2018年高考數(shù)學(xué)25 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示教學(xué)案 理

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題25 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示 1。了解平面向量基本定理及其意義2。掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.1平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2，使a1e12e2其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a（x1，y1），b(x2，y2)，則ab（x1x2，y1y2）,ab(x1x2，y1y2），a（x1，y1),a（2

2、）向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2),則（x2x1,y2y1)，|3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2),則abx1y2x2y10高頻考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用例1、(1)在梯形abcd中，abcd,ab2cd，m，n分別為cd,bc的中點(diǎn)，若，則等于（）a。 b. c。 d.(2）如圖,在abc中，p是bn上的一點(diǎn)，若m,則實(shí)數(shù)m的值為_ （2）設(shè)k，kr。因?yàn)閗k()k()(1k），且m，所以1km，解得k,m.【感悟提升】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量

3、的加、減或數(shù)乘運(yùn)算（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決【變式探究】（1）如圖,已知a，b，3，用a，b表示，則_. （2）(如圖,在平行四邊形abcd中，ac,bd相交于點(diǎn)o,e為線段ao的中點(diǎn)。若(，r），則_。解析（1）（）ab。（2)由題意可得,由平面向量基本定理可得，所以.答案（1）ab（2)高頻考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2、（1）已知向量a（5，2），b（4，3），c（x,y),若3a2bc0,則c(）a.(23,12) b。（23，12）c.(7，0） d.(7,0）（2)向量a，b,c在正方形網(wǎng)格

4、中，如圖所示，若cab(，r）,則（)a.1 b.2 c。3 d.4解析（1)3a2bc(23x，12y)0，故x23，y12，故選a。（2)以向量a,b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1),a(1，1),b(6,2)，c（5,1)，所以a(1，1），b（6,2），c(1，3)，cab，解之得2且,因此,4，故選d。答案(1)a（2)d【方法規(guī)律】(1)巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量?jī)啥它c(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),解題過程中注意方程思想的應(yīng)用.（2)向量問題坐標(biāo)化:向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾

5、何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題.【變式探究】 (1)已知點(diǎn)a（1,5)和向量a(2，3)，若3a，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為（）a。（7,4） b。(7，14)c。(5，4） d。（5，14)(2）已知向量a(2,1)，b(1，2）。若manb(9，8）（m，nr）,則mn的值為_。高頻考點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示例3、(1)已知平面向量a(1，2)，b（2,m)，且ab，則2a3b_.（2)已知a（2，3)，b(4，3)，點(diǎn)p在線段ab的延長(zhǎng)線上,且ap|bp，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為_。解析(1)由a(1，2),b（2，m），且ab，得1m2(2)0，即m4。從而b（2，4）,那么2a3b2（1，2)3(2，4）（4，8

6、).（2）設(shè)p（x，y)，由點(diǎn)p在線段ab的延長(zhǎng)線上,則，得(x2，y3)（x4，y3）,即解得所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(8,15).答案(1）(4,8）（2）(8，15）【方法規(guī)律】(1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:若a（x1，y1)，b（x2,y2），則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab（b0），則ab.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù)。當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解?！咀兪教骄俊?(1）已知點(diǎn)a(1，3)，b（4,1），則與同方向的單位向量是（)a. b。c. d。（2）若三點(diǎn)a(1，5)，b(a，2）,c（2,1)共線,則

7、實(shí)數(shù)a的值為_。解析（1)(4，1）（1，3)(3，4)，與同方向的單位向量為.（2)(a1，3)，(3,4），根據(jù)題意,4(a1)3（3)0，即4a5，a。答案(1)a(2）【感悟提升】平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí),利用“若a(x1,y1)，b（x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便（2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為a（r），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3）三點(diǎn)共線問題a,b，c三點(diǎn)共線等價(jià)

8、于與共線【舉一反三】設(shè)(2,4),(a,2）,(b，0),a0，b0,o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若a，b，c三點(diǎn)共線，則的最小值為_答案解析由題意得(a2，2），(b2，4），又,所以(a2，2)(b2，4）,即整理得2ab2，所以(2ab)（)(3）（32）(當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)，等號(hào)成立)高頻考點(diǎn)四、解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用例4、給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)c在以o為圓心的上運(yùn)動(dòng)若xy,其中x，yr，求xy的最大值解以o為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則a（1，0),b（，)設(shè)aoc（0，),則c（cos，sin），由xy，得所以xcossin，y

9、sin，所以xycossin2sin（）,又0，所以當(dāng)時(shí)，xy取得最大值2?！靖形蛱嵘勘绢}首先通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函數(shù)的知識(shí)求出xy的最大值引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了解析法(坐標(biāo)法）解決問題的優(yōu)勢(shì)，凸顯出了向量的代數(shù)特征,為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎(chǔ)【方法技巧】1平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示,其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵2根據(jù)向量共線可以證明點(diǎn)共線；利用兩向量共線也可以求點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)值1.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)a，b，c，d滿足 =,=

10、-2,動(dòng)點(diǎn)p，m滿足 =1，=，則的最大值是( )（a) (b） （c） (d）【答案】b【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn),直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，故選b。【2015高考福建，理9】已知 ，若 點(diǎn)是 所在平面內(nèi)一點(diǎn),且 ，則 的最大值等于( )a13 b 15 c19 d21【答案】a【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示，則，即,所以，,因此,因?yàn)?，所?的最大值等于，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)【2015高考湖北，理11】已知向量，,則 ?！敬鸢浮?【解析】因?yàn)?，所? 1（2014重慶卷） 已知向量a（k，3)，b（1，4)，

11、c(2，1),且(2a3b）c，則實(shí)數(shù)k()a b0c3 d?！敬鸢浮縞【解析】2a3b2(k，3）3(1，4）（2k3,6)，又（2a3b）c，(2k3）2（6)0，解得k3。2(2014福建卷） 在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來的是（）ae1(0，0),e2（1，2） be1(1，2)，e2（5，2）ce1(3,5)，e2(6，10） de1(2,3),e2（2，3)【答案】b【解析】由向量共線定理，選項(xiàng)a，c，d中的向量組是共線向量,不能作為基底；而選項(xiàng)b中的向量組不共線，可以作為基底，故選b。3（2014山東卷） 已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函

12、數(shù)f（x)ab，且yf(x)的圖像過點(diǎn)和點(diǎn)。(1)求m，n的值；（2)將yf(x)的圖像向左平移（0)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x）的圖像，若yg(x）圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0，3)的距離的最小值為1,求yg（x)的單調(diào)遞增區(qū)間 （2）由(1）知f(x）sin 2xcos 2x2sin。由題意知,g（x）f(x)2sin。設(shè)yg(x)的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為(x0，2）由題意知，x11，所以x00，即到點(diǎn)（0，3)的距離為1的最高點(diǎn)為（0,2）將其代入yg（x）得，sin1。因?yàn)?,所以。因此,g（x)2sin2cos 2x.由2k2x2k,kz得kxk，kz，所以函數(shù)yg（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

13、kz.4(2014陜西卷） 設(shè)0，向量a（sin 2,cos ），b（cos ，1)，若ab，則tan _【答案】【解析】因?yàn)橄蛄縜b，所以sin 2cos cos 0,又cos 0，所以2sin cos ，故tan .5（2014陜西卷） 在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)a（1，1），b(2，3)，c（3，2），點(diǎn)p(x，y)在abc三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上（1）若0,求；(2）設(shè)mn（m，nr)，用x，y表示mn,并求mn的最大值 (2）mn,(x,y）（m2n，2mn)，兩式相減得，mnyx，令yxt，由圖知，當(dāng)直線yxt過點(diǎn)b（2，3)時(shí),t取得最大值1，故mn的最大值為1.6（2013

14、安徽卷） 在平面直角坐標(biāo)系中,o是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)a，b滿足|2,則點(diǎn)集p|，|1，r所表示的區(qū)域的面積是（)a2 b2 c4 d4 【答案】d【解析】由|2，可得點(diǎn)a， b在圓x2y24上且aob60，在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)a（2，0)，b（1，），設(shè)p（x，y)，則（x，y）(2,0）（1,),由此得x2，y，解得，xy,由于|1，所以xyy1，即|xy2y2 .或或或上述四個(gè)不等式組在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,所以所求區(qū)域的面積是4 . 7(2013湖南卷） 已知a，b是單位向量,ab0，若向量c滿足cab1，則|c|的取值范圍是（)a1，1 b1，2c1，1 d1，2

15、【答案】a【解析】由題可知ab0，則ab，又|a|b1，且cab1,不妨令c(x，y），a（1，0），b（0，1），則（x1）2(y1)21,又c|，故根據(jù)幾何關(guān)系可知|c|max11，cmin11,故選a.8（2013北京卷） 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，r）,則_圖13【答案】4【解析】以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向和豎直方向分別為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系，則a(1，1)，b（6,2），c(1，3),則解得所以4。9（2013遼寧卷） 已知點(diǎn)a(1，3)，b（4，1)，則與向量ab同方向的單位向量為（)a. b.c. d.【答案】a【解析】(3,4)，與方向

16、相同的單位向量為，故選a.10(2013天津卷） 在平行四邊形abcd中,ad1，bad60，e為cd的中點(diǎn)，若1,則ab的長(zhǎng)為_【答案】11（2013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，e為cd的中點(diǎn)，則_【答案】2【解析】如圖，建立直角坐標(biāo)系，則(1，2），(2，2），2.12(2013重慶卷） 如圖19所示，橢圓的中心為原點(diǎn)o,長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e，過左焦點(diǎn)f1作x軸的垂線交橢圓于a，a兩點(diǎn),|aa4。（1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)p，p，過p，p作圓心為q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓q外，若pqpq,求圓q的標(biāo)準(zhǔn)方程圖19【解析】(1

17、）由題意知點(diǎn)a(c，2)在橢圓上，則1，從而e21。由e得b28，從而a216。故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2）由橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)q(x0，0)又設(shè)m（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，則|qm|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)設(shè)p(x1，y1）,由題意，p是橢圓上到q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)xx1時(shí)取得最小值又因x1（4，4)，所以上式當(dāng)x2x0時(shí)取得最小值，從而x12x0，且qp28x。因?yàn)閜qpq，且p(x1，y1），所以(x1x0,y1）(x1x0，y1）0，即(x1x0)2y0。由橢圓方程及x12x0得x80，解得x1,x0,從而|qp28x.故這樣的圓有

18、兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為y2，y2.13（2013重慶卷） 在平面上,|ob1|1，.若|，則的取值范圍是()a. b.c. d.【答案】d【解析】根據(jù)條件知a，b1,p，b2構(gòu)成一個(gè)矩形ab1pb2，以ab1，ab2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)|ab1a,ab2b,點(diǎn)o的坐標(biāo)為（x，y）,則點(diǎn)p的坐標(biāo)為(a，b），由|1得則又由，得（xa)2（yb)2，則1x21y2,即x2y2.又（xa）2y21，得x2y2a212ax1a2x2，則y21；同理由x2（yb)21，得x21，即有x2y22.由知x2y22，所以.而|，所以|，故選d. 1。下列各組向量中，可以作為基底的是()a。e

19、1(0，0)，e2（1,2）b.e1（1，2），e2(5,7)c.e1(3，5），e2(6，10)d.e1(2，3），e2解析兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一組基底，故選b。答案b2.已知在abcd中，(2，8)，(3,4)，則（)a。(1,12) b.（1，12)c.（1，12) d。(1，12）解析因?yàn)樗倪呅蝍bcd是平行四邊形，所以(1,12），故選b.答案b3.已知向量a(1,2)，b(3,m)，mr，則“m6”是“a(ab)”的（）a.充分必要條件 b。充分不必要條件c。必要不充分條件 d。既不充分也不必要條件解析由題意得ab(2,2m），由a(ab）,得1（2m)22，所以m6,則“m6”是“a(ab）的充要條件,故選a。答案a4。如右圖，向量e1,e2，a的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則向量a可用基底e1，e2表示為（)a.e1e2b。2e1e2c.2e1e2d.2e1e25。已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10），且a，b,c三點(diǎn)共線，則k的值是（）a。 b. c. d。解析（4k,7），（2k,2)，因?yàn)閍，b，c三點(diǎn)共線，所以，共線，所以2(4k）7(2k)，解得k.答案a6。在abc中,點(diǎn)d在bc邊上，且2，rs，則rs等于()a. b. c。3 d。0解析因?yàn)?，所以(）,則rs0