級數(shù)求和的常用方法

1、1.7方程式法3 1.8原級數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和3 1.9數(shù)項級數(shù)化為函數(shù)項級數(shù)求和3 1.10化數(shù)項級數(shù)為積分函數(shù)求原級數(shù)和4 1.11三角型數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級數(shù)4 1.12構(gòu)造函數(shù)計算級數(shù)和5 1.13級數(shù)討論其子序列5 1.14裂項法求級數(shù)和6 1.15裂項+分拆組合法7 1.16夾逼法求解級數(shù)和72函數(shù)項級數(shù)求和82.1方程式法82.2積分型級數(shù)求和82.3逐項求導(dǎo)求級數(shù)和92.4逐項積分求級數(shù)和92.5將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù)102.6利用傅里葉級數(shù)求級數(shù)和102.7三角級數(shù)對應(yīng)復(fù)數(shù)求級數(shù)和112.8利用三角公式化簡級數(shù)122.9針對2.7的延伸122.10添加項處理系數(shù)122.

2、11應(yīng)用留數(shù)定理計算級數(shù)和132.12利用Beta函數(shù)求級數(shù)和14參考文獻15級數(shù)求和的常用方法 級數(shù)要首先考慮斂散性，但本文以級數(shù)求和為中心，故涉及的級數(shù)均收斂且不過多討論級數(shù)斂散性問題. 由于無窮級數(shù)求和是個無窮問題，我們只能得到一個的極限和.加之級數(shù)能求和的本身就困難，故本文只做一些特殊情況的討論，而無級數(shù)求和的一般通用方法，各種方法主要以例題形式給出，以期達到較高的事實性.1數(shù)項級數(shù)求和1.1等差級數(shù)求和 等差級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公差，并運用公式可求和.，其中為首項，為公差 證明：，+得：因為等差級數(shù)所以此證明可導(dǎo)出一個方法“首尾相加法”見1.2.1.2首尾相加法此類

3、型級數(shù)將級數(shù)各項逆置后與原級數(shù)四則運算由首尾各項四則運算的結(jié)果相同，便化為一簡易級數(shù)求和.例1:求.解：，兩式相加得：，即：.1.3等比級數(shù)求和等比級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公比并運用公式可求和.當(dāng)=1，；當(dāng)1，其中為首項，為公比.證明：當(dāng)=1，易得，當(dāng)1， ， ，-得.可以導(dǎo)出一種方法“錯位相減”見下1.4 1.4錯位相減法此方法通常適用于等差與等比級數(shù)混合型，通過乘以等比級數(shù)公比，再與原級數(shù)四則運算后化為等差或等比級數(shù)求和.例2：計算.解： ， ，-得： ，=3.1.5蘊含型級數(shù)相消法此類型級數(shù)本身各項之間有蘊含關(guān)系，通過觀察可知多項展開會相互之間相消部分項，從而化簡級數(shù)求和.

4、例3：計算.解：將各項展開可得： ，所以. 1.6有理化法求級數(shù)和對于一些級數(shù)通項含有分式根式的級數(shù)，我們可以仿照數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的方法“有理化”處理，以期達到能使得級數(shù)通項化簡，最后整個級數(shù)都較容易求和.例4：計算.解：可以看出此級數(shù)含根式較多，因此嘗試運用有理化的方法去處理，即通項，對其分母有理化得：，則原級數(shù)可以采用本文中的1.5“蘊含型級數(shù)相消法”，則可以快速求得級數(shù)和的極限為1.1.7方程式法此型級數(shù)通過一系列運算能建立級數(shù)和的方程式，通過解方程求解級數(shù)和.準確建立方程是關(guān)鍵問題，方程類型不固定，有類似與微分方程之類的，故要視具體情況建立方程，解方程也要準確，才能求出級數(shù)和.例5：計算

5、，其中.解：記= 兩邊同時乘以得即：解此方程得：.1.8原級數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和若下列條件成立1:（1）當(dāng)時級數(shù)的通項（2）級數(shù)各項沒有破壞次序的情況而得新序列收斂于原級數(shù) .例6：計算.解：，應(yīng)用歐拉公式，其中為歐拉常數(shù)，.1.9數(shù)項級數(shù)化為函數(shù)項級數(shù)求和數(shù)項級數(shù)化為相應(yīng)函數(shù)項級數(shù)，再通過函數(shù)項級數(shù)求和，并賦予函數(shù)未知數(shù)相應(yīng)未知數(shù)后記得相應(yīng)原級數(shù)的和.例7：求級數(shù)和.解：建立函數(shù)項級數(shù)由函數(shù)斂散性知識可知其收斂域為，將函數(shù)項級數(shù)逐項求導(dǎo)可得：= ，由此可知滿足微分方程，且易知，解此常微分方程得：，令則可以求出原級數(shù)和：. 1.10化數(shù)項級數(shù)為積分函數(shù)求原級數(shù)和將原級數(shù)通過化簡，構(gòu)造積分極限式，

6、從而轉(zhuǎn)化為積分求原級數(shù)和也不失為一種好方法，構(gòu)造積分式子是關(guān)鍵，一般原級數(shù)中通過四則運算將與積分中的分割相聯(lián)系從而構(gòu)造分割，建立級數(shù)與積分式子的橋梁.例8：計算，其中.解：記.1.11三角型數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級數(shù)將三角型數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的級數(shù)，由于復(fù)數(shù)的實部對應(yīng)于數(shù)項級數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù)系級數(shù)進而求原級數(shù)和.例97：設(shè)，求.解：由于，令為復(fù)數(shù)，其中，其中，得：而另一方面=+取實部對應(yīng)原級數(shù)和即得：即：當(dāng)，且時. 1.12構(gòu)造函數(shù)計算級數(shù)和將級數(shù)各項轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)式子化簡級數(shù)并求原級數(shù)和，關(guān)鍵在于各項的化簡函數(shù)是否基本統(tǒng)一，如何選擇函數(shù)式子才能有效化簡，將級數(shù)參數(shù)化為函數(shù)式子中的未知數(shù)

7、，并無一般的通用函數(shù)，選擇函數(shù)視具體情況而定，下面我們先看一個例子感受這種方法，并從中體會這種方法.例107：請計算下面的級數(shù)式子：記，其中.解：構(gòu)造函數(shù)式子：,此函數(shù)在單調(diào)遞減.由于，令，滿足=0，.代入題目中的級數(shù)式子得：=.1.13級數(shù)討論其子序列引理1：數(shù)列收斂的充分必要條件是的任一子序列都收斂且有相同的極限.特別的：數(shù)列收斂于的充分必要條件是兩個互補的子列,收斂于同一極限.推廣可得：定理1：若級數(shù)通項滿足當(dāng)時， （收斂判別的必要條件），收斂于的充分必要條件是：部分和的一個子序列收斂于，其中滿足：是某個正整數(shù)=1，2，將級數(shù)分情況討論，化為多個子序列之和，利用原級數(shù)收斂則級數(shù)任意添加括

8、號得到的級數(shù)和收斂于原級數(shù)和原理，通過求各個子序列之和求解原級數(shù)和，關(guān)鍵在于如何分解原級數(shù)為不同子序列，然而子序列相對于原級數(shù)來說易求些，這樣方法才行之有效，這和1.6的“原級數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和”是不同的.分情況討論在三角中討論角的大小我們已不陌生，下面我們就看一個這樣討論角的幅度的例題.例116：計算：.解：記，由級數(shù)斂散性知識可知，該級數(shù)絕對收斂.按幅度角的討論將級數(shù)分解為：，.則： ，所以：. 1.14裂項法求級數(shù)和針對級數(shù)是分數(shù)形式，且滿足分母為多項乘積形式，且各項之間相差一個相同的整數(shù)，裂項后各項就獨立出來，而原來各項之間相差整數(shù)則裂項后新級數(shù)等價于求解某一個級數(shù)，其余新級數(shù)照此可求

9、出，從而原級數(shù)和可以求出.裂項一般形式：，此處.例12：計算.解:記，針對同理采用裂項法記則=，所以=. 1.15裂項+分拆組合法將裂項與分拆組合法合用在一起，運用裂項法分拆級數(shù)，再將分拆重新組合級數(shù)，由新級數(shù)返回求原級數(shù)和.例13：計算.解：=. 1.16夾逼法求解級數(shù)和在數(shù)學(xué)分析中運用夾逼法則求解極限，在求極限和中我們也可以借鑒此方法，運用兩個級數(shù)逼近原級數(shù)，最后兩逼近級數(shù)和等于原級數(shù)和.例148：設(shè)為一給定的正整數(shù)，求.解：且時，且，所以，即 2 函數(shù)項級數(shù)求和函數(shù)項級數(shù)和依據(jù)未知數(shù)的而定，因此在收斂域內(nèi)尋找一個新函數(shù)去刻畫級數(shù)和. 2.1方程式法類似于數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)建立方程，通過

10、方程求解求函數(shù)項級數(shù)和.例15：計算函數(shù)項級數(shù)解：由函數(shù)項級數(shù)收斂性知識可知題中函數(shù)項級數(shù)收斂半徑為，逐項求導(dǎo)得即：解此微分方程得：. 2.2積分型級數(shù)求和積分型級數(shù)求和顯然直接求和會帶來困難，通常積分也積不出來，所以要轉(zhuǎn)化，將積分式子化簡是個想法，通過變量替換等積分技術(shù)化簡積分式子，再求級數(shù)和，所以關(guān)鍵在于處理積分式子，下面我們看個例題.例16：計算級數(shù).解：因為，作變量替換得：再根據(jù)：得：=.所以原級數(shù)=. 2.3逐項求導(dǎo)求級數(shù)和根據(jù)冪級數(shù)逐項求導(dǎo)收斂半徑不變原理，對原級數(shù)逐項求導(dǎo)后化為一些易求和的冪級數(shù)，再往回求積分，從而求原級數(shù)和.易知的級數(shù)往往是通過泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。

11、泰勒定理1：若函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則= ，這里是拉格朗日余項即.設(shè)在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的和的充要條件：對一切滿足不等式 的，有，上式右邊稱為在處的泰勒展開式.由泰勒展開式可知右邊是個級數(shù)，而在求解級數(shù)時我們可以逆向來看，已知以級數(shù)和像求的方向行進，找準各階對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)形式，并按泰勒級數(shù)的樣子提煉出.但在實際應(yīng)用中在處的級數(shù)應(yīng)用較多，稱為麥克勞林級數(shù).而由泰勒級數(shù)的定義可以將一些基本初等函數(shù)推導(dǎo)出來，再有基本初等函數(shù)推導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的級數(shù)和形式，反過來即是求級數(shù)和.這也不失為一種求級數(shù)和的選擇.這中方式在前面函數(shù)項級數(shù)求和的過程中已經(jīng)有所運用，在此總結(jié)是為了形成一種較為普遍的方法.即

12、使是級數(shù)逐項求導(dǎo)積分法也是基于此理論基礎(chǔ)之上的.例17：求解.解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯級數(shù)收斂，且收斂區(qū)間為-1,1,將級數(shù)逐項求導(dǎo)可得：(利用易知麥克勞林展式)再積分回去便得到級數(shù)和.2.4逐項積分求級數(shù)和通過級數(shù)逐項積分收斂半徑不變原理，對原級數(shù)逐項積分后化為一些易求的冪級數(shù)，再往回求導(dǎo)，可求出原級數(shù)和.例18：計算.解：記，對其逐項積分得：=，其中， 所以=. 2.5將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù)分解為已知在數(shù)學(xué)中是一種基本的技巧，通過轉(zhuǎn)化為我們所知道的知識解決原復(fù)雜問題在很多地方都是個不錯的想法，因此在解決級數(shù)和的問題時我們也引入這思想.我們已知在冪級數(shù)中已知的麥克勞林展式有好幾個

13、，我們要將這幾個基本初等函數(shù)的展式牢記于心，還要學(xué)會利用拉格朗日展式的角度逆向思考級數(shù)求和的問題.我們簡單的引入一個問題來說明這種方式，主要是引入這種思想.例19：計算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=. 2.6利用傅立葉級數(shù)求級數(shù)和通過構(gòu)造函數(shù)，并通過延拓的方式求此函數(shù)的傅立葉展式，再由收斂定理求解函數(shù)值即可求出原級數(shù)和，關(guān)鍵在于準確找出傅立葉函數(shù).例20：計算.解：構(gòu)造傅立葉函數(shù)= ,其中作偶延拓得: = ,由此可知傅立葉系數(shù)為：，其中 ，（其中）.由狄利克雷收斂條件可知：，其中現(xiàn)在令得：，進而可得：.說明：有了以上結(jié)果數(shù)項級數(shù)的關(guān)于就可以套用公式了，如：利用2.6結(jié)果求解級數(shù)和，2.6的

14、結(jié)果是一個很常用的級數(shù)和公式，因此我們可以直接拿來用.例21：計算，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因為級數(shù)收斂，所以題目中級數(shù)在（0，1）上一致收斂.，因為，所以帶入上面式子可得級數(shù)和為. 2.7三角級數(shù)對應(yīng)復(fù)數(shù)求級數(shù)和三角函數(shù)與復(fù)數(shù)有天然的對應(yīng)關(guān)系，因此將其化歸到復(fù)數(shù)域上再利用復(fù)數(shù)域知識求解，從而獲得原級數(shù)的和.例227：計算.解：由復(fù)數(shù)域上冪級數(shù)的麥克勞林展式可知：，及，由，對應(yīng)實部得，其中，. 2.8利用三角公式化簡級數(shù)三角級數(shù)還可以利用三角公式化簡三角級數(shù)，化簡后的級數(shù)可能比原級數(shù)容易求解些，通常復(fù)雜級數(shù)求和都是要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為能求和的方向.例23：計算.解：由

15、三角函數(shù)的積化和差公式可知：原級數(shù)=，其中未知數(shù)滿足：. 2.9針對2.7的延伸在此對2.8的延伸，并不是意味著2.8是個通用的級數(shù)和式子，只是看見了另外的一個題可以運用2.8，在此列出是為了表明在求級數(shù)和的過程中一些復(fù)雜級數(shù)可以由另外一些級數(shù)求和的，因此遇見復(fù)雜級數(shù)求和的時候要多注意平常積累的例子，想想平時有沒有遇見類似的級數(shù)求和問題.例24：計算.解：令，由2.8可知= 其中未知數(shù)滿足，令，.有，由，當(dāng)時，有，于是. 2.10添加項處理系數(shù)例25：計算，其中.解：令，當(dāng)時，=，其中，當(dāng):時，于是：.2.11應(yīng)用留數(shù)定理計算級數(shù)和 定理8：若函數(shù)滿足以下兩個條件：（1）在復(fù)平面具有孤立奇點，

16、且這些孤立奇點不為整數(shù)及，除去上述奇點外在其它各處都解析；（2）.證明：研究圍道積分又由函數(shù)滿足留數(shù)定理的條件，則根據(jù)定理我們可以得到如下的等式： （1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，兩邊取極限得即：，所以，對（1）式取極限得到0=.所以.證明完畢.結(jié)論的應(yīng)用：例268：求級數(shù)（不為0）的和.解：令，當(dāng)不為零時，滿足定理的兩個條件，那么.即：，當(dāng)趨近于零時，將上式變形可得：容易證得等式左邊的兩個級數(shù)是收斂的.故上式兩端取極限可得上述級數(shù)和,2.12利用函數(shù)求級數(shù)和定理1 6 設(shè)為自然數(shù)，為實數(shù)，且，則.定理2 6 設(shè)為自然數(shù)，為非負整數(shù)，是實數(shù)，大于，有.定理3 6 設(shè)為自

17、然數(shù)，級數(shù)在0,1上一致收斂于函數(shù) ,則.這三個定理的證明涉及函數(shù)，此處證明從略.只說明這三個定理應(yīng)用于求解級數(shù)和的問題.分析這三個定理可以看它們用于解決一些自然數(shù)連續(xù)性相乘且置于分母的級數(shù)和.將級數(shù)和中某些數(shù)賦予給定理中的相應(yīng)的、，再將按定理套用，可以將定理左邊的級數(shù)化為右邊的積分求解.運用定理的關(guān)鍵在于準確找出、，只要這項工作完成，那么剩下的就是積分的問題.例27：計算.解：對應(yīng)上述三個定理，此級數(shù)根據(jù)定理1，將置為-1，置為3，置為1則可以將級數(shù)化為積分式子，求解具體過程從略.參考文獻1 數(shù)學(xué)分析下冊，第三版，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社20092 數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解華東師大版，華騰教育教學(xué)與研究中心，中國礦業(yè)大學(xué)出版社3 李永樂，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書（理工類數(shù)學(xué)一），國家行政學(xué)院出版社，2012版4 李永樂，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過關(guān)660題數(shù)學(xué)一，西安交通大學(xué)出版社，20115 陳文燈，2011版考研數(shù)學(xué)額復(fù)習(xí)高分指南，