高中數(shù)學(xué)論文：關(guān)于一類數(shù)列求和不等式證法策略的研究心得

1、關(guān)于一類數(shù)列求和不等式證法策略的研究心得 筆者在近階段的高三教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)一類型如（其中為常數(shù)）的數(shù)列求和不等式的證明問題經(jīng)常出現(xiàn)在各地模擬卷和高考試卷壓軸題中，由于這類問題難易差別很大，故一直以來都是教學(xué)的難點(diǎn)；此文筆者試想通過幾道例題來闡述這類問題的解決方法. 一、直接利用數(shù)列求和的相關(guān)策略（主要是裂項(xiàng)求和、無窮遞縮等比數(shù)列求和公式）來證明 例1、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求證： 分析：關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行的裂項(xiàng)變形； 證明： 故：例2、（2005.湖南.文）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （）證明 分析：關(guān)鍵是將看作是數(shù)列的前項(xiàng)和，利用無窮遞縮等比數(shù)列求和公式 （） 過程略（）證明：

2、因?yàn)?故：是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列所以：二、利用放縮法創(chuàng)造條件利用數(shù)列求和的相關(guān)策略對(duì)于這類數(shù)列求和不等式的證法的關(guān)鍵就是利用與之間的等量關(guān)系進(jìn)行恰到好處的放縮構(gòu)造出不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化為（一）中所述的兩種類型，也即：此類題一般都是直接或間接的利用（一）中所述的兩種策略求解；下以兩例來說明：例3：（2002年全國(guó)卷） 設(shè)數(shù)列滿足，（）當(dāng)時(shí)，求，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；（）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)所有的，有（）；（）（）略（）（）略 下證（）（） 分析：由與之間的關(guān)系可知 想通過裂項(xiàng)求和幾乎很難做出來，故想到構(gòu)造無窮等比遞縮數(shù)列，由可知 ，故，結(jié)合（）中數(shù)列求和不等式的右邊，可得 故可利用放縮法構(gòu)造公比為的無窮等比遞縮數(shù)列，逆推分析可得即 （）（）中結(jié)論簡(jiǎn)證：令由上訴分析可知：故有： 故：所以不等式成立 例4、（2005廣州市高中畢業(yè)班綜合測(cè)試題） 設(shè)無窮數(shù)列具有以下性質(zhì)：（1），（2）當(dāng)時(shí)，（1）請(qǐng)給出一個(gè)具有這樣性質(zhì)的無窮數(shù)列，使得不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立。并對(duì)你給出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證（或證明）。（2）若，其中，且記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：分析：對(duì)（1）構(gòu)造無窮等比遞縮數(shù)列，利用無窮等比遞縮數(shù)列之和為容易找出這樣的數(shù)列；對(duì)（2），從而成立；最為關(guān)鍵的是證明的成立，利用上述經(jīng)驗(yàn)：直接或間接利用裂項(xiàng)求和、無窮遞縮等比數(shù)列求和公式兩種策略；（1）解：故構(gòu)造則