2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率、統(tǒng)計(jì)的綜合題教案 北師大版

1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率、統(tǒng)計(jì)的綜合題教案 北師大版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率、統(tǒng)計(jì)的綜合題教案 北師大版年級(jí)：姓名：概率、統(tǒng)計(jì)的綜合題考試要求能從研究對(duì)象中獲取數(shù)據(jù)，會(huì)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，構(gòu)建模型等 考點(diǎn)一概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)

2、際問(wèn)題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問(wèn)題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái)，只有這樣才能有效地解決問(wèn)題 典例1從某技術(shù)公司開(kāi)發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值(記為z)，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)公司規(guī)定：當(dāng)z95時(shí)，產(chǎn)品為正品；當(dāng)z95時(shí)，產(chǎn)品為次品公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元記為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，z服從正態(tài)分布n(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)利用該正態(tài)分布，求p(87.8z112.2)；某

3、客戶從該公司購(gòu)買了500件這種產(chǎn)品，記x表示這500件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求ex.附：12.2.若zn(，2)，則p(z)0.682 7，p(2z2)0.954 5.解(1)由頻率估計(jì)概率，產(chǎn)品為正品的概率為(0.0330.0240.0080.002)100.67，所以隨機(jī)變量的分布列為9030p0.670.33所以e900.67(30)0.3350.4.(2)由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100，s

4、2(30)20.02(20)20.09(10)20.22020.331020.242020.083020.02150.因?yàn)閦n(100,150)，從而p(87.8z112.2)p(10012.2z10012.2)0.682 7.由知，一件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的概率為0.6827，依題意知xb(500，0.682 7)，所以ex5000.682 7341.35.點(diǎn)評(píng)：本題以統(tǒng)計(jì)圖表為載體，將正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起，體現(xiàn)了知識(shí)的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義，掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類概率的計(jì)算方法及均值與方差的運(yùn)算是

5、解決問(wèn)題的關(guān)鍵經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)以往資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以x(單位：t,100x150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，t(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)(1)將t表示為x的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)t不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量x100,110)，則取x105，

6、且x105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求t的均值解(1)當(dāng)x100,130)時(shí)，t500x300(130x)800x39 000.當(dāng)x130,150時(shí)，t50013065 000.所以t(2)由(1)知利潤(rùn)t不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120x150.由直方圖知需求量x120,150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)t不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得t的分布列為t45 00053 00061 00065 000p0.10.20.30.4所以et45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400. 考點(diǎn)二概率

7、與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用 概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用常涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識(shí)別與應(yīng)用、數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)典例2(2020西安五校聯(lián)考)為加快經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級(jí)，加大技術(shù)研發(fā)力度，某市建立高新科技研發(fā)園區(qū)，并力邀某高校入駐該園區(qū)為了解教職工意愿，該高校在其所屬的8個(gè)學(xué)院的教職工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)”的問(wèn)卷調(diào)查，8個(gè)學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：調(diào)查人數(shù)x1020304050607080愿意整體搬遷人數(shù)y817253139475566(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量y關(guān)于變

8、量x的線性回歸方程x(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字)；若該校共有教職工2 500人，請(qǐng)預(yù)測(cè)該校愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的人數(shù)(2)若該校的8位院長(zhǎng)中有5位院長(zhǎng)愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長(zhǎng)中隨機(jī)選取4位院長(zhǎng)組成考察團(tuán)赴研發(fā)園區(qū)進(jìn)行實(shí)地考察，記x為考察團(tuán)中愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的院長(zhǎng)人數(shù)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望參考公式及數(shù)據(jù)：，xiyi16 310，x20 400.解(1)由已知得45，36，0.80，360.80450，故變量y關(guān)于變量x的線性回歸方程為0.80x.所以當(dāng)x2 500時(shí)，y2 5000.802 000，所以該校愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的人數(shù)約為2

9、000.(2)由題意可知x的可能取值為1,2,3,4.p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以x的分布列為x1234p故ex1234.點(diǎn)評(píng)：在兩個(gè)變量的回歸分析中要注意以下2點(diǎn)(1)求回歸直線方程要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算(2)借助散點(diǎn)圖，觀察兩個(gè)變量之間的關(guān)系若不是線性關(guān)系，則需要根據(jù)相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系某健身館在2020年7,8兩個(gè)月推出優(yōu)惠項(xiàng)目吸引了一批客戶為預(yù)估2021年7,8兩個(gè)月客戶投入的健身消費(fèi)金額，健身館隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了2020年7,8兩個(gè)月100名客戶的消費(fèi)金額(單位：元)，分組如下：0,200)，200,400)，400,600)，1 000，1

10、200，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)請(qǐng)用抽樣的數(shù)據(jù)預(yù)估2021年7,8兩個(gè)月健身客戶人均消費(fèi)的金額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)若把2020年7,8兩個(gè)月健身消費(fèi)金額不低于800元的客戶稱為“健身達(dá)人”經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，請(qǐng)補(bǔ)全空格處的數(shù)據(jù)，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)？健身達(dá)人非健身達(dá)人總計(jì)男10女30總計(jì)(3)為吸引顧客，在健身項(xiàng)目之外，該健身館特推出健身配套營(yíng)養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案方案一：每滿800元可立減100元；方案二：金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)1次打9

11、折， 中獎(jiǎng)2次打8折，中獎(jiǎng)3次打7折若某人打算購(gòu)買1 000元的營(yíng)養(yǎng)品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種促銷方案附：p(2k)0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8792.解(1)因?yàn)?020年7,8兩個(gè)月這100名客戶消費(fèi)金額的平均值為(1000.000 503000.000 755000.001 007000.001 259000.001 001 1000.000 50)200620(元)，所以預(yù)估2021年7,8兩個(gè)月健身客戶人均消費(fèi)金額為620元(2)列聯(lián)表如下：健身達(dá)人非健身達(dá)人總計(jì)男104050女20305

12、0總計(jì)3070100因?yàn)?4.7623.841，所以有95%的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)(3)若選擇方案一，則需付款900元；若選擇方案二，設(shè)需付款x元，則x的可能取值為700,800,900,1 000，p(x700)c3，p(x800)c3，p(x900)c3，p(x1 000)c3，所以ex7008009001 000850(元)因?yàn)?50900，所以選擇方案二更劃算 考點(diǎn)三概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、數(shù)列的交匯問(wèn)題 由于隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率p0,1，故常先借助概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)建立有關(guān)p的函數(shù)解析式或遞推關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上借助函數(shù)或?qū)?shù)、數(shù)列等知識(shí)求解相應(yīng)問(wèn)題典例3某商場(chǎng)以分期付款方式銷售某商品，

13、根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為234p0.4ab其中0a1,0b1.(1)求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；(2)商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為300元商場(chǎng)銷售兩件該商品所獲得的利潤(rùn)記為x(單位：元)求x的分布列；若p(x500)0.8，求x的數(shù)學(xué)期望ex的最大值解(1)設(shè)購(gòu)買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，依題意得b(3,0.4)，則p(2)c(0.4)2(10.4)0.288，購(gòu)買該商品的3位顧客中

14、，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.(2)依題意x的取值分別為400,450,500,550,600，p(x400)0.40.40.16，p(x450)20.4a0.8a，p(x500)20.4ba20.8ba2，p(x550)2ab，p(x600)b2.x的分布列為：x400450500550600p0.160.8a0.8ba22abb2p(x500)p(x400)p(x450)p(x500)0.160.8(ab)a2，根據(jù)0.4ab1，得ab0.6，b0.6a，p(x500)0.8，0.160.48a20.8，解得a0.4或a0.4，a0，a0.4，b0，0.6a0，解得a0.6，

15、a0.4,0.6)，ex4000.164500.8a500(0.8ba2)1 100ab600b2520100a，當(dāng)a0.4時(shí)，ex的最大值為480，x的數(shù)學(xué)期望ex的最大值為480.點(diǎn)評(píng)：本例融概率、分布列、函數(shù)于一體，體現(xiàn)了高考命題的最新動(dòng)向，求解時(shí)可先借助分布列的性質(zhì)及題設(shè)條件“p(x500)0.8”探求得到參數(shù)a的范圍，然后借助數(shù)學(xué)期望公式建立關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)關(guān)系式，并通過(guò)二次函數(shù)求得數(shù)學(xué)期望ex的最大值(2020長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)某市有一家大型共享汽車公司，在市場(chǎng)上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的汽車，已知黃、藍(lán)兩種顏色的汽車的投放比例為31.監(jiān)管部門(mén)為了了解這兩種顏色汽車的質(zhì)量，決定從

16、投放到市場(chǎng)上的汽車中隨機(jī)抽取5輛汽車進(jìn)行試駕體驗(yàn)，假設(shè)每輛汽車被抽取的可能性相同(1)求抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍(lán)色汽車的概率；(2)在試駕體驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)藍(lán)色汽車存在一定質(zhì)量問(wèn)題，監(jiān)管部門(mén)決定從投放的汽車中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門(mén)作進(jìn)一步抽樣檢測(cè)，并規(guī)定：若抽到的是黃色汽車，則將其放回市場(chǎng)，并繼續(xù)隨機(jī)地抽取下一輛汽車；若抽到的是藍(lán)色汽車，則抽樣結(jié)束抽樣的次數(shù)不超過(guò)n(nn*)次在抽樣結(jié)束時(shí)，若已抽到的黃色汽車數(shù)以表示，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)隨機(jī)地抽取一輛汽車是藍(lán)色汽車的概率為，用x表示“抽取的5輛汽車中藍(lán)色汽車的輛數(shù)”，則x服從二項(xiàng)分布，即xb，所以抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍(lán)色汽車

17、的概率pc32.(2)的可能取值為0,1,2，n.p(0)，p(1)，p(2)2，p(n1)n1，p(n)n.所以的分布列為012n1np2n1n的數(shù)學(xué)期望e12233(n1)n1nn，e()1223(n2)n1(n1)nnn1.得e23n123n1n，所以e23n1n333n.核心素養(yǎng)6用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界數(shù)據(jù)分析與建模求解數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識(shí)的過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)，養(yǎng)成通

18、過(guò)數(shù)據(jù)思考問(wèn)題的習(xí)慣，積極依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).概率與頻率分布的綜合應(yīng)用某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，結(jié)果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組：第一組45,50)，第二組50,55)，第六組70,75)，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示，以樣本的頻率作為總體的概率 圖1圖2(1)求頻率分布直方圖中a，b，c的值；(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記x為體重在55,65)的人數(shù)，求x的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

19、(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布n(，2)，其中60，225.若p(22)0.954 5，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的試判斷該校學(xué)生的體重是否正常？并說(shuō)明理由解(1)由題圖2知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人，用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為0.02，則a0.004，在50,55)上有13人，該組的頻率為0.13，則b0.026，所以2c0.14，即c0.07.(2)用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重在55,65)的概率為0.07100.7，隨機(jī)抽取3人，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布b(

20、3,0.7)，則p(x0)c0.700.330.027，p(x1)c0.710.320.189，p(x2)c0.720.310.441，p(x3)c0.730.300.343，所以，x的概率分布列為：x0123p0.0270.1890.4410.343ex30.72.1.(3)由n(60,25)得5，由圖(1)知p(22)p(5070)0.960.954 5.所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的評(píng)析本題以學(xué)生體重情況為背景，設(shè)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模(用頻率估計(jì)概率、正態(tài)分布)、數(shù)學(xué)運(yùn)算(求平均數(shù)、方差、求概率)、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數(shù)方差，由正態(tài)分布求概率

21、及期望)的學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)了統(tǒng)計(jì)意識(shí)，經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)作出推斷”的全過(guò)程某基地蔬菜大棚采用無(wú)土栽培的方式種植各類蔬菜根據(jù)過(guò)去50周的資料顯示，該地周光照量x(小時(shí))都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過(guò)70小時(shí)的有35周，超過(guò)70小時(shí)的有10周根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(千克)之間的關(guān)系為如圖所示的折線圖(1)依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明(精確到0.01)(若|r|0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)(2)蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量x限制，并有如下關(guān)系：周光照量x (單位：小時(shí))30x5050x70x70光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)321若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則