2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教案 北師大版

1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教案 北師大版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教案 北師大版年級：姓名：等差數(shù)列及其前n項和考試要求1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系1等差數(shù)列(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示數(shù)學(xué)語言表示為an1and(nn*)，d為

2、常數(shù)(2)等差中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)a，使a，a，b成等差數(shù)列，那么a叫作a與b的等差中項，即a.2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1(n1)d.(2)前n項和公式：snna1d.3等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)d0時，等差數(shù)列an的通項公式andn(a1d)是關(guān)于d的一次函數(shù)(2)當(dāng)d0時，等差數(shù)列an的前n項和snn2n是關(guān)于n的二次函數(shù)4等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列an中，a10，d0，則sn存在最大值；若a10，則sn存在最小值等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mn*)(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則am

3、anapaq(m，n，p，qn*)(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列sm，s2msm，s3ms2m，(mn*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.(5)若an是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項與an的首項相同，公差是an的公差的.(6)若等差數(shù)列an的項數(shù)為偶數(shù)2n，則s2nn(a1a2n)n(anan1)；s偶s奇nd，.(7)若an，bn均為等差數(shù)列且其前n項和為sn，tn，則.(8)若等差數(shù)列an的項數(shù)為奇數(shù)2n1，則s2n1(2n1)an1；.一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與

4、它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列()(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. ()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nn*，都有2an1anan2.()(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1等差數(shù)列an中，a4a810，a106，則公差d等于()a b c2 daa4a82a610，a65，又a106，公差d.故選a.2設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和為sn，若a62且s530，則s8等于()a31b32 c33d34b設(shè)數(shù)列an的公差為d，法一：由s55a330得a36，又a62，s832.法二：由得s88

5、a1d82832.3已知等差數(shù)列8，3,2,7，則該數(shù)列的第100項為_487依題意得，該數(shù)列的首項為8，公差為5，所以a1008995487.4某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，則劇場總共的座位數(shù)為_820設(shè)第n排的座位數(shù)為an(nn*)，數(shù)列an為等差數(shù)列，其公差d2，則ana1(n1)da12(n1)由已知a2060，得60a12(201)，解得a122，則劇場總共的座位數(shù)為820. 考點一等差數(shù)列基本量的運算 解決等差數(shù)列運算問題的思想方法1(2019全國卷)記sn為等差數(shù)列an的前n項和已知s40，a55，則()aan2n5ban3n10csn2n2

6、8ndsnn22na設(shè)首項為a1，公差為d.由題知，解得an2n5，snn24n，故選a.2(2018全國卷)記sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3s3s2s4，a12，則a5等于()a12b10 c10d12b設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3s3s2s4，得32a1d4a1d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故選b.3算法統(tǒng)宗是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二

7、百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推在這個問題中，記這位公公的第n個兒子的年齡為an，則a1()a23b32 c35d38c由題意可知年齡構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為3，則9a1(3)207，解得a135，故選c.點評：涉及等差數(shù)列基本量的運算問題其關(guān)鍵是建立首項a1和公差d的等量關(guān)系 考點二等差數(shù)列的判定與證明 等差數(shù)列的判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法若anan1(n2，nn*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項法2anan1an1(n2，nn*)成立an是等差數(shù)列通項公式法anpnq(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n

8、項和公式法驗證snan2bn(a，b是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列典例1若數(shù)列an的前n項和為sn，且滿足an2snsn10(n2)，a1.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)證明：當(dāng)n2時，由an2snsn10，得snsn12snsn1，因為sn0，所以2，又2，故是首項為2，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)可得2n，所以sn.當(dāng)n2時，ansnsn1.當(dāng)n1時，a1不適合上式故an點評：證明成等差數(shù)列的關(guān)鍵是為與n無關(guān)的常數(shù)，同時注意求數(shù)列an的通項公式時務(wù)必檢驗其通項公式是否包含n1的情形已知數(shù)列an滿足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)

9、求a2，a3；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求an的通項公式解(1)由已知，得a22a14，則a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以數(shù)列是首項1，公差d2的等差數(shù)列則12(n1)2n1，所以an2n2n. 考點三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個關(guān)注點(1)兩項和的轉(zhuǎn)換是最常用的性質(zhì)，利用2amamnamn可實現(xiàn)項的合并與拆分，在sn中，sn與a1an可相互轉(zhuǎn)化(2)利用sm，s2msm，s3ms2m成等差數(shù)列，可求s2m或s3m.等差數(shù)列項的性質(zhì)典例21(1)已知數(shù)列

10、an是等差數(shù)列，若a94，a5a6a76，則s14()a84b70 c49d42(2)已知在等差數(shù)列an中，a5a64，則log2(2a12a22a10)()a10b20 c40d2log25(3)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37等于()a0b37 c100d37(1)d(2)b(3)c(1)因為a5a6a73a66，所以a62，又a94，所以s147(a6a9)42.故選d.(2)log2(2a12a22a10)log22a1log22a2log22a10a1a2a105(a5a6)5420.故選b.(3)設(shè)an，bn的公差分別為d1，d2，

11、則(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn為等差數(shù)列又a1b1a2b2100，所以anbn為常數(shù)列，所以a37b37100.點評：一般地amanamn，等號左右兩邊必須是兩項相加，當(dāng)然也可以是amnamn2am.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)典例22(1)已知等差數(shù)列an的前n項和為sn.若s57，s1021，則s15等于()a35b42 c49d63(2)已知sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a12 018，6，則s2 021_.(1)b(2)4 042(1)由題意知，s5，s10s5，s15s10成等差數(shù)列，即7,14，s1521成等差數(shù)列，s1521728，s

12、1542，故選b.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則6d6，d1，2 020d2 0182 0202，s2 0214 042.點評：本例(2)，也可以根據(jù)條件先求出a1，d，再求結(jié)果，但運算量大，易出錯1已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，若m1，且am1am1a10，s2m139，則m等于()a39b20 c19d10b數(shù)列an為等差數(shù)列，則am1am12am，則am1am1a10可化為2ama10，解得am1.又s2m1(2m1)am39，則m20.故選b.2等差數(shù)列an中，a13a8a15120，則2a9a10的值是()a20b22 c24d8c因為a13a8a155

13、a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.3設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為sn，tn，若對任意的nn*，都有，則的值為()a. b. c. d.c由題意可知b3b13b5b11b1b152b8，.故選c. 考點四等差數(shù)列的前n項和及其最值 求等差數(shù)列前n項和sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式snan2bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項變號法：當(dāng)a10，d0時，滿足的項數(shù)m使得sn取得最大值為sm；當(dāng)a10時，滿足的項數(shù)m使得sn取得最小值為sm.典例3等差數(shù)列an的前n項和為sn，已知a113，s3s11，當(dāng)

14、sn最大時，n的值是()a5b6 c7d8c法一：(鄰項變號法)由s3s11，得a4a5a110，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7a80.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列為遞減數(shù)列，從而得到a70，a80，當(dāng)n14時，an0.所以當(dāng)n12或n13時，sn取得最大值法二：sn20nn2n2.因為nn*，所以當(dāng)n12或n13時，sn有最大值法三：由s10s15，得a11a12a13a14a150.所以5a130，即a130.所以當(dāng)n12或n13時，sn有最大值點評：本例用了三種不同的方法，其中方法一是從項的角度分析函數(shù)最值的變化；方法二、三是借助二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)給予解答，三種方法各有優(yōu)點，靈活運用是解答此類問題的關(guān)鍵1設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，sn為其前n項和，若s65a110d，則sn取最大值時，n的值為()a5b6 c5或6d11c由題意得s66a115d5a110d，化簡得a15d，所以a60，故當(dāng)n5或6時，sn最大2(2019北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列(1)求a