姜啟源_第四版《數學模型》PPT_第1章

1、數學模型第四版 第第一一章章 建立數學模型建立數學模型 1.1 從現實對象到數學模型從現實對象到數學模型 1.2 數學建模的重要意義數學建模的重要意義 1.3 數學建模示例數學建模示例 1.4 數學建模的基本方法和步驟數學建模的基本方法和步驟 1.5 數學模型的特點和分類數學模型的特點和分類 1.6 數學建模數學建模能力的培養(yǎng)能力的培養(yǎng) 玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型實物模型 水箱中的艦艇、風洞中的飛機水箱中的艦艇、風洞中的飛機 物理模型物理模型 地圖、電路圖、分子結構圖地圖、電路圖、分子結構圖 符號模型符號模型 模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了

2、一定目的，對客觀事物的一部分 進行簡縮、抽象、提煉出來的進行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物. 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征. 1.1 從現實對象到數學模型從現實對象到數學模型 我們常見的模型我們常見的模型 你碰到過的數學模型你碰到過的數學模型“航行問題航行問題” 用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程： 75050)( 75030)( yx yx 答：船速為答：船速為20km/h. . 甲乙兩地相距甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需，船從甲到乙順水航行需30h， 從乙到甲逆水航行

3、需從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少，問船的速度是多少? x=20 y =5 求解求解 航行問題航行問題建立數學模型的基本步驟建立數學模型的基本步驟 作出簡化假設（船速、水速為常數）作出簡化假設（船速、水速為常數） 用符號表示有關量（用符號表示有關量（x, y分別表示船速和水速）分別表示船速和水速） 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數學式子（二元一次方程）時間）列出數學式子（二元一次方程） 求解得到數學解答（求解得到數學解答（x=20, y=5） 回答原問題（船速回答原問題（船速為為20km/h） 數學模型數學模型 (Mathem

4、atical Model) 和和 數學建模（數學建模（Mathematical Modeling) 對于一個對于一個現實對象現實對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的， 根據其根據其內在規(guī)律內在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡化假設簡化假設， 運用適當的運用適當的數學工具數學工具，得到的一個，得到的一個數學表述數學表述. . 建立數學模型的全過程建立數學模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等） 數學模型數學模型 數學數學 建模建模 1.2 數學建模的重要意義數學建模的重要意義 電子計算機的出現及飛速發(fā)展電子計算機的出現及飛速發(fā)展. 數學以空前的廣度和深度向

5、一切領域滲透數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透. 數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步， 越來越受到人們的重視越來越受到人們的重視. 在一般工程技術領域在一般工程技術領域, 數學建模仍然大有用武之地數學建模仍然大有用武之地. 在高新技術領域在高新技術領域, 數學建模幾乎是必不可少的工具數學建模幾乎是必不可少的工具. 數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地. “數學是一種關鍵的、普遍的、可以應用的數學是一種關鍵的、普遍的、可以應用的技術技術”. 數學數學“由研究到工業(yè)領域的由研究到工業(yè)領域的

6、技術轉化技術轉化，對加強，對加強 經濟競爭力具有重要意義經濟競爭力具有重要意義”. “計算和建模計算和建模重新成為中心課題，它們是數學重新成為中心課題，它們是數學 科學技術轉化的主要途徑科學技術轉化的主要途徑” . 數學建模的重要意義數學建模的重要意義 數學建模的具體應用數學建模的具體應用 分析與設計分析與設計 預報與決策預報與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理 數學建模計算機技術 知識經濟知識經濟 如虎添翼如虎添翼 1.3 數學建模示例數學建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問題分析問題分析 模模 型型 假假 設設 通常通常 三只腳著地三

7、只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳 連線呈正方形連線呈正方形. 地面高度連續(xù)變化，可視為數學上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數學上的連續(xù) 曲面曲面. 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三 只腳同時著地只腳同時著地. 模型構成模型構成 用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來. 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性. x B A D C O D C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾

8、角)表示椅子位置表示椅子位置. 四只腳著地四只腳著地 距離是距離是 的函數的函數. 四個距離四個距離 (四只腳四只腳) A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( ) B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( ) 兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零 正方形正方形ABCD 繞繞O點旋轉點旋轉 正方形正方形 對稱性對稱性 用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來. f( ) , g( )是是連續(xù)函數連續(xù)函數 對任意對任意 , f( ), g( ) 至少一個為至少一個為0 數學數學 問題問題 已知：已知： f(

9、 ) , g( )是是連續(xù)函數連續(xù)函數 ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0. 模型構成模型構成 地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只腳著地至少三只腳著地 模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法 3）由）由 f, g 的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數為連續(xù)函數, 據連續(xù)函數據連續(xù)函數 的基本性質的基本性質, 必存在必存在 0 ( 0 0 0，知，知 f( /2)=0, g( /2)0. 2）令）令 h( )=

10、f( )g( ), 則則 h(0)0 和和 h( /2)0)，總劑量，總劑量1100 mg藥物在藥物在t=0瞬間進入胃腸道瞬間進入胃腸道. 2. 血液系統(tǒng)中藥物的排除率與血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t) 成正比，比例系數成正比，比例系數 (0)，t=0時血液中無藥物時血液中無藥物. 3. 氨茶堿被吸收的半衰期為氨茶堿被吸收的半衰期為5 h，排除的半衰期為，排除的半衰期為6 h. 4. 孩子的血液總量為孩子的血液總量為2000 ml. 胃腸道中藥量胃腸道中藥量x(t), 血液系統(tǒng)中藥量血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時間，時間t以以 孩子誤服藥的時刻為起點（孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）. 模型建立模

11、型建立 x(t)下降速度與下降速度與x(t)成正比成正比(比例系數比例系數), 總劑量總劑量1100mg藥藥 物在物在t=0瞬間進入胃腸道瞬間進入胃腸道. 轉移率轉移率 正比于正比于x 排除率排除率 正比于正比于y 胃腸道胃腸道血液系統(tǒng)血液系統(tǒng) 口服藥物口服藥物 體外體外 藥量藥量x(t)藥量藥量y(t) y(t)由吸收而增長的速度是由吸收而增長的速度是x，由排除而減少的速度，由排除而減少的速度 與與y(t) 成正比成正比(比例系數比例系數) , t=0時血液中無藥物時血液中無藥物. d ,(0)0 d y xyy t d ,(0)1100 d x xx t 模型模型求解求解 d ,(0)11

12、00 d x xx t 藥物吸收的半衰期為藥物吸收的半衰期為5 h ( )1100e t x t (ln2)/50.1386(1/h) 5 1100e1100/2 2/ )0()5(xx d d y xy t 1100 e t y 0)0(y 藥物排除的半衰期為藥物排除的半衰期為6 h 1100 ( )(ee) tt y t 只考慮血液對藥物的排除只考慮血液對藥物的排除 2/)6(,)(ayay () ( )e t y ta d d y y t (ln2)/60.1155(1/h) 0.1386 ( )1100e t x t 0.11550.1386 ( )6600(ee) tt y t 05

13、10152025 0 200 400 600 800 1000 1200 t(h) x,y(mg) x(t) y(t) 血液總量血液總量2000ml 血藥濃度血藥濃度200g/ml 結果及分析結果及分析 胃腸道藥量胃腸道藥量 血液系統(tǒng)藥量血液系統(tǒng)藥量 血藥濃度血藥濃度100g/ml y(t) =200mg 嚴重中毒嚴重中毒 y(t) =400mg 致命致命 t=1.62 t=4.87 t=7.89 y=442 孩子到達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救，孩子到達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救， 約約3h3h后將致命！后將致命！ y(2)=236.5 施救方案施救方案 口服活性炭使藥物排除率口服活性

14、炭使藥物排除率增至原來的增至原來的2倍倍. d ,2,1100e,(2)236.5 d t z xztxz t 孩子到達醫(yī)院孩子到達醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作就開始施救，血液中藥量記作z(t) 0.13860.2310 ( )1650e1609.5e,2 tt z tt =0.1386 (不變)， =0.11552=0.2310 施救方案施救方案 0510152025 0 200 400 600 800 1000 1200 t(h) x,y,z(mg) x(t) y(t) z(t) t=5.26 z=318 施救后血液中藥量施救后血液中藥量 z (t)顯著低于顯著低于y(t).

15、z (t)最大值低于最大值低于 致命水平致命水平. 要使要使z (t)在施救后在施救后 立即下降，可算出立即下降，可算出 至少應為至少應為0.4885. 若采用體外血液透析，若采用體外血液透析，可增至可增至0.11556=0.693， 血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦 法，當由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定法，當由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定. 數學建模的基本方法數學建模的基本方法 機理分析機理分析 測試分析測試分析 根據對客觀事物特性的認識，根據對客觀事物特性的認識， 找出反映內部機理的數量規(guī)律找出反映內部機理的數量規(guī)律.

16、 將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”,通過對量測數據的通過對量測數據的 統(tǒng)計分析，找出與數據擬合最好的模型統(tǒng)計分析，找出與數據擬合最好的模型. 機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究實例研究 (Case Studies)來學習來學習. .以下建模主要指機理分析以下建模主要指機理分析. . 二者結合二者結合 用機理分析建立模型結構用機理分析建立模型結構, 用測試分析確定模型參數用測試分析確定模型參數. 1.4 數學建模的基本方法和步驟數學建模的基本方法和步驟 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟 模型準備模型準備模型假設模型假設模型構成模型構成 模型求解模型求解模

17、型分析模型分析 模型檢驗模型檢驗 模型應用模型應用 模模 型型 準準 備備 了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的 搜集有關信息搜集有關信息掌握對象特征掌握對象特征 形成一個形成一個 比較清晰比較清晰 的的“問題問題” 模模 型型 假假 設設 針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的 作出作出合理合理的、的、簡化簡化的假設的假設 在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中 模模 型型 構構 成成 用數學的語言、符號描述問題用數學的語言、符號描述問題 發(fā)揮發(fā)揮想像力想像力使用使用類比法類比法 盡量采用簡單的數學工具盡量采用簡單的數學工具 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟

18、模型模型 求解求解 各種數學方法、軟件和計算機技術各種數學方法、軟件和計算機技術. 如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、 模型對數據的穩(wěn)定性分析模型對數據的穩(wěn)定性分析. 模型模型 分析分析 模型模型 檢驗檢驗 與實際現象、數據比較，與實際現象、數據比較， 檢驗模型的合理性、適用性檢驗模型的合理性、適用性. 模型應用模型應用 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟 數學建模的全過程數學建模的全過程 現實對象的信息現實對象的信息數學模型數學模型 現實對象的解答現實對象的解答數學模型的解答數學模型的解答 表述表述 求解求解 解釋解釋 驗證驗證 (歸納) (演繹) 表述表述 求解求解

19、 解釋解釋 驗證驗證 根據建模目的和信息將實際問題根據建模目的和信息將實際問題“翻譯翻譯”成數學問成數學問 題題. 選擇適當的數學方法求得數學模型的解答選擇適當的數學方法求得數學模型的解答. 將數學語言表述的解答將數學語言表述的解答“翻譯翻譯”回實際對回實際對 象象. 用現實對象的信息檢驗得到的解答用現實對象的信息檢驗得到的解答. 實踐 現現 實實 世世 界界 數數 學學 世世 界界 理論實踐 1.5 數學模型的特點和分類數學模型的特點和分類 模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性 模型的漸進性模型的漸進性 模型的強健性模型的強健性 模型的可轉移性模型的可轉移性 模型的非預制性模型的非預制性

20、 模型的條理性模型的條理性 模型的技藝性模型的技藝性 模型的局限性模型的局限性 數學模型的特點數學模型的特點 數學模型的分類數學模型的分類 應用領域應用領域人口、交通、經濟、生態(tài)、人口、交通、經濟、生態(tài)、 數學方法數學方法初等數學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、初等數學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、 表現特性表現特性 描述、優(yōu)化、預報、決策、描述、優(yōu)化、預報、決策、 建模目的建模目的 了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱 確定和隨機確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)靜態(tài)和動態(tài) 線性和非線性線性和非線性 離散和連續(xù)離散和連續(xù) 1.6 數學建模能力的培養(yǎng)數學建模能力的培養(yǎng) 數學建模與其說是一門數學建模與其說是一門技術技術

21、，不如說是一門，不如說是一門藝術藝術 技術大致有章可循技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則藝術無法歸納成普遍適用的準則 想像力想像力洞察力洞察力判斷力判斷力 學習、分析、評價、改進別人做過的模型學習、分析、評價、改進別人做過的模型. . 親自動手，認真作幾個實際題目親自動手，認真作幾個實際題目. . 參加參加全國大學生數學建模競賽全國大學生數學建模競賽的意義和作用的意義和作用 1992年中國工業(yè)與應用數學學會年中國工業(yè)與應用數學學會(CSIAM)開始組織開始組織 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦共同舉辦(每年每年9月月) 2010年年33省省/市市/ 區(qū)區(qū)

22、(含港澳含港澳)的的 1197校校17317隊隊 內容內容 賽題：工程技術、管理科學中簡化的實際問題賽題：工程技術、管理科學中簡化的實際問題. 答卷：包含模型假設、建立、求解計算方法設計和計答卷：包含模型假設、建立、求解計算方法設計和計 算機實現、結果分析和檢驗、模型改進等方面的論文算機實現、結果分析和檢驗、模型改進等方面的論文. 形式形式 3名大學生組隊，在名大學生組隊，在3天內完成的通訊比賽天內完成的通訊比賽. 可使用任何可使用任何“死死”材料（圖書、計算機、軟材料（圖書、計算機、軟 件、互聯網等），但不得與隊外任何人討論件、互聯網等），但不得與隊外任何人討論. 宗旨宗旨創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識 團隊精神團隊精神 重在參與重在參與 公平競爭公平競爭 標準標準 假設的合理性，建模的創(chuàng)造性，假設的合理性，建模的創(chuàng)造性， 結果的正確性，表述的清晰性結果的正確性，表述的清晰性. 全國大學生數學建模競賽全國大學生數學建模競賽 http:/ 競賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質競賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質 賽題