2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 正、余弦定理及解三角形試題2

1、2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 正、余弦定理及解三角形試題22022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 正、余弦定理及解三角形試題2年級：姓名：第 11 頁 共 11 頁第四章三角函數(shù)、解三角形第四講正、余弦定理及解三角形1.2021湖北省四地七校聯(lián)考在一幢20 m高的樓頂測得對面一座塔吊頂?shù)难鼋菫?0,塔基的俯角為45,如圖4-4-1,那么這座塔吊的高是()a.20(1+33) m b.20(1+3) mc.10(6+2) m d.20(6+2) m 圖4-4-12.2021南京市學情調(diào)研在abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c.若2bc

2、os c2a-c,則角b的取值范圍是()a.(0,3b.(0,23c.3,)d.23,)3.2021貴陽市四校第二次聯(lián)考已知abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別是a,b,c,若bsina=2csin b,cosb=14,b=3,則abc的面積為()a.915b.91516c.31516d.9164.2020南昌三模在abc中,角a,b,c所對應的邊分別為a,b,c,若ca+b+ba+c=1,則下列說法不一定成立的是()a.abc可能為正三角形b.角a,b,c成等差數(shù)列c.角b可能小于3d.b+c為定值5.2020大同市高三調(diào)研在abc中,b=4,bc邊上的高等于13bc,則sinbac=.6.20

3、21洛陽市統(tǒng)考在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,若2c-ba=sin ctana-cos c.(1)求a;(2)若b=32,c=2,點d為bc的中點,求a及ad.7.2020長春市質(zhì)檢abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,a=btana,ab.(1)求證:abc是直角三角形.(2)若c=10,求abc的周長的取值范圍.8.2020惠州市模擬已知abc的內(nèi)角a,b,c滿足sina-sinb+sincsinc=sinbsina+sinb-sinc.(1)求角a;(2)若abc的外接圓的半徑為1,求abc的面積s的最大值.9.2021江西重點中學第二次聯(lián)考在abc中,角a,

4、b,c所對的邊分別為a,b,c,若sin bsinc=3sin a,abc的面積為332,a+b=33,則c=()a.21b.3c.21或3d.21或310.2021晉南高中聯(lián)考平面四邊形abcd為凸四邊形,且a=60,addc,ab=3,bd=2,則bc的取值范圍為()a.72,2)b.(72,2)c.(2,7)d.72,7)11.2021福建五校第二次聯(lián)考銳角abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c且a=1, bcosa-cos b=1,若a,b變化時,sin b-2sin2a存在最大值,則正數(shù)的取值范圍是()a.(0,33)b.(0,12)c.(33,22)d.(12,1)12.20

5、20四川五校聯(lián)考在abc中,角a的平分線交bc于點d,bd=2cd=2,則abc面積的最大值為()a.32b.22c.3d.413.2020陜西省百校聯(lián)考在abc中,d為ac的中點,若ab=463,bc=2,bd=5,則cosabc=,sinc=.14.2020福建寧德模擬海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞.若要測量如圖4-4-2所示的海洋藍洞的口徑(即a,b兩點間的距離),現(xiàn)取兩點c,d,測得cd=80 m,adb=135,bdc=dca=15,acb=120,則圖4-4-2中海洋藍洞的口徑為m.圖4-4-215.2

6、021陜西百校聯(lián)考已知abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c.(1)若a2,且csin 2a=4cos asinc,求a的值;(2)若sin a,sinb,sinc成等差數(shù)列,求b的最大值.16.在abc中,角a與角b的內(nèi)角平分線交于點i,且5+4cos(a+b)=4sin2c.(1)求角c的大小;(2)若abc的外接圓半徑為4,求abi周長的最大值.17.在abc中,ab=4,bc=3,則當函數(shù)f(b)=cos 2b-cos(b+3)-3sin(b+3)+5取得最小值時,ac=()a.13b.23c.4d.218.在abc中,若sin(2-b)=cos 2a,則ac-bcab的取值范圍

7、為()a.(-1,12)b.(13,12)c.(12,23)d.(13,23)19.2020洛陽市聯(lián)考已知a,b,c分別是abc的內(nèi)角a,b,c的對邊,且滿足(a+b+c)(sin b+sinc-sin a)=bsinc.(1)求角a的大小;(2)設a=3,s為abc的面積,求s+3cos bcosc的最大值.答 案第四講正、余弦定理及解三角形1.b由題圖知be的長度即所求塔吊的高.易知四邊形abcd為正方形,cd=bc=ad=20 m.在rtdce中,edc=60,ec=cdtanedc=203(m),這座塔吊的高be=bc+ce=(20+203) =20(1+3)(m).故選b.2.a由2

8、bcos c2a-c及余弦定理,得2ba2+b2-c22ab2a-c,整理,得a2+c2-b2ac1,即2cos b1,所以cos b12,所以b(0,3,故選a.3.b因為bsina=2csin b,所以由正弦定理得a=2c,因為cos b=14,b=3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得9=4c2+c2-22cc14,解得c=32,所以a=3.因為b(0,),所以sin b=1-cos2b=154,所以abc的面積sabc=12acsin b=12332154=91516,故選b.4.b由ca+b+ba+c=1,得c(a+c)+b(a+b)(a+b)(a+c)=1,即c2

9、+b2+ac+ab=a2+bc+ab+ac,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=12,由于0a,所以a=3,所以b+c=23為定值.當且僅當a=b=c=3時,abc是正三角形,故abc可能為正三角形.若角a,b,c成等差數(shù)列,則 2b=a+c=3+c,又b+c=23,所以b=c=3,即當且僅當b=c=a=3時,角a,b,c成等差數(shù)列,故角a,b,c可能成等差數(shù)列,故b選項錯誤.因為b+c=23,所以角b可能小于3.故選b.5.31010解法一記內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,作adbc交bc于點d,則ad=13a,abc的面積s=12a13a=12a

10、csin b,可得a=322c.由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得b=102c.由正弦定理得322csinbac=102csinb,所以sinbac=31010.解法二作adbc交bc于點d,則ad=13bc,設bc=3,則ad=1.由b=4,可知bd=1,則dc=2,ac=5.由正弦定理得sinbacsin4=35,所以sinbac=3522=31010.6.(1)由題意及正弦定理,原式可化為2sinc-sin b=sin a(sin ctana-cos c),即2sin c-sin (a+c)=sin a(sin ctana-cos c),所以2sin c-sin acosc

11、-cos asinc=sin csin2acosa-sin acosc,化簡可得2sin c-cos asinc=sin csin2acosa,因為sin c0,(此條件不能省略)所以sin2acosa+cos a=2,即sin2a+cos2a=2cos a,所以cos a=22,又0ab,知ab,所以b+a+2=,即a+b=2,所以abc是直角三角形.(2)abc的周長l=10+10sin a+10cos a=10+102sin(a+4),由ab可知,4a2,因此22sin(a+4)1,即20l10+102.故abc的周長的取值范圍為(20,10+102).8.(1)記abc的內(nèi)角a,b,c

12、的對邊分別為a,b,c,則由正弦定理和已知條件,得a-b+cc=ba+b-c,化簡得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=12,0a,a=3.(2)記abc外接圓的半徑為r,由正弦定理得asina=2r,得a=2rsin a=2sin3=3,由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(當且僅當b=c時取等號),故s=12bcsin a12332=334(當且僅當b=c時取等號).即abc的面積s的最大值為334.9.d因為sin bsinc=3sin a,sinb0,所以sin c=3sinasinb=3ab,又abc的面積為332,所

13、以12absin c=32a2=332,解得a=3.又a+b=33,所以b=23,sin c=32,當0c,所以cos c=12或cos c=-12.當cos c=12時,c=a2+b2-2abcosc=3,當cos c=-12時,c=a2+b2-2abcosc=21.故選d.10.d在abd中,設ad=x,則由余弦定理得bd2=ab2+ad2-2abadcosa,即x2-3x-1=0,得ad=x=3+72.已知adcd,a=60,延長ab,dc交于點e,所以在rtade中,e=30,ae=2ad=3+7,因為ab=3,所以be=7,所以當bccd時,bc最短,此時,在rtbce中,bc=12

14、be=72.在bde中,bd=2,be=7,所以bcbe=7,所以bc的取值范圍是72,7).故選d.11.aa=1,bcos a-acosb=a,由正弦定理得sin bcosa-sin acosb=sin a,即sin(b-a)=sin a,b-a=a或b-a=-a,b=2a或b=(舍).abc為銳角三角形,0a2,0b=2a2,2a+b=3a,解得6a4.解法一sin b-2sin2a=sin 2a-(1-cos 2a)=sin 2a+cos 2a-=1+2sin(2a+)-(其中tan =).32a2,要使sin b-2sin2a取得最大值,只需存在,滿足2a+=2,06,tan 0=t

15、an tan 6,即033.故選a.解法二sin b-2sin2a=sin 2a-2sin2a,令f(a)=sin 2a-2sin2a(6a4),則f(a)=2cos 2a-2sin 2a=2cos 2a(1-tan 2a).當tan 2a0,f(a)單調(diào)遞增,當tan 2a1時,f(a)0,ac0,所以cos b=38(ca+ac)-14382caac-14=12,當且僅當ca=ac,即a=c時,“=”成立.因為cos b1,所以cos b12,1),因為b(0,),(角b的范圍要寫上)所以b(0,3,所以b的最大值為3.16.(1)a+b+c=,a+b=-c,cos(a+b)=-cos c

16、.5+4cos(a+b)=4sin2c,5-4cos c=4(1-cos2c),即4cos2c-4cos c+1=0,解得cos c=12,又0c,c=3.(2)設abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,abc的外接圓半徑為4,由正弦定理得csinc=8.c=3,c=43,abc+bac=23,又角a與角b的內(nèi)角平分線交于點i,abi+bai=3,aib=23.設abi=,則03,bai=3-.在abi中,由正弦定理bisin(3-)=aisin=absinaib=8,得bi=8sin(3-),ai=8sin ,abi的周長為43+8sin(3-)+8sin =8sin(+3)+43.0

17、3,3+323,當+3=2,即=6時,abi的周長取得最大值,為8+43,abi周長的最大值為8+43.17.a由題意知函數(shù)f(b)=2cos2b-1-2cos(b+3-3)+5=2cos2b-2cos b+4=2(cos b-12)2+72,所以當cos b=12時,函數(shù)f(b)取得最小值,此時,由余弦定理,得ac=ab2+bc2-2abbccosb=42+32-24312=13.18.b因為sin(2-b)=cos 2a,所以cos b=cos 2a,又a,b,c為abc的內(nèi)角,所以b=2a,a3.由正弦定理得ac-bcab=sinb-sinasinc=sinb-sinasin(a+b)=sin2a-sinasinacos2a+cosasin2a=2sinacosa-sinasina(2cos2a-1)+2sinacos2a=2cosa-14cos2a-1=12cosa+1,由0b,0c,得02a,0-3a,得0a3,故12cos a1,所以ac-bcab的取值范圍為(13,12),故選b.19.(1)(a+b+c)(sin b+sinc-si