,0），b(1，1,0），c(

23、0，1,0），d（0，0，0），c1(0,1，1），d1(0,0，1)，e。設(shè)平面abc1d1的法向量為n（x,y,z)n0，且n0，即(x，y，z)(0,1，0）0，且(x，y,z）（1,0，1)0.y0,且xz0，令x1，則z1，n（1，0，1）n0，又，點e到平面abc1d1的距離為|n0.答案:14. 如圖，在長方體abcda1b1c1d1中,abbc2，aa11，則ac1與平面a1b1c1d1的夾角的正弦值為_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則a（2，0，0），c1(0，2,1)，a1（2，0，1），(2,2,1）,(0，0，1）由長方體的性質(zhì)知平面a1b1c1d1的法向量為（0，

24、0,1）cos,，ac1與平面a1b1c1d1的夾角的正弦值為。答案：三、解答題（本大題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15（本小題滿分12分）已知a（3，5,4)，b（2，1,2)求：（1）ab；（2）a與b夾角的余弦值;(3)確定,的值使得ab與z軸垂直，且(ab）（ab）77。解：(1）ab（3,5,4)(2，1，2)3251（4)23。(2）|a|5，b|3。cosa，b。（3)取z軸上的單位向量n(0，0，1)，ab(5，6，2)依題意,得即化簡整理，得解得16（本小題滿分12分）四棱錐pabcd中，底面abcd是一個平行四邊形,(2，1，4)，(4,2,0)，（1，2，1）（1）求證：pa底面abcd；(2)求四棱錐pabcd的體積解:(1）證明：2240,apab。又4400,apad.ab，ad是底面abcd上的兩條相交直線，ap底面abcd。(2）設(shè)與的夾角為，則cos 。v|sin 16。17(本小題滿分12分）如圖所示，直三棱柱abca1b