數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)

1、8.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)教學(xué)目的理解級(jí)數(shù)的概念和基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)教學(xué)難點(diǎn)有窮項(xiàng)相加與無(wú)窮項(xiàng)相加的差異教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入以前我們學(xué)習(xí)的加法是將有限個(gè)數(shù)相加，這種加法易于計(jì)算但無(wú)法滿足應(yīng)用的需要在許多技術(shù)問(wèn)題中常要求我們將無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加，這種加法叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具無(wú)窮級(jí)數(shù)分為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情況，是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)2.講授新課2.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義8.1 設(shè)給定數(shù)列，我們把形如 （8.1.1）的式子稱為一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)其中第項(xiàng)稱為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)（或一般項(xiàng)）如果級(jí)

2、數(shù)中的每一項(xiàng)都是常數(shù)，我們稱此級(jí)數(shù)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).例如， 等差數(shù)列各項(xiàng)的和 稱為算術(shù)級(jí)數(shù)等比數(shù)列各項(xiàng)的和 稱為等比級(jí)數(shù)，也稱為幾何級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) =稱為調(diào)和級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)（8.1.1）的前項(xiàng)和為：，稱為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和，簡(jiǎn)稱部分和2.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散定義8.2 若級(jí)數(shù)(8.1.1)的部分和數(shù)列的極限存在， 即 (常數(shù)) 則稱極限為無(wú)窮級(jí)數(shù)的和記作此時(shí)稱級(jí)數(shù)收斂；如果數(shù)列沒(méi)有極限，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散，這時(shí)級(jí)數(shù)沒(méi)有和顯然，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其部分和是級(jí)數(shù)和的近似值，它們之間的差叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng)用近似值代替所產(chǎn)生的誤差是這個(gè)余項(xiàng)的絕對(duì)值，即誤差為例 討論幾何級(jí)數(shù)的斂散性，其中，是公比結(jié)論：幾何級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂，且；時(shí)發(fā)散

3、例2 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性例3證明級(jí)數(shù)發(fā)散2.3收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)8.1若, ，則級(jí)數(shù)性質(zhì)8.2 若收斂，為非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)也收斂，且有性質(zhì)8.3 若級(jí)數(shù)收斂，則.性質(zhì)8.3表明，是級(jí)數(shù)收斂的必要條件因此，如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于，則該級(jí)數(shù)一定發(fā)散；若該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于，則該級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散例4 已知級(jí)數(shù)為，討論其斂散性注意：性質(zhì)8.3只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，并非充分條件例如調(diào)和級(jí)數(shù)，但它是發(fā)散的.3.小結(jié)3.1無(wú)窮級(jí)數(shù)其中叫通項(xiàng)3.2部分和，當(dāng)存在時(shí)級(jí)數(shù)收斂，否則發(fā)散3.3四條基本性質(zhì)：性質(zhì)1-43.4收斂的必要條件4.布置習(xí)題(略)8.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法教學(xué)目的理解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和

4、性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種審斂法，幾何級(jí)數(shù)與p-級(jí)數(shù)教學(xué)難點(diǎn)比較判別法教學(xué)過(guò)程1.復(fù)習(xí)1.1問(wèn)題級(jí)數(shù)就是無(wú)窮多項(xiàng)相加嗎?級(jí)數(shù)收斂的必要條件?算術(shù)級(jí)數(shù)、等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性1.2講解作業(yè)2.講授新課級(jí)數(shù)的問(wèn)題，首先是斂散性問(wèn)題.一般來(lái)說(shuō)，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義、性質(zhì)只能判別出少數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性，因此還必須建立其他的判別法.下面將分別給出正項(xiàng)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法.首先，來(lái)研究正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性的判別法.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義定義8.3 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)（），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是很重要的一類數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，下面我們給出兩種常用的判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的法則，這些法則都給出了級(jí)數(shù)

5、收斂的充分條件2.2比較判別法定理8.1（比較判別法） 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若（為大于零的常數(shù)）則（1）當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；（2）當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散注意：定理8.1告訴我們：只需與已知斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)作比較，便可判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性通常我們選用幾何級(jí)數(shù)和下面的級(jí)數(shù)作為判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較對(duì)象級(jí)數(shù)（常數(shù)）稱為級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)收斂（證明從略）調(diào)和級(jí)數(shù)即為時(shí)的情形例5 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1) ；(2) 2.3比值判別法比較審斂法是通過(guò)與某個(gè)已知斂散性的級(jí)數(shù)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小，來(lái)判斷給定級(jí)數(shù)的斂散性，但有時(shí)不易找到作為比較對(duì)象的已知級(jí)數(shù)，這就提出了一個(gè)問(wèn)題，能否從級(jí)數(shù)本身直接判別級(jí)數(shù)的收斂

6、性呢？達(dá)朗貝爾找到了比值審斂法定理8.2（比值判別法，又稱達(dá)朗貝爾判別法）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于，即，則（1）時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）（或）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）時(shí)，不能判斷級(jí)數(shù)的斂散性例6 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1) ； (2).課堂練習(xí) 利用比較判別法，判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性： ； 利用比值判別法，判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性： ；3.小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；比較審斂法、比值審斂法4.布置習(xí)題(略)8.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法教學(xué)目的理解變號(hào)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法，絕對(duì)收斂與條件收斂教學(xué)難點(diǎn)絕對(duì)收斂與條件收斂教學(xué)過(guò)程1.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法、比值審斂法2.講授新課2

7、.1絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)為了判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，通常先考察其各項(xiàng)的絕對(duì)值組成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性定理8.3 若絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必定收斂注：由于總是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此定理8.3 使得一大類級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題定義8.4 若級(jí)數(shù)收斂，則稱原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂若級(jí)數(shù)發(fā)散，而級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)為條件收斂例7判斷級(jí)數(shù)（為任意常數(shù)）的斂散性注意：定理8.3的逆定理并不成立即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂，但收斂級(jí)數(shù)卻不一定絕對(duì)收斂2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義8.5 若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間，即，或 ，則稱此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其中（） 由于級(jí)數(shù)，所以下面只討

8、論的斂散性定理8.4（萊布尼茲判別法） 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足條件：（1），；（2），則級(jí)數(shù)收斂，且其和例8判斷級(jí)數(shù)的斂散性解此交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足（1）（）（2）由萊布尼茲判別法知，級(jí)數(shù)收斂又由于，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)是條件收斂此例也說(shuō)明，定理8.3的逆定理不成立3.小結(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的m判別法絕對(duì)收斂與條件收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨判別法 (另提行)4.布置習(xí)題(略)第6章7份 第7章3份 第8章6份 第9章4份8.4冪級(jí)數(shù)及其收斂性教學(xué)目的理解冪級(jí)數(shù)的概念；求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間教學(xué)重點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的收斂性教學(xué)難點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的收斂性教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入 上一節(jié)學(xué)習(xí)了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及斂散性的判別方法，常數(shù)項(xiàng)

9、級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例，那么什么是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)呢？2.講授新課2.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念若給定一個(gè)定義在區(qū)間上的函數(shù)列，則由此函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式（8.2.1）稱為定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)對(duì)每一確定的點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（8.2.2）若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（8.2.2）收斂，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（8.2.1）的收斂點(diǎn)若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（8.2.2）發(fā)散，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（8.2.1）的發(fā)散點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（8.2.1）的收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域，發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域?qū)τ谑諗坑騼?nèi)的任意一個(gè)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)收斂域內(nèi)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此，有一個(gè)確定的和這樣，在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是關(guān)于的函數(shù)，通常稱為函數(shù)

10、項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，記作其中是收斂域內(nèi)的任意一點(diǎn)將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和記作，則在收斂域上有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最簡(jiǎn)單、最重要的一類，就是我們下面要討論的冪級(jí)數(shù)2.2冪級(jí)數(shù)及其收斂性定義8.6 形如（8.2.3）的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)對(duì)冪級(jí)數(shù)，我們首先要考慮的也是它的收斂性問(wèn)題，首先介紹如下定理定理8.5若，其中，是冪級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則(1)當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)在任何處收斂；(2)當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)僅在收斂；(3)當(dāng)為不等于的常數(shù)時(shí)，冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，在內(nèi)發(fā)散時(shí)，令，并規(guī)定：時(shí)，；，稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；區(qū)間稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 為正常數(shù)時(shí)，冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處可能收斂，也可能發(fā)散；時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散如

11、果收斂半徑為正數(shù)，那么在求冪級(jí)數(shù)收斂域時(shí)，要注意考察端點(diǎn)處的斂散性，所得收斂域有四種：、，它們通常都稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.例1求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間例3 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間練一練求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間：(1)； (2)3.小結(jié)冪級(jí)數(shù)的概念；收斂半徑，收斂區(qū)間注意討論端點(diǎn)；4.布置習(xí)題(略)8.5冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的理解冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)冪級(jí)數(shù)的主要運(yùn)算.教學(xué)重點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的4條性質(zhì)(包括在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分).教學(xué)難點(diǎn)收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分.教學(xué)過(guò)程1.復(fù)習(xí)1.1冪級(jí)數(shù)的概念.1.2收斂半徑，收斂區(qū)間討論端點(diǎn).2.講授新課2.1冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)8.4

12、 若冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為和，則的收斂半徑等于和中的較小的一個(gè)性質(zhì)8.5 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（），則其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)性質(zhì)8.6 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（），則其和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：，其中，且逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)8.7 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（），則其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可積，且有逐項(xiàng)積分公式：，其中，且逐項(xiàng)積分后所得的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑2.2利用性質(zhì)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和和函數(shù)例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)解，收斂半徑，又時(shí)，所得的級(jí)數(shù)發(fā)散，因此收斂區(qū)間為設(shè)和函數(shù)，由性質(zhì)8.7，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，課堂練習(xí)：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解設(shè)和函數(shù)為，即兩端求

13、導(dǎo)，并注意到可得上式兩端從0到x積分，得 ， .由于又當(dāng)時(shí)，收斂，所以 =求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和 解略3.小結(jié)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，特別是逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分性質(zhì).4.布置習(xí)題(略)8.6函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)教學(xué)目的函數(shù)能展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的條件；泰勒級(jí)數(shù)的概念5個(gè)重要的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及它們的收斂區(qū)間；將簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)；間接展開(kāi)法.教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入前面討論了冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的求法，但在實(shí)際問(wèn)題中往往會(huì)提出相反的問(wèn)題：對(duì)于已知函數(shù)，能否用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示? 下面將討論這個(gè)問(wèn)題2.講授新課2.1泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開(kāi)式若函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰

14、域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)此鄰域內(nèi)任意有 . （8.3.1）稱(8.3.1)為的泰勒展開(kāi)式或泰勒公式，其中在，之間，且稱為的階泰勒余項(xiàng) (8.3.2) 在泰勒展開(kāi)式中，當(dāng)時(shí)，記，公式（8.3.1）成為 (8.3.3)稱(8.3.3)為的麥克勞林展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù) 若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，此時(shí)我們可讓多項(xiàng)式（8.3.1）的項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮而構(gòu)成冪級(jí)數(shù) （8.3.4）冪級(jí)數(shù)（8.3.4）稱為函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)定理8.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式中的余項(xiàng)當(dāng)時(shí)的極限為零.即（）在（8.3.4）式中，若，可得（8.3.5）級(jí)數(shù)（8.3.5）稱為函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)是的冪級(jí)數(shù)，若能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，則展開(kāi)式是唯一的，就是的麥克勞林級(jí)數(shù)2.2函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)直接展開(kāi)法利用麥克勞林公式將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，其步驟如下：求出的各階導(dǎo)數(shù)，如果在處的某階導(dǎo)數(shù)不存在，則不能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)；求出函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值：，；寫出函數(shù)的冪級(jí)數(shù)并求出收斂半徑；考察時(shí)，余項(xiàng)的極限（在與之間）是否為零.如果為零，則級(jí)數(shù)（8.3.6）收斂，且和函數(shù)就是即如果極限