備戰(zhàn)2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點(diǎn)2. 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和問題等綜合問題教學(xué)案 文

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和問題等綜合問題數(shù)列在高考中占重要地位,每年都考，應(yīng)當(dāng)牢記等差、等比的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及常見求數(shù)列通項(xiàng)的方法,如累加、累乘、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法、取倒數(shù)等。數(shù)列求和問題是數(shù)列中的重要知識(shí),在各地的高考試題中頻頻出現(xiàn)，對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和主要是運(yùn)用公式；而非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和問題,一般用倒序相加法、通項(xiàng)化歸法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等數(shù)列的求和問題多從數(shù)列的通項(xiàng)入手,通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,屬中檔題一、數(shù)列的通項(xiàng)公式

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式在數(shù)列中占有重要地位，是數(shù)列這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)之一，在高考中，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及它們的性質(zhì)是必考內(nèi)容，一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，屬于低中檔題，若數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、向量、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)交融，難度就較大，也是近幾年命題的熱點(diǎn). 1.由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般的思想,由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的,要注意代值檢驗(yàn)，對于正負(fù)符號變化,可用（1)n或(1）n1來調(diào)整例1. 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（1）-1,7，-13,19，;(2)0.

3、8，0.88，0。888，;（3)；思路分析:歸納通項(xiàng)公式應(yīng)從以下四個(gè)方面著手：(1）觀察項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系;（2)符號與絕對值分別考慮；（3)規(guī)律不明顯，適當(dāng)變形 ，原數(shù)列化為,， an（1)n.點(diǎn)評：求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個(gè)特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2）相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；（4）各項(xiàng)符號特征等,并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想2。由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)若一個(gè)數(shù)列首項(xiàng)確定，其余各項(xiàng)用an與an1的關(guān)系式表示（如an2an11，（n1）,則這個(gè)關(guān)系式稱為數(shù)列的遞推公式 由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)的基本思想是轉(zhuǎn)化,常用的方法:(1)an1anf(n）型，采用疊加法(2)f

4、（n)型，采用疊乘法(3)an1panq（p0，p1）型，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決例2.對于數(shù)列 。(1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;（2）令,求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析:(1）由化簡得，利用累加法求得,對利用配湊法求得通項(xiàng)公式為；（2）化簡，這是等差數(shù)列除以等比數(shù)列,故用錯(cuò)位相減求和法求得前項(xiàng)和為.（2), 則， -得.點(diǎn)評：本題主要考查遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法，考查了累加法和配湊法,考查了錯(cuò)位相減求和法.對于來說，化簡題目給定的含有的表達(dá)式后，得到，這個(gè)是累加法的標(biāo)準(zhǔn)形式，故用累加法求其通項(xiàng)公式，對于來說，由于，則采用配湊法求其通項(xiàng)公式，對于來說，由于它是等差數(shù)列除以等比數(shù)列，故用錯(cuò)位相減求和法求和。3。由與

5、的關(guān)系求通項(xiàng)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此,在研究數(shù)列問題時(shí)，即要注意函數(shù)方法的普遍性,又要考慮數(shù)列方法的特殊性sn與an的關(guān)系為：an例3. 【安徽省淮南市2018屆第四次聯(lián)考】已已知數(shù)列為數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足 .（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求的通項(xiàng)公式思路分析：（1）由的關(guān)系得相減得檢驗(yàn)時(shí), 適合上式即得數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）,兩邊同時(shí)除以得累加法即得解。點(diǎn)評：已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系,求數(shù)列通項(xiàng)公式,常用將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式。注意：

6、利用ansnsn1求通項(xiàng)時(shí)，注意n2這一前提條件，易忽略驗(yàn)證n1致誤，當(dāng)n1時(shí)，a1若適合通項(xiàng),則n1的情況應(yīng)并入n2時(shí)的通項(xiàng);否則an應(yīng)利用分段函數(shù)的形式表示4。等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值等差數(shù)列的單調(diào)性與的最大或最小的關(guān)系.（1)若,則等差數(shù)列中有，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),有，所以的最小值為。當(dāng)時(shí)，有則一定存在某一自然數(shù)，使或，則的最小值為。 （2）若，則等差數(shù)列中有，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，有則一定存在某一自然數(shù)，使或，則的最大值為。當(dāng)時(shí)，有，所以的最大值為。例4。數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）（1）為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？（2）在（1）的條件下，若等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，又，等比

7、數(shù)列，求思路分析:(1)先由求出。再利用數(shù)列為等比數(shù)列，可得，就可以求出的值；(2）先利用求出,再利用公差把和表示出來，代人成等比數(shù)列，求出公差即可求。 點(diǎn)評：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值常用的方法;(1）先求an，再利用或求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),最后利用單調(diào)性確定最值(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得前n項(xiàng)和的最值利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和snan2bn（a，b為常數(shù)）為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值二 數(shù)列的求和數(shù)列求和是高考的熱點(diǎn)，主要涉及等差、等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和與并項(xiàng)法求和，題目呈現(xiàn)方式多樣，在選擇題、填空題中以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，在解答題中以考查錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相

8、消法求和為主，求解的關(guān)鍵是抓住通項(xiàng)公式的特征,正確變形，分清項(xiàng)數(shù)求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和常見類型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解;（2)anaqn1，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；（3)anbncn,數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和（4) anbncn，數(shù)列bn,cn分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列,采用錯(cuò)位相減法求和1公式求法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:sn；(2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：例5. 【四川省內(nèi)江市2018屆高

9、三第一次模擬】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和.已知， .（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析：(）由可得時(shí)， ，兩式相減，即可得出是等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;（)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而用等比數(shù)列求和公式求出數(shù)列的前項(xiàng)和。點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的求和公式，利用方程組思想求解。本題屬于基礎(chǔ)題,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.應(yīng)用基本量法是解決此類問題的基本方法，應(yīng)熟練掌握。根據(jù)等差，等比數(shù)列的性質(zhì)探尋其他解法,可以開闊思路，有時(shí)可以簡化計(jì)算. 2分組求和法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的

10、數(shù)列，可先分別求和，然后再合并例6.【四川省內(nèi)江市2018屆高三第一次模擬】設(shè)數(shù)列滿足。(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析: 根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)， ，求出的表達(dá)式，然后驗(yàn)證當(dāng)時(shí)是否成立（2）先給出通項(xiàng)，運(yùn)用分組求和法求前項(xiàng)和點(diǎn)評：分組求和的解題策略：數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前項(xiàng)和的數(shù)列求和，即將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是通項(xiàng)變形3。裂項(xiàng)相消求和法利用通項(xiàng)變形,把數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差，在求和過程中，中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和，從而求得數(shù)列

11、的和。這種求數(shù)列和的方法叫做裂項(xiàng)相消求和法.常見拆項(xiàng)：；nn!=（n+1)!n??；loga （1）loga（n1）logan;等等例7。已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，,且成等比數(shù)列。(）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析：（1)由等差數(shù)列性質(zhì)，所以，設(shè)公差為，則，解得或,由此即可求出通項(xiàng)公式； (2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),，然后再根據(jù)裂項(xiàng)相消即可求出結(jié)果.點(diǎn)評:裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些裂開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)從而達(dá)到求和的目的要注意的是裂項(xiàng)相消法的前提：數(shù)列中的每一項(xiàng)均可分裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，且在求和過程中能夠前后相互抵消.

12、4. 錯(cuò)位相減求和法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法 例8.已知等差數(shù)列滿足：，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1,1，3后成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析:（1） 用基本量法，即用為等差數(shù)列的公差與表示已知條件，列出方程,解出,即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；由可得，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)因?yàn)?，所以用錯(cuò)位相減法求即可.點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、對數(shù)的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題；錯(cuò)位相減法適合于一個(gè)由等差數(shù)列及一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列考生在解決這類問題時(shí)，都知道利用錯(cuò)位相減法求

13、解，也都能寫出此題的解題過程,但由于步驟繁瑣、計(jì)算量大導(dǎo)致了漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號出錯(cuò)等兩邊乘公比后,對應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會(huì)發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對齊,這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子后面就會(huì)多了一項(xiàng)，兩項(xiàng)相減,除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列三. 數(shù)列的探索性問題處理探索性問題的一般方法是：假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立或其中的一部分結(jié)論成立,然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè),否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用還可以根據(jù)已知條件建立恒等式，利用等式恒成立的條件求解例9。 【江西省南昌市2018屆復(fù)習(xí)訓(xùn)練題】在數(shù)列中， （）求數(shù)列的通項(xiàng)

14、；（）若存在成立，求實(shí)數(shù)的最大值思路分析：()由可得，兩式相減整理得到 ,故數(shù)列 為等比數(shù)列,求得通項(xiàng)后再驗(yàn)證是否滿足即可得到所求（)由條件可得存在成立，設(shè)，則然后根據(jù)的單調(diào)性求出最值即可(）存在成立，存在成立令，則由（)可知當(dāng), 當(dāng)，則，所以當(dāng)時(shí),數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)， 故所求實(shí)數(shù)的最大值為 點(diǎn)評：數(shù)列中的恒成立或能成立的問題是函數(shù)問題在數(shù)列中的具體體現(xiàn)，解決此類問題時(shí)仍要轉(zhuǎn)化為最值問題處理解題中通過分離參數(shù)在不等式的一端得到關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值,從而可求得參數(shù)的值或其范圍解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列,要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解從上面三方面可以看出，解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和