2021-2022學年高中數(shù)學 第1章 預備知識測評鞏固練習北師大版必修第一冊

1、2021-2022學年高中數(shù)學 第1章 預備知識測評鞏固練習北師大版必修第一冊2021-2022學年高中數(shù)學 第1章 預備知識測評鞏固練習北師大版必修第一冊年級：姓名：第一章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下列關系不正確的是()a.0nb.13qc.0d.2r解析:由數(shù)集的表示,可知a,b,d均正確,由于空集不含任何元素,故c錯誤.答案:c2.命題“xr,nn+,使得x+n2 020”的否定是()a.xr,nn+,使得x+n2 020b.xr,nn+,使得x+n2 020c.xr,

2、nn+,有x+n2020”的否定為“xr,nn+,有x+n2020”.答案:d3.設集合a=a,b,b=a+1,5,若ab=2,則ab=()a.1,2b.1,5c.2,5d.1,2,5解析:ab=2,a+1=2,得a=1,則b=2,a=1,2,b=2,5,ab=1,2,5.答案:d4.下列不等式的解集是空集的是()a.x2-x+10b.-2x2+x+10c.2x-x25d.x2+x2解析:a中不等式x2-x+10的解集是r;b,d中的判別式0,所以有解;由于2x-x25等價于x2-2x+50,而其=4-20bc,且a+b+c=0,則它的圖象可能是()解析:abc,且a+b+c=0,a0,cb”

3、是“a+b22ab”成立的()a.充分條件,但不是必要條件b.必要條件,但不是充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件解析:由a+b22ab,得a2+2ab+b24ab,即a2-2ab+b20,即(a-b)20,則ab,不能推出ab,而ab時,由上述過程可知,有a+b22ab,故“ab”是“a+b22ab”成立的充分條件,但不是必要條件.答案:a8.不等式ax2+5x+c0的解集為x13x0的解集為x13x12,所以方程ax2+5x+c=0的兩個實數(shù)根為x1=12,x2=13,且a0.所以有12+13=-5a,1213=ca,a0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是()a.(4,+)b.(0,

4、4c.(-,4d.0,4)解析:命題“xr,有ax2+4x+10恒成立”是假命題,命題“xr,使ax2+4x+10”是真命題,a0,或a0,=16-4a0,解得a0,或012,b0,且a+b=2,則12a-1+2b的最小值為()a.3+22b.6c.9d.3解析:a12,b0,a+b=2,2a-1+2b=3,則12a-1+2b=13(2a-1+2b)12a-1+2b=135+2b2a-1+2(2a-1)b135+22b2a-12a-1b=3,當且僅當b=2a-1=1,即a=1,b=1時取等號.答案:d12.用c(a)表示非空集合a中元素的個數(shù),定義a*b=c(a)-c(b),c(a)c(b),

5、c(b)-c(a),c(a)5或x-1,t=x|axa+8,且st=r,則實數(shù)a的取值范圍是.解析:在數(shù)軸上表示出集合s,t,如圖.由圖可知,要使st=r,需滿足a5,解得-3a-1.答案:-3a0)個單位長度,得到一元二次函數(shù)y=x2-3x+2的圖象,則a的值為.解析:將函數(shù)y=x2+x的圖象向右平移a(a0)個單位長度后,對應函數(shù)的解析式為y=(x-a)2+(x-a)=x2-(2a-1)x+a2-a,由題意得x2-(2a-1)x+a2-a=x2-3x+2,故2a-1=3,a2-a=2,解得a=2.答案:215.有外表一樣,質量不同的四個小球,它們的質量分別是a,b,c,d,已知a+b=c+

6、d,a+db+c,a+cb+c,所以2a2c,即ac.故bd.因為a+c0,所以abac.答案:dbac16.已知關于x的一元二次函數(shù)y=ax2-2x+c的值域為0,+),則9a+1c的最小值為.解析:由關于x的一元二次函數(shù)y=ax2-2x+c的值域為0,+),可得a0,且判別式=4-4ac=0,所以ac=1,且a0,c0,可得9a+1c29ac=23=6,當且僅當9a=1c,即c=13,a=3時,等號成立.答案:6三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知集合a=x|x2-4x-50,b=x|2axa+2.(1)若a=-1,求ab和ab

7、;(2)若ab=b,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)集合a=x|x2-4x-50=x|x-1,或x5,當a=-1時,b=x|-2x1;ab=x|-2x-1,ab=x|x1,或x5;(2)ab=b,ba.若b=,則2aa+2,解得a2;若b,則2aa+2,a+2-1,或2a5,解得a-3.綜上,實數(shù)a的取值范圍是a2,或a-3.18.(12分)已知一元二次函數(shù)f(x)=x2-4x.(1)若f(x)在區(qū)間2a-1,+)上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍;(2)當x1,7時,求f(x)的值域.解:(1)函數(shù)f(x)=x2-4x的圖象的對稱軸為直線x=2,f(x)在區(qū)間2a-1,+)上單調遞增,2a-12,

8、解得a32.故所求實數(shù)a的取值范圍是a32.(2)函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線,且對稱軸為直線x=2,結合圖象(圖略)知,在x1,7上,當x=2時,f(x)取得最小值,且f(x)min=22-42=-4;當x=7時,f(x)取得最大值,且f(x)max=72-47=21.函數(shù)f(x)的值域為-4,21.19.(12分)已知a0,b0,a+b=2.(1)求1a+4b的最小值;(2)求證:ab(a+b)a+b1.(1)解:a+b=2,且a0,b0,1a+4b=12a+ba+4(a+b)b=125+ba+4ab125+2ba4ab=92,當且僅當a+b=2,ba=4ab,即a=23,b=43

9、時等號成立.故1a+4b的最小值為92.(2)證明:a0,b0,a+b=2,ab(a+b)a+b=a+b2aba+b2a+b22=1,當且僅當a=b=1時等號成立.20.(12分)已知關于x的不等式ax-5x2-a0的解集為m.(1)若3m,且5m,求實數(shù)a的取值范圍;(2)當a=4時,求集合m.解:(1)由3m,知3a-59-a0,解得a9;若5m,則5a-525-a0,解得a25.則由5m,知1a25.因此所求a的取值范圍是1a53,或9a25.(2)當a=4時,有4x-5x2-40.4x-5x2-40,x2-40,或4x-50x54,-2x2,或x54,x254x2,或x-2.故m=xx

10、-2,或54x2.21.(12分)求ax2+2x+1=0至少有一個負實數(shù)根的充要條件.解:(1)當a=0時,原方程變?yōu)?x+1=0,即x=-12,符合要求.(2)當a0時,ax2+2x+1=0為關于x的一元二次方程,它有實根的充要條件是0,即4-4a0,得a1.設方程ax2+2x+1=0的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則方程ax2+2x+1=0有一個負實數(shù)根的充要條件是0,x1x20,即a1,1a0,a0.方程ax2+2x+1=0有兩個負實數(shù)根的充要條件是0,x1+x20,即a1,-2a0,0a1.綜上所述,ax2+2x+1=0至少有一個負實數(shù)根的充要條件為a1.22.(12分)某摩托車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛,出廠價為1.2萬元/輛,年銷售量為1 000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本.若每輛摩托車投入成本增加的比例為x(0x1),則出廠價相應提高的比例為0.75x,同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=(出廠價-投入成本)年銷售量.(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式