大學(xué)物理第1章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、大學(xué)物理 第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) 1.1.11.1.1、參考系、參考系( (reference frame) )和坐標(biāo)系和坐標(biāo)系( (coordinate) ) 參考系參考系：為了描述物體的運(yùn)動(dòng)而選取的參考標(biāo)準(zhǔn)物體。：為了描述物體的運(yùn)動(dòng)而選取的參考標(biāo)準(zhǔn)物體。 （運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性）（運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性） 在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，參考系的選擇是任意的；在動(dòng)力學(xué)中則不然在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，參考系的選擇是任意的；在動(dòng)力學(xué)中則不然 坐標(biāo)系坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等、自然坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等. . 說(shuō)明說(shuō)明 1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)的一些基本概念運(yùn)動(dòng)學(xué)的一些基本概念 1.1.21.1.2、時(shí)間和空

2、間的計(jì)量、時(shí)間和空間的計(jì)量 時(shí)間表征物理事件的順序性和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的持續(xù)性。時(shí)間表征物理事件的順序性和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的持續(xù)性。時(shí)間測(cè)量的時(shí)間測(cè)量的 標(biāo)準(zhǔn)單位是秒。標(biāo)準(zhǔn)單位是秒。1967年定義秒為銫年定義秒為銫133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì) 能級(jí)之間躍遷輻射周期的能級(jí)之間躍遷輻射周期的9192631770倍。量度時(shí)間范圍從宇宙倍。量度時(shí)間范圍從宇宙 年齡年齡1018s(約約200億年）到微觀粒子的最短壽命億年）到微觀粒子的最短壽命 10-24s.極限的時(shí)極限的時(shí) 間間隔為普朗克時(shí)間間間隔為普朗克時(shí)間10-43s,小于此時(shí)間，現(xiàn)有的時(shí)間概念就不適小于此時(shí)間，現(xiàn)有的時(shí)間概念就不適 用了。用了。

3、 1 1、時(shí)間及其計(jì)量、時(shí)間及其計(jì)量 2 2、空間及其計(jì)量、空間及其計(jì)量 空間反映物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的廣延性。空間反映物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的廣延性。在巴黎國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)局在巴黎國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)局標(biāo)準(zhǔn)米尺；標(biāo)準(zhǔn)米尺； 1983年定義米為真空中光在年定義米為真空中光在1/299792458s時(shí)間內(nèi)所行經(jīng)的距離。時(shí)間內(nèi)所行經(jīng)的距離。 空間范圍從宇宙范圍的尺度空間范圍從宇宙范圍的尺度1026 m(約約200億光年）到微粒的尺度億光年）到微粒的尺度 10-15 m.極限的空間長(zhǎng)度為普朗克長(zhǎng)度極限的空間長(zhǎng)度為普朗克長(zhǎng)度10-35m,小于此值，現(xiàn)有的小于此值，現(xiàn)有的 空間概念就不適用了?？臻g概念就不適用了。 1.1.31.1.3、質(zhì)點(diǎn)（、質(zhì)點(diǎn)

4、（mass point） 相對(duì)性；理想模型；質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)相對(duì)性；理想模型；質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ). . 具有物體的質(zhì)量，沒(méi)有形狀和大小的幾何點(diǎn)。具有物體的質(zhì)量，沒(méi)有形狀和大小的幾何點(diǎn)。 說(shuō)明說(shuō)明 在不能把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，可把整個(gè)物體視為由許多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組在不能把物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，可把整個(gè)物體視為由許多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組 成的質(zhì)點(diǎn)系，弄清每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，就可以了解整個(gè)物體成的質(zhì)點(diǎn)系，弄清每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，就可以了解整個(gè)物體 的運(yùn)動(dòng)。的運(yùn)動(dòng)。 1.2.11.2.1、位置矢量、位置矢量(position vector) 位置矢量的方向位置矢量的方向: : 位置矢量的大小：位置矢量的大?。?/p>

5、 r z r y r x cos ,cos , cos 在直角坐標(biāo)系中位置矢量為在直角坐標(biāo)系中位置矢量為: : kzjyixr 222 zyxrr 1.2 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本物理量描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本物理量 參考系參考系坐標(biāo)系坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸原點(diǎn)和坐標(biāo)軸鐘鐘 在直角坐標(biāo)系中，在在直角坐標(biāo)系中，在t 時(shí)刻某質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻某質(zhì)點(diǎn) 在點(diǎn)在點(diǎn)P的位置可用坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置可用坐標(biāo)系原點(diǎn)O指向點(diǎn)指向點(diǎn) P的有向線(xiàn)段的有向線(xiàn)段 表示，矢量表示，矢量 稱(chēng)為位稱(chēng)為位 置矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)位矢置矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)位矢. . r r 1.2.21.2.2、運(yùn)動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)方程 質(zhì)點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的函數(shù)

6、關(guān)系，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 ktzjtyitxr )()()( 在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中， ),(zyxx 根據(jù)軌跡的形狀，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分為根據(jù)軌跡的形狀，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) 和和 曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)在空間連續(xù)經(jīng)過(guò)的各點(diǎn)連成的曲線(xiàn)即質(zhì)點(diǎn)在空間連續(xù)經(jīng)過(guò)的各點(diǎn)連成的曲線(xiàn)即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。 軌跡方程軌跡方程( (trajectory) ) 從運(yùn)動(dòng)方程中消去從運(yùn)動(dòng)方程中消去t，則可得：，則可得： 或：或：)(),(),(tzztyytxx 21 rrr 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中： 從質(zhì)點(diǎn)初位置到質(zhì)點(diǎn)末位置所引的矢量從質(zhì)點(diǎn)初位置到質(zhì)點(diǎn)末位置所引的矢量

7、 定義為位移定義為位移。r 位移矢量的大小位移矢量的大小 222 zyxr 位移矢量的方向位移矢量的方向 r z , r y , r x cos cos cos 1.2.31.2.3、位移矢量、位移矢量( (displacement) ) 路程路程 kzj yixr 1111 xyz rijk 2222 xyz rijk 212121 ()()()xxyyzz rijk )| (|rrrrrr , sr 一一般般。但但srdd 和和是兩個(gè)不同的概念是兩個(gè)不同的概念r r 4 ）位移只取決于初末位置，與原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)位移只取決于初末位置，與原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān) （位矢與原點(diǎn)的選擇有關(guān)）。（位矢與原點(diǎn)的

8、選擇有關(guān)）。 3）位移與路程的區(qū)別：位移與路程的區(qū)別： 2）位移大小位移大小 與與位矢大小增量位矢大小增量 的區(qū)別：的區(qū)別： r r 說(shuō)明說(shuō)明 ?d相相等等嗎嗎drr 思考：思考： 1.2.41.2.4、速度矢量（、速度矢量（Velocity）: : 表示表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢及方向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢及方向的物理量的物理量 0 t令令 rrr 12 1、平均速度平均速度 2、速度速度 t r t r v d d lim 0t 方向沿切向，并指向前進(jìn)方向。方向沿切向，并指向前進(jìn)方向。 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中： k t z j t y i t x t r v d d d d d d d d t z v

9、 t y v t x v zyx d d , d d , d d 222 zyx vvvvv 速度大小速度大小 平均速度和平均速率；瞬時(shí)速度和瞬時(shí)速率平均速度和平均速率；瞬時(shí)速度和瞬時(shí)速率 定義：定義： t r v 定義：平均加速度定義：平均加速度 = = t v 2 2 0 t r t v t v a t d d d d lim 大?。捍笮。?t v aa d d 瞬時(shí)加速度瞬時(shí)加速度: : vvv 方向：方向： t t0 0 時(shí)時(shí) 的的極限方向極限方向。在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中，。在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中， 總是指向曲線(xiàn)的總是指向曲線(xiàn)的凹側(cè)凹側(cè)。 v 1.2.51.2.5、加速度矢量（、加速度矢量（acceler

10、ation）: :表示表示速度變化快慢速度變化快慢的物理量的物理量 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：kajaiaa zyx 222 zyx aaaaa 加速度的方向加速度的方向 加速度的大小加速度的大小 a a a a a a z y x cos ,cos ,cos 2 2 2 2 2 2 d d d d , d d d d , d d d d t z t v a t y t v a t x t v a z z y y x x 其中分量為其中分量為 運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類(lèi)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類(lèi)問(wèn)題 1、已知質(zhì)點(diǎn)的已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求質(zhì)點(diǎn)的求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度速度、加速度等問(wèn)等問(wèn) 題常稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)學(xué)

11、題常稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題第一類(lèi)問(wèn)題 2、由由加速度和初始條件加速度和初始條件求求速度方程和運(yùn)動(dòng)方程速度方程和運(yùn)動(dòng)方程的問(wèn)題稱(chēng)的問(wèn)題稱(chēng) 為運(yùn)動(dòng)學(xué)的為運(yùn)動(dòng)學(xué)的第二類(lèi)問(wèn)題第二類(lèi)問(wèn)題 微分微分 積分積分 )(trr a , v 00 , ,rva )( )( trr ,tvv 解解 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)速度的定義速度的定義 jtRitR )cos()sin( 則有則有tRv tRv yx cossin ; 速度的大小速度的大小 222 (sin)(cos) 2 xy v= vvRtRtR 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)加速度的定義加速度的定義 rjtRitR 222 )sin()cos( t r v d d t v a

12、 d d 例題例題1- -1 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是jtRitRr )sin()cos( 式中式中R,都是正值常量。都是正值常量。求質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的大小，并求質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的大小，并 討論它們的方向。討論它們的方向。 加速度的大小加速度的大小 則有則有tRatRa yx sin ;cos 22 2222222 )sin()cos( RtRtRaaa yx 根據(jù)根據(jù)矢量的點(diǎn)積運(yùn)算矢量的點(diǎn)積運(yùn)算，分別計(jì)算，分別計(jì)算 0 )sin()cos()cos()sin( jtRitRjtRitRrv 0 )sin()cos()cos()sin( 22 jtRitRjtRitRav

13、質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)的速度沿圓的切線(xiàn)方質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)的速度沿圓的切線(xiàn)方 向，加速度沿半徑指向圓心；速度和加速度互相垂直。向，加速度沿半徑指向圓心；速度和加速度互相垂直。 結(jié)論結(jié)論 例題例題1-2 一質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，已知加速度為一質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，已知加速度為 ，其中，其中A A、B B、均為正常數(shù)，且均為正常數(shù)，且A AB B, , A A0, 0, B B00。初始條件為。初始條件為t=t=0 0時(shí)，時(shí)， 。求該質(zhì)。求該質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。 2 cos, x aAt 2 sin y aBt , 0 0 x v,Bv y 0,Ax 0 0 0 y 解解 這個(gè)問(wèn)題是已

14、知加速度和初始條件求運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而求出軌這個(gè)問(wèn)題是已知加速度和初始條件求運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而求出軌 跡方程的問(wèn)題。跡方程的問(wèn)題。 由加速度三個(gè)分量由加速度三個(gè)分量 222 t z t v a, t y t v a, t x t v a z z y y x x d d d d d d d d d d d d 222 的定義可得的定義可得 tt xxx tAttAtavv 0 2 0 0 sindcos0d tt yyy tBttBBtavv 0 2 0 0 cosdsind tt x tAttAAtvxx 00 0 cosdsind tt y tBttBtvyy 00 0 sindcos0d 從從x,

15、 y的表示式中消去的表示式中消去t ，即可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，即可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為: : 1 2 2 2 2 B y A x 結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓橢圓。 例題例題1-3 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，其加速度與位置的關(guān)系為軸正向運(yùn)動(dòng)，其加速度與位置的關(guān)系為 a=3+2x。若在。若在x=0處，其速度處，其速度v0=5m/s，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=3m處時(shí)所處時(shí)所 具有的速度。具有的速度。 解解 已知已知 ，由加速度的定義式得：，由加速度的定義式得： xa23 xa t v 23 d d x x vv t x x v t v 23 d d d

16、d d d d d xxvvd)23(d 根據(jù)初始條件作定積分根據(jù)初始條件作定積分 3 0 5 d)23(dxxvv v 1 sm81. 7 v速度的方向沿速度的方向沿x軸正向。軸正向。 解解 選取選取豎直向上為豎直向上為y軸的正方向軸的正方向，坐標(biāo)原點(diǎn)在拋點(diǎn)處。，坐標(biāo)原點(diǎn)在拋點(diǎn)處。 kvf 設(shè)小球上升運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速率為設(shè)小球上升運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速率為v，阻力系數(shù)為，阻力系數(shù)為k，則空氣則空氣阻力阻力為為 此時(shí)小球的此時(shí)小球的加速度加速度為為v m k ga 即即 )( d d k mg v m k t v 作作變換變換 y v v t y y v t v d d d d d d d d 整理則得整理

17、則得yv kmgv kmg k m dd) / / 1( 例題例題1-4 以初速度以初速度v0由地面豎直向上拋出一個(gè)質(zhì)量為由地面豎直向上拋出一個(gè)質(zhì)量為m 的小球，若的小球，若 上拋小球受到與其瞬時(shí)速率成正比的空氣阻力，求小球能升達(dá)的最上拋小球受到與其瞬時(shí)速率成正比的空氣阻力，求小球能升達(dá)的最 大高度是多大？大高度是多大？ 根據(jù)初始條件，作根據(jù)初始條件，作定積分定積分 yv v yv kmgv kmg k m 0 dd) / / 1( 0 可得可得 kmgv kmgv k gm vv k m y / / ln)( 0 2 2 0 當(dāng)小球達(dá)到當(dāng)小球達(dá)到最大高度最大高度H 時(shí)，時(shí)，v = = 0。可

18、得?？傻?)1ln( 0 2 2 0 mg kv k gm v k m H 例題例題1-5 已知一質(zhì)點(diǎn)由靜止出發(fā)，它的加速度在已知一質(zhì)點(diǎn)由靜止出發(fā)，它的加速度在x軸和軸和y軸上的分軸上的分 量分別為量分別為ax=10t和和ay=15t 2 。求。求t=5s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和位置。時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和位置。 解解 取質(zhì)點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由定義得取質(zhì)點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由定義得 2 15 10t t v a, t t v a y y x x d d d d 根據(jù)題意，初始條件為根據(jù)題意，初始條件為 t=0 ,v0 x=0 ,v0y=0 ，對(duì)上式進(jìn)行積分，得，對(duì)上式進(jìn)行積分，得 3 0 22 0 5d

19、15 5d10 tttv ,tttv t y t x 132 s)m 55 jtit(v t=5s代入上式得代入上式得 1 s)m 625125 ji(v 利用初始條件利用初始條件t=0 , x0=0 , y0=0 ，對(duì)，對(duì) vx , vy 進(jìn)行積分，得進(jìn)行積分，得 45d5 35d5 4 0 33 0 2 /ttty,/tttx tt )m 4 5 3 5 43 j t i t (r 即即 s代入上式得代入上式得 5 t )m 4 3125 3 625 ji(r 切向切向（tangential）單位矢量）單位矢量t e 法向法向（normal）單位矢量）單位矢量n e 1.3.1、自然坐標(biāo)系

20、、自然坐標(biāo)系 1.3 平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng) 其方向都是隨位置（時(shí)間）變化的其方向都是隨位置（時(shí)間）變化的 在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡上任取一點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡上任取一點(diǎn)O作為自作為自 然坐標(biāo)系的原點(diǎn)，沿軌跡規(guī)定一個(gè)弧長(zhǎng)正然坐標(biāo)系的原點(diǎn)，沿軌跡規(guī)定一個(gè)弧長(zhǎng)正 方向方向,則可以用由原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)所在位置的則可以用由原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)所在位置的弧弧 長(zhǎng)長(zhǎng)S來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)的位置來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)的位置 )(tss 在自然坐標(biāo)系中弧長(zhǎng)在自然坐標(biāo)系中弧長(zhǎng)s是可正可負(fù)的坐標(biāo)量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)是可正可負(fù)的坐標(biāo)量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P 位位 于于O點(diǎn)點(diǎn)弧弧長(zhǎng)正方向一側(cè)時(shí)取正值，處于長(zhǎng)正方向一側(cè)時(shí)取正值，處于O點(diǎn)另一側(cè)時(shí)去負(fù)值。點(diǎn)另一側(cè)時(shí)去負(fù)值。 tt d d

21、s v t vee ttnn aa aee tt a e nn a e 稱(chēng)為切向加速度稱(chēng)為切向加速度 稱(chēng)為法向加速度稱(chēng)為法向加速度 速度矢量表示為速度矢量表示為 加速度矢量表示為加速度矢量表示為 1.3.21.3.2、質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的切向加速度和法向加速度質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的切向加速度和法向加速度 t s v evv t d d 由由加速度的定義加速度的定義 O n e d d t e t e d t e t e t e tt t d()ddd dddd vv v tttt eev ae t nnn dd()1 d ddd Rsv tR tRtR e eee t d e t e n e tn

22、dd ee 是矢量，方向垂直于是矢量，方向垂直于并指向圓心，與并指向圓心，與的方向一致。的方向一致。 的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度等于1 1，于是有，于是有 由于由于 t e 2 tnttnn d d vv aa tR aeeee 2 t 2 dd dd vs a tt R v a 2 n 22 nt aaa a n t arctan a a 質(zhì)點(diǎn)速率變化的快慢質(zhì)點(diǎn)速率變化的快慢 質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 加速度的大小加速度的大小 1.3.41.3.4、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述 1、角位置（角位置（angular positio

23、n）：）： 3、角位移角位移( (angular displacement) )： 1.3.3 1.3.3 一般平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的切向加速度和法向加速度一般平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的切向加速度和法向加速度 P O t e n e 曲線(xiàn)上任一點(diǎn)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P P的附近極短的一段曲線(xiàn)上，的附近極短的一段曲線(xiàn)上， 可用與它相切處曲率半徑為可用與它相切處曲率半徑為的圓弧來(lái)代替的圓弧來(lái)代替,則則 一般平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度。一般平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度。 t v a d d t 2 n v a 22 nt aaa a t n arctan a a 2、運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 )(,tRr 22

24、2 )( dt dv a v 曲率半徑： （瞬時(shí)）角速度（瞬時(shí)）角速度 4、角速度、角速度(angular velocity) 平均角速度平均角速度 t = 5、角加速度角加速度( (angular acceleration) ) 平均角加速度平均角加速度 t = t = t = d d lim 0t （瞬時(shí)）角加速度（瞬時(shí)）角加速度 角速度是矢量，其方向垂直于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度是矢量，其方向垂直于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的 平面，指向由右手螺旋法則確定：當(dāng)四指平面，指向由右手螺旋法則確定：當(dāng)四指 沿運(yùn)動(dòng)方向彎曲時(shí)，大拇指的指向就是角沿運(yùn)動(dòng)方向彎曲時(shí)，大拇指的指向就是角 速度的方向。速度的方向。 2 2 0t

25、d d d d lim t = t = t = 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：角速度是恒量，角加速度為零；角速度是恒量，角加速度為零； 變速率圓周運(yùn)動(dòng)：變速率圓周運(yùn)動(dòng)：角速度不是恒量，角加速度一般也不是恒量。角速度不是恒量，角加速度一般也不是恒量。 角加速度是恒量時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作勻變速圓周運(yùn)動(dòng)。角加速度是恒量時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作勻變速圓周運(yùn)動(dòng)。 在勻在勻變速變速圓周運(yùn)動(dòng)中的角位置、角速度和角加速度間的關(guān)系圓周運(yùn)動(dòng)中的角位置、角速度和角加速度間的關(guān)系 與勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的位移、速度和加速度間的關(guān)系形式上完全與勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的位移、速度和加速度間的關(guān)系形式上完全 類(lèi)似，它可寫(xiě)為類(lèi)似，它可寫(xiě)為 t 0 2 00

26、 2 1 tt )(2 0 2 0 2 1.3.51.3.5、角量與線(xiàn)量的關(guān)系、角量與線(xiàn)量的關(guān)系 tr ttd r+r=r d t er=r dd 在在dtdt 時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移 R=s=rddd t e R=r dd 是是常常量量和和 RrR,sin tt ersin=e R=v r=v t r =v d d 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的速度速度 t e t R= d d 由由加速度的定義加速度的定義 t v =a d d 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 )r(+r= t r +r t = d d d d r=at R=at ) r(=an 2 R=an 2 d d tn a =

27、 Re + R e t R 2 d d tnttnn vv a =e +e = a e + a e t R dt dv at 2 2 R R v an vR 圓周運(yùn)動(dòng)的第二類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題圓周運(yùn)動(dòng)的第二類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題 積分積分 積分積分 t v =at d d t+v=vd t t a 0 0 t s =v d d )(ts=s 切向加速度切向加速度 at 和初始條件和初始條件 速率方程和自然坐速率方程和自然坐 標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程 角加速度角加速度 和初始條件和初始條件 角速度方程和以角角速度方程和以角 量表示的運(yùn)動(dòng)方程量表示的運(yùn)動(dòng)方程 解解 （1）由由角速度角速度和和角加速度角加速度

28、的定義，得的定義，得 t = d d t = d d 把把 t = 2s代入代入運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程、角速度角速度和和角加速度方程角加速度方程，可得，可得 2 22 33 rad/s2421212 rad/s273+2636 rad2223+2232 =t= =+t= =t+t= 例題例題1-6 一質(zhì)點(diǎn)作半徑為一質(zhì)點(diǎn)作半徑為 R=1.0m的圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程的圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程 為為 =2t3+3t，其中其中 以以 rad 計(jì)，計(jì)，t 以以 s 計(jì)。計(jì)。 試求試求：（：（1）t = 2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角位置、角速度和角加速度。時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角位置、角速度和角加速度。 （2） t = 2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度

29、、法向加速度和加速度。時(shí)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度、法向加速度和加速度。 36 2 +t=t= 12 （2）根據(jù)根據(jù)線(xiàn)量與角量的關(guān)系線(xiàn)量與角量的關(guān)系，可得，可得 2 R=a R=a n t 加速度加速度 )(m/s72924 2 ntnntt e+e=ea+ea=a 加速度的大小加速度的大小 2222 n 2 t m/s72972924 aaa 設(shè)加速度與法向加速度的夾角為設(shè)加速度與法向加速度的夾角為，則則 9 . 1,0329. 0 729 24 tan n t a a 22 2 729m/s=271.0= 24m/s=241.0= 例題例題1-7 如圖所示，汽車(chē)以如圖所示，汽車(chē)以5m/s的勻速率在廣

30、場(chǎng)上沿半徑為的勻速率在廣場(chǎng)上沿半徑為 R=250m的環(huán)形馬路上行駛。當(dāng)汽車(chē)油門(mén)關(guān)閉以后，由于與地的環(huán)形馬路上行駛。當(dāng)汽車(chē)油門(mén)關(guān)閉以后，由于與地 面的摩擦作用，汽車(chē)沿馬路勻減速滑行面的摩擦作用，汽車(chē)沿馬路勻減速滑行50m而停止，試求：而停止，試求： （1）汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)前運(yùn)動(dòng)的加速度。）汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)前運(yùn)動(dòng)的加速度。 （2）汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)后）汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)后4s時(shí)運(yùn)動(dòng)的加速度。時(shí)運(yùn)動(dòng)的加速度。 v n a a R O 解解 （1）汽車(chē)關(guān)閉油門(mén)前時(shí)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，）汽車(chē)關(guān)閉油門(mén)前時(shí)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)， 其切向加速度和法向加速度分別為其切向加速度和法向加速度分別為 2 2 0nt sm100 .R/

31、va,a 則，其方向指向環(huán)心則，其方向指向環(huán)心O。 2 n sm10 .aa （2）汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)后滑行）汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)后滑行50m而停止。汽車(chē)的切向加速度為而停止。汽車(chē)的切向加速度為 22 22 0 2 t sm250sm 502 50 2 . s vv a 油門(mén)關(guān)閉油門(mén)關(guān)閉4（s）時(shí)，汽車(chē)的速率為）時(shí)，汽車(chē)的速率為 11 40t 5( 0.25)4m s4m svva t 此時(shí)法向加速度為此時(shí)法向加速度為: : 2 2 4 n sm0640 . R v a 總加速度的大小為總加速度的大小為: : 22 n 2 t sm2580 .aaa 總加速度與速度的夾角為總加速度與速度的夾角為 831

32、65)256. 0arctan(arctan t n a a 例題例題1-8 一飛輪以一飛輪以n=1500r/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，受到制動(dòng)而均勻地減的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，受到制動(dòng)而均勻地減 速，經(jīng)速，經(jīng)t=50s后靜止。后靜止。 （1）求角加速度）求角加速度和從制動(dòng)開(kāi)始到靜止時(shí)飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)和從制動(dòng)開(kāi)始到靜止時(shí)飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)N為多少？為多少？ ( 2）求制動(dòng)開(kāi)始）求制動(dòng)開(kāi)始t=25s時(shí)飛輪的角速度時(shí)飛輪的角速度 (3）設(shè)飛輪的半徑）設(shè)飛輪的半徑R=1m時(shí)，求時(shí)，求t=25s時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度、時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度、 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 解解 （1 1）由勻變速圓周運(yùn)動(dòng)基本公式）

33、由勻變速圓周運(yùn)動(dòng)基本公式t 0 22 0 srad14. 3srad 50 60 1500 20 t 從開(kāi)始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移從開(kāi)始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為分別為 rad1250rad)50 2 1 (5050 2 1 22 00 tt )(625 2 1250 轉(zhuǎn)N ( 2）t=25s時(shí)飛輪的角速度時(shí)飛輪的角速度為為 11 0 srad25s25rad 60 1500 2 t (3）t=25s時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度為時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度為 切向加速度和法向加速度為切向加速度和法向加速度為 11 sm25s1m25 Rv 23222 n 22 t sm1016.

34、 6s1m)25( s3.14ms1m Ra Ra 解解 設(shè)加速度與速度方向的夾角為設(shè)加速度與速度方向的夾角為，則，則 t n a a tan tantand d 2 R va t v a n t 即即 tan dd 2 R t v v 所以所以 兩邊積分兩邊積分 tan 11 tan dd 0 0 2 0 R t vv R t v v tv v tvR Rv v 0 0 tan tan 例題例題1-9 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 R 的圓軌道運(yùn)動(dòng)，初速度為的圓軌道運(yùn)動(dòng)，初速度為v0，加速，加速 度與速度與速 度方向的夾角恒定，如圖所示求速度的大小與時(shí)間的度方向的夾角恒定，如圖所示求速度的大小與

35、時(shí)間的 關(guān)系關(guān)系 O P R v a 解解: 取取t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置O為自然坐標(biāo)系原點(diǎn)，以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)樽匀蛔鴺?biāo)系原點(diǎn)，以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向 為自然坐標(biāo)正向，并設(shè)任意時(shí)刻為自然坐標(biāo)正向，并設(shè)任意時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的速度為質(zhì)點(diǎn)的速度為v，自然坐標(biāo)為，自然坐標(biāo)為s . （1） t v a d d t tavdd t tv tav 0 t 0 dd t va t R ta R v a 22 t 2 n 2 t 2 22 t2 t 2 n )(a R ta aaa 代入代入t=1s，可得質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的大小為，可得質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的大小為 O O 例題例題1-10 質(zhì)點(diǎn)沿半徑質(zhì)點(diǎn)沿半徑R=3m

36、的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知切向加的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知切向加 速度速度at=3m/s2, t=0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)，其速度點(diǎn)，其速度v0=0 ，試求：，試求： （1）t=1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度的大?。粫r(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度的大?。?（2）第）第2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所通過(guò)的路程。秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所通過(guò)的路程。 利用初始條件作定積分利用初始條件作定積分 （2 2）由）由 得得 ，利用初始條件作定積分，利用初始條件作定積分 t s v d d tvsdd ts ttas 0 t 0 dd 2 t 2 1 tas 代入數(shù)據(jù)可得第代入數(shù)據(jù)可得第2 2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為 m5 . 4m)12(3

37、2 1 22 s -1-1 t sm3sm13 tav 2222 22 2 t 2 22 t sm24. 4sm3) 3 13 ()( a R ta a 1.4 相相 對(duì)對(duì) 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 同一質(zhì)點(diǎn)在不同參考系中的位置矢量、速度和加速度等物理同一質(zhì)點(diǎn)在不同參考系中的位置矢量、速度和加速度等物理 量之間的關(guān)系的規(guī)律。量之間的關(guān)系的規(guī)律。 物體運(yùn)動(dòng)的描述物體運(yùn)動(dòng)的描述依賴(lài)于依賴(lài)于觀察者所處的觀察者所處的參考系參考系 S（oxy)系和系和S(oxy)系在系在t=0時(shí)重合，時(shí)重合，P,P點(diǎn)點(diǎn) 重合。在重合。在t 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)S相對(duì)相對(duì)S位移位移D，則，則 Drr uvv 伽利略速度相加原理伽利略速度相加原

38、理 t u t v t v d d d d d d d d d d d d 0 aaa 若若u為常量，則為常量，則0 0 a aa 在相對(duì)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的不同參考系中觀察在相對(duì)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的不同參考系中觀察 同一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，所得的加速度相同。同一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，所得的加速度相同。 , rDSrS 是 系中測(cè)得的，是在 系中測(cè)得的。 位移相加原理位移相加原理 而位移相加原理是相對(duì)同一參考系來(lái)說(shuō)的。這里默認(rèn)了長(zhǎng)度和而位移相加原理是相對(duì)同一參考系來(lái)說(shuō)的。這里默認(rèn)了長(zhǎng)度和 時(shí)間的測(cè)量與參考系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。說(shuō)明長(zhǎng)度和時(shí)間的測(cè)量時(shí)間的測(cè)量與參考系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。說(shuō)明長(zhǎng)度和時(shí)間的測(cè)量 是絕對(duì)的是絕對(duì)的牛頓時(shí)

39、空觀。牛頓時(shí)空觀。 xx OO PP yy y y P P Q r r D xx D O O u 0 )a(t tt )b( 適用條件適用條件: : 宏觀、低速情況宏觀、低速情況 例題例題1-11 一帶蓬卡車(chē)高一帶蓬卡車(chē)高h(yuǎn)=2m，它停在馬路上時(shí)雨點(diǎn)可落在車(chē)，它停在馬路上時(shí)雨點(diǎn)可落在車(chē) 內(nèi)到達(dá)蓬后沿前方內(nèi)到達(dá)蓬后沿前方d=1m處，當(dāng)它以處，當(dāng)它以15 km/h 速率沿平直馬路行速率沿平直馬路行 駛時(shí)，雨滴恰好不能落入車(chē)內(nèi)，如圖所示。求雨滴相對(duì)地面的駛時(shí)，雨滴恰好不能落入車(chē)內(nèi)，如圖所示。求雨滴相對(duì)地面的 速度及雨滴相對(duì)車(chē)的速度。速度及雨滴相對(duì)車(chē)的速度。 1d 2h 5 u v v 解解 選地面為選地面為S系，車(chē)為系，車(chē)為S系，系， S系相對(duì)系相對(duì)S 系運(yùn)動(dòng)速率為系運(yùn)動(dòng)速率為u=15km/h。所求雨滴相對(duì)。所求雨滴相對(duì) 地面的速度為地面的速度為 ，雨滴相對(duì)車(chē)的速度，雨滴相對(duì)車(chē)的速度 為為 。根據(jù)伽利略速度相加定理，則有。根據(jù)伽利略速度相加定理，則有 v v uvv 由已知條件得與地面的夾角由已知條件得與地面的夾角 40.63arctan d h 且且 與與u 垂直，故可得垂直，故可得 v 11 hkm5 .33hkm 4 .63cos 15 u v cos 11 hkm