備戰(zhàn)2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點(diǎn)2.8 立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題教學(xué)案 理

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題對(duì)立體幾何中的折疊問題、最值問題和探索性問題，要求學(xué)生要有較強(qiáng)的空間想象力和準(zhǔn)確的計(jì)算運(yùn)算能力，才能順利解答從實(shí)際教學(xué)和考試來看，學(xué)生對(duì)這類題看到就頭疼分析原因，首先是學(xué)生的空間想象力較弱，其次是學(xué)生對(duì)這類問題沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理本文就高中階段學(xué)習(xí)和考試出現(xiàn)這類問題加以總結(jié)的探討1立體幾何中的折疊問題折疊問題是立體幾何的兩個(gè)重要問題,這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)。處理這類題型的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系。折疊問題是立體幾何的一類典型問題是實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力考查的

2、好素材。解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據(jù).而表面展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程,一般地，涉及到多面體表面的問題,解題時(shí)不妨將它展開成平面圖形試一試。例【黑龍江省七臺(tái)河市2018屆期末聯(lián)考】如圖所示，平面圖形中,其中矩形的邊長(zhǎng)分別為， ，等腰梯形的邊長(zhǎng)分別為， .現(xiàn)將該平面圖形沿著折疊，使梯形與矩形垂直，再連接，得到如圖所示的空間圖形,對(duì)此空間圖形解答如下問題:(1）證明: ； （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.思路分析：（1）因?yàn)?，根?jù)面面垂直的性質(zhì)，可證明平

3、面，即可證明結(jié)論；(2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量及平面的法向量，利用法向量夾角即可求出。解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（1）則， , ， , ， .， ， ，.（2）設(shè)平面的法向量為，則,即，不妨取，則。同理可得平面的法向量為。 。二面角的角的余弦值為.點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì),以折疊問題為載體,折疊問題是考查學(xué)生空間想象能力的較好載體。如本題,不僅要求學(xué)生象解常規(guī)立幾綜合題一樣懂得線線，線面和面面垂直的判定方法及相互轉(zhuǎn)化，還要正確識(shí)別出折疊而成的空間圖形,更要識(shí)得折前折后有關(guān)線線、線面位置的變化情況以及有關(guān)量（邊長(zhǎng)與角)的變化情況,否則無法正確

4、解題這正是折疊問題的價(jià)值之所在在求二面角時(shí)，如果根據(jù)定義要作出二面角的平面角，并證明，然后計(jì)算,要求較高，一般是尋找圖形中的兩兩垂直的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法來求這個(gè)角設(shè)分別是平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則用這種方法求解時(shí)要注意判斷二面角的大小,即判斷二面角是銳角不是鈍角2立體幾何中的最值問題解決空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義直接解決題中問題；如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù),若能寫出確定的表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解;再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系

5、，看是否能運(yùn)用解等不式法求解；還不行則應(yīng)考慮是否可將其體圖展開成平面,這樣依次順序思考，基本可以找到解題的途徑例2 在四棱錐中,設(shè)底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，面.（1）求證：；（2）過且與直線垂直的平面與交于點(diǎn),當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的大小.思路分析：（1）要證線線垂直,可利用線面垂直的性質(zhì)定理，即先證線面垂直，題中由正方形有，由已知線面垂直有，從而可證與平面垂直，從而得證題設(shè)結(jié)論；（2）求二面角，一般建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解，題中有兩兩垂直，以他們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，由三棱錐體積最大時(shí)，求得的長(zhǎng)，然后寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面和平面的法向量，求出法向量夾

6、角，可觀察出此二面角為銳角，從而得二面角 ,，得，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則,得.又是平面的一個(gè)法向量，二面角為.點(diǎn)評(píng)：立體幾何中經(jīng)常碰到求最值問題，不少學(xué)生害怕這類問題，主要原因是難以將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題或代數(shù)問題去求解，對(duì)立體幾何的最值問題，一般可以從兩方面著手：一是從問題的幾何特征入手,充分利用其幾何性質(zhì)去解決；二是找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù),利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點(diǎn)法、二次數(shù)的配方法、公式法、有界函數(shù)界值法（如三角函數(shù)等)及高階函數(shù)的拐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)法等3立體幾何中的探索性問題探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否

7、成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力近幾年高考中立體幾何試題不斷出現(xiàn)了一些具有探索性、開放性的試題內(nèi)容涉及異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，平行與垂直等方面，對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決一般此類立體幾何問題描述的是動(dòng)態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性,往往需要耐心嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，對(duì)于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的例3【北京市豐臺(tái)區(qū)2018屆期末】在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面， 分別是的中點(diǎn), ， .（）求證： 平面；(）求與平面所成角的正弦值;(）在棱上是否存

8、在一點(diǎn)，使得平面平面?若存在，求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。思路分析：（）根據(jù)中位線定理得， ，所以為平行四邊形，進(jìn)而可證平面；（）建立直角坐標(biāo)系, ,求解平面的法向量為,設(shè)與平面所成角為，利用求解即可；（）設(shè)上存在一點(diǎn)，則,令,求解即可。試題解析:（)證明:取中點(diǎn),連接。因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以， （)因?yàn)閭?cè)棱底面,所以只要在上找到一點(diǎn),使得，即可證明平面平面。設(shè)上存在一點(diǎn)，則,所以。因?yàn)?所以令，即，所以。所以在存在一點(diǎn),使得平面平面，且.點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定，考查了直線與平面所成的角和直線與平面平行的判定，訓(xùn)練了存在性問題的求解方法，建系利用空間向量求解降低了問題的難度，屬中檔題

9、把線面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，直線與平面所成的角的正弦值即直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值；線平行于面即線的方向向量與面的法向量垂直,等價(jià)于其數(shù)量積為.探索性題型通常是找命題成立的一個(gè)充分條件,所以解這類題采用下列二種方法：通過各種探索嘗試給出條件;找出命題成立的必要條件，也證明了充分性綜合以上三類問題,折疊與展開問題、最大值和最小值問題和探究性問題都是高考中的熱點(diǎn)問題，在高考試題的新穎性越來越明顯，能力要求也越來越高,并且也越來越廣泛折疊與展開問題是立體幾何的一對(duì)問題，這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn),處理這類題型的關(guān)鍵是抓住兩圖的特征關(guān)系；求最值的途徑很多,其中運(yùn)用公理與定義法、利用代數(shù)知識(shí)建立函數(shù)法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；對(duì)于立體幾何的探索性問題一般都是條件開放性的探究問題，采用的方法一般是執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，運(yùn)用方程的思想或向量的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題解決如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件，或出現(xiàn)了矛盾，則不存在另外對(duì)于立體幾何中的上述三種問題有時(shí)運(yùn)用空間向量的方法也是一種行之有效的方法,能使問題簡(jiǎn)單、有效地解決解答這些問題,需要主觀的意志力,不要見到此