新版理論力學(xué)(第二章)

1、匯交力系 各力的作用線均匯交于一點的力系。各力的作用線均匯交于一點的力系。 力偶系力偶系作用在物體上的一群力偶稱為作用在物體上的一群力偶稱為力偶系力偶系 平面力系 各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力 系系, ,否則為空間力系。否則為空間力系。 第二章第二章 平面匯交力系與力偶系平面匯交力系與力偶系 力系的分類力系的分類: : 一、一、 匯交力系匯交力系 若某力系中各力作用線匯交于一點，則該力系稱為若某力系中各力作用線匯交于一點，則該力系稱為匯交力系匯交力系。根據(jù)力的。根據(jù)力的 可傳性，各力作用線的匯交點可以看作各力的公共作用點，所以匯交力系有可傳性，各力作用線的匯交點

2、可以看作各力的公共作用點，所以匯交力系有 時也稱為時也稱為共點力系共點力系。 如果一個匯交力系的各力的作用線都位于同一平面內(nèi)，則該匯交力系如果一個匯交力系的各力的作用線都位于同一平面內(nèi)，則該匯交力系 稱為稱為平面匯交力系平面匯交力系，否則稱為，否則稱為空間匯交力系空間匯交力系。 平面匯交力系平面匯交力系 二、二、 力偶系力偶系 作用在物體上的一群力偶稱為作用在物體上的一群力偶稱為力偶系力偶系（couple system）。）。 若力偶系中的各力偶都位于同一平面內(nèi)，則為若力偶系中的各力偶都位于同一平面內(nèi)，則為平面力平面力 偶系偶系，否則為，否則為空間力偶系空間力偶系。 平面力偶系平面力偶系空間力

3、偶系空間力偶系 三、三、 任意力系任意力系 若力系中各力的作用線既不匯交于一點，又不全部相互若力系中各力的作用線既不匯交于一點，又不全部相互 平行，則該力系稱為平行，則該力系稱為任意力系任意力系。 如各力作用線還位于同一平面內(nèi)，則稱為如各力作用線還位于同一平面內(nèi)，則稱為平面任意力系平面任意力系， 簡稱簡稱平面力系平面力系；否則稱為；否則稱為空間任意力系空間任意力系，簡稱，簡稱空間力系空間力系。 空空 間間 力力 系系 平面力系平面力系 平面力系平面力系? A F2 F1 F4 F3 F2 F1 FR F3 F4 B C D E 表達(dá)式表達(dá)式：FR = F1+ F2+ F3+ F4 A 1. 平

4、面匯交力系平面匯交力系合成的幾何法合成的幾何法 2- 1 平面匯交力系合成與平衡平面匯交力系合成與平衡 把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈力鏈）。）。 FR F2 F1 F3 F4 B C D E A 加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形力多邊形。 力的多邊形規(guī)則力的多邊形規(guī)則 A F2 F1 F4 F3 共點力系可以合成為一個力，合力作用在力系的公共作用共點力系可以合成為一個力，合力作用在力系的公共作用 點，它點，它等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉等于這些力的矢量和，并可由這力系

5、的力多邊形的封閉 邊表示。邊表示。 矢量的表達(dá)式： F2 FR F1 F3 F4 B C D E A n i i 1 F 共點力系的合成結(jié)果共點力系的合成結(jié)果 A F2 F1 F4 F3 FR 0F 該該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和為零。力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和為零。 F5 F2 F1 F3 F4 B C D E A A F2 F1 F4 F3 F5 平面匯交力系平衡的充分必要幾何條件為：平面匯交力系平衡的充分必要幾何條件為： . 平面匯交力系平面匯交力系平衡的幾何條件平衡的幾何條件 F5 F2 F1 F3 F4 B C D E A F5 F2 F1 F3

6、F4 B C D E A 比較下面兩力多邊形比較下面兩力多邊形 A 60 F B 30 aa C 1. 取梁取梁AB作為研究對象。作為研究對象。 FA=Fcos 30=17.3 kN FB=Fsin 30=10 kN 2. 畫出受力圖。畫出受力圖。 3. 應(yīng)用平衡條件畫出應(yīng)用平衡條件畫出F，F(xiàn)A 和和FB的閉合力三角形的閉合力三角形。 解：解： FA D B A C FB 30 60 F E F FB FA 60 30 H K 4. 解得解得 例例 21 21 水平梁水平梁AB中點中點C作用著力作用著力F，其大小等于其大小等于2 kN， 方向與梁的軸線成方向與梁的軸線成60角角，支承情況如圖所

7、示，試求固定鉸鏈支承情況如圖所示，試求固定鉸鏈 支座支座A和活動鉸鏈支座和活動鉸鏈支座B的約束力，梁的自重不計。的約束力，梁的自重不計。 例例22 如圖所示是汽車制動機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動蹬上的力如圖所示是汽車制動機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動蹬上的力F=212 N，方方 向與水平面成向與水平面成=45。當(dāng)平衡時，當(dāng)平衡時，BC水平，水平，AD鉛直，試求拉桿鉛直，試求拉桿BC所受的力所受的力. .已知已知 EA=24 cm，DE=6 cm點點E在鉛直線在鉛直線DA上上,又又B,C,D都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的自重不計。自重不計。 F 24 6 A C B O E D 解解： 1.

8、 取制動蹬取制動蹬ABD作為研究對象。作為研究對象。 D A B F FB O FD 2. 畫出受力圖。畫出受力圖。 3. 應(yīng)用平衡條件畫出應(yīng)用平衡條件畫出F，F(xiàn)B 和和FD 的閉合力三角形。的閉合力三角形。 J FD K FB F I 4. 由幾何關(guān)系得由幾何關(guān)系得 cm 24 EAOE 6 1 24 6 tan OE DE 214 4 1 arctan 由力三角形可得由力三角形可得 FFB sin 180sin 5. 代入數(shù)據(jù)求得代入數(shù)據(jù)求得FB=750 N方向自左向右。方向自左向右。 1.力在坐標(biāo)軸上的投影與力沿軸的分解力在坐標(biāo)軸上的投影與力沿軸的分解 2- 2 平面匯交力系合成的解析法

9、平面匯交力系合成的解析法(坐標(biāo)法）坐標(biāo)法） 兩個匯交力可以合成一個合力， 其結(jié)果是唯一的。反之，若將一個力 分解成兩個力，如果沒有足夠的附加 條件，則其解答是無窮多的（是不定 的）。但一般將它分解為兩個正交的 分力FRx、FRy，如圖所示：則 jiFFF yxyx FF RRR 而 cos , cos RRRR FFFF RyRx jFiF i, j 分別是x和y軸方向的單位矢量 FRx和FRy稱為力FR在x和y軸上的投影 由此可知，利用力在軸上的投影，可以表示力沿直角坐標(biāo)軸 分解時分力的大小和方向。 不過應(yīng)注意的是：分力是矢量，而力的投影是代數(shù)量。確 定不出力矢作用位置，它們是兩個不同的概念

10、。只有對于正 交坐標(biāo)系它們之間的才有關(guān)系： jiFFF yxyx FF RRR 其中jFiF yyxx FF RR , R R R R ),cos( , ),cos( F F F F y x jFiF 22 Ryx FFF 如果已知力FR在x和y軸上的投影，則可求得力FR的 大小和方向余弦為 上式也稱為力的解析表達(dá)形式力的解析表達(dá)形式 由合矢量投影定理，得合力投影定理由合矢量投影定理，得合力投影定理 ix XX Rx FFFF21 iy yy Ry FFFF21 則合力的大小為：則合力的大小為： 22 RyRxR FFF 方向為：方向為： R ix R F F iF ,cos 作用點為力的匯交

11、點。作用點為力的匯交點。 R iy R F F jF ,cos 2.平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法 因為因為 iR FF FR F1 F2 F3 Fn y x i j O 例例 用解析法求圖2-5a所示平面匯交力系的合力。已知 1234 150N,20N,250N,100NFFFF 解：解：由合力投影定理，有： ooo 1234 ooo 124 cos45cos60cos60294N sin45sin600sin60193N Rxx Ryy FFFFFF FFFFF 則合力的大小和方向為： 22 o 352N cos0.83533.36 RRxRy Rx R FFF F F

12、平面匯交力系平衡的充分必要條件是： 稱為平面匯交力系的平衡方程. 0 x F 0 y F 0 R F 該力系的合力等于零，即 平面匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在X，Y 兩個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零. 3 平面匯交力系平衡的平衡方程：平面匯交力系平衡的平衡方程： 例例1 1 求：求： 3.3.力力 沿什么方向拉動碾子最省力，及此時力沿什么方向拉動碾子最省力，及此時力 多大？多大？ F F 2.2.欲將碾子拉過障礙物，水平拉力欲將碾子拉過障礙物，水平拉力 至少多大？至少多大？ F 1.1.水平拉力水平拉力 時，碾子對地面及障礙物的壓力？時，碾子對地面及障礙物的壓力？kN5F 已知

13、：已知：m0.08m,0.6kN,20hRP 1.1.取碾子，畫受力圖取碾子，畫受力圖. . 用幾何法，按比例畫封閉力四邊形用幾何法，按比例畫封閉力四邊形 30arccos R hR 11.4kN A F 10kN B F sin cos B AB FF FFP 解解: 2.2.碾子拉過障礙物，碾子拉過障礙物，0 A F應(yīng)有應(yīng)有 用幾何法解得用幾何法解得FPtan=11.55kN 解得解得 kN10sin min PF3.3. 已知：已知： , ,各桿自重不計；各桿自重不計； 求：求： 桿及鉸鏈桿及鉸鏈 的受力的受力. . 例例2 2 CD A kN10,FCBAC 按比例量得按比例量得 kN

14、4.22,kN3.28 AC FF 用幾何法，畫封閉力三角形用幾何法，畫封閉力三角形. . 為二力桿，取為二力桿，取 桿，畫受力圖桿，畫受力圖. .CDAB解：解： 用解析法用解析法 N3 .12945cos45cos60cos30cos 4321R FFFFFF ix x N3 .11245sin45sin60sin30sin 4321R FFFFFF iy y N3 .171 2 R 2 RR yx FFF 7548. 0cos R Rx F F 6556. 0cos R Ry F F 01.49,99.40 解：解： 求：此力系的合力求：此力系的合力. . 例例3 3已知：圖示平面共點力

15、系已知：圖示平面共點力系, , , , , , . , . N200 1 FN300 2 F N100 3 FN250 4 F 已知：系統(tǒng)如圖，不計桿、輪自重，忽略滑輪大小，已知：系統(tǒng)如圖，不計桿、輪自重，忽略滑輪大小， P=20kN； 求：系統(tǒng)平衡時，桿求：系統(tǒng)平衡時，桿AB，BC受力受力. . 例例4 4 060cos30cos 21 FFF BC 0 y F kN32.27 BC F PFF 21 kN321. 7 BA F 0 x F 12 cos60cos300 BA FFF AB、BC桿為二力桿，取滑輪桿為二力桿，取滑輪B B （或點（或點B B），畫受力圖），畫受力圖. .建圖示

16、建圖示 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 解：解： F 24cm 6cm A CB D O (a) E 例題5 圖a所示是汽車制動機(jī) 構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制 動蹬上的力F=212 N，方向 與水平面成 = 45角。當(dāng) 平衡時，DA鉛直，BC水平， 試求拉桿BC所受的力。已 知EA=24 cm， DE=6 cm點 E在鉛直線DA上 ，又B ， C ，D都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu) 的自重不計。 O F FD x y FB A B D 1.取制動蹬ABD作為研究對象。 2.畫出受力圖，并由力的可傳 性化為共點力系。 解解: 3.列出平衡方程： ， ， 0 0 y x F F 0 sin sin 0 cos cos FF FFF

17、 D DB 聯(lián)立求解得N 750 B F 已知： 用解析法求解 969. 0 cos , 243. 0 sin,03.14 例6 已知：在鉸拱不計拱重，結(jié)構(gòu)尺寸為a，在D點作用水 平力P，不計自重，求支點B、C的約束力。 aa A B C D P B F B A A F B F B C C F P x D y 0 ix F 045cos45cos CB FFP 0 iy F045sin45cos BC FF PFB 2 2 PFC 2 2 解：分析易知OAB是二力桿件， 1以BCD為研究對象；2受力分析； 3列方程，求解 求得： 例例7 7 如圖所示壓榨機(jī)中，桿如圖所示壓榨機(jī)中，桿AB 和和B

18、C的長度相等，自重忽略不計的長度相等，自重忽略不計。 A ， B，C處為鉸鏈連接。已知活處為鉸鏈連接。已知活 塞塞 D 上 受 到 油 缸 內(nèi) 的 總 壓 力 為上 受 到 油 缸 內(nèi) 的 總 壓 力 為 F=3kN，h=200mm，l=1500mm。 試求壓塊試求壓塊C對工件與地面的壓力以對工件與地面的壓力以 及桿及桿AB所受的力。所受的力。 D E A B C ll h 列平衡方程列平衡方程 kN 35.11 sin2 F FF BCBA 0 sin sin, 0 0 cos cos, 0 FFFF FFF BCBAy BCBAx 解方程得桿解方程得桿AB，BC所受所受 的力的力 解：1.

19、 選活塞桿為研究對象，受力分析如圖。選活塞桿為研究對象，受力分析如圖。 2. 選壓塊選壓塊C為研究對象，受力分析如圖。為研究對象，受力分析如圖。 解方程得解方程得 0 sin, 0 0 cos, 0 CyCBy CBCxx FFF FFF kN 5 . 1 2 sin kN 25.11 2 cot 2sin2 cos F F F h FlFF F CB Cy Cx 列平衡方程列平衡方程 應(yīng)用解析法求解平面匯交力系平衡問題，取不同的直應(yīng)用解析法求解平面匯交力系平衡問題，取不同的直 角坐標(biāo)系時，所求合力是否相同？角坐標(biāo)系時，所求合力是否相同？ 應(yīng)用解析法求解平面匯交力系平衡問題時，所取的投應(yīng)用解析

20、法求解平面匯交力系平衡問題時，所取的投 影軸是否一定要互相垂直？影軸是否一定要互相垂直？ 力沿兩軸分力的大小和在該兩軸上的投影大小相等嗎？力沿兩軸分力的大小和在該兩軸上的投影大小相等嗎？ O y x FFy Fx Fy Fx 2.3 平面力對點之矩平面力對點之矩 1、平面力對點之矩（力矩）、平面力對點之矩（力矩） 1.大小：力大?。毫與力臂的乘積與力臂的乘積 2.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向 兩個要素：兩個要素： hFFM 0 FrFM 0 力對剛體的運動效應(yīng)包括移動和轉(zhuǎn)動兩種，其中移動 由力矢來度量，而轉(zhuǎn)動由力矩（或力偶）來度量。 力矩作用面，力矩作用面， 稱為矩心，稱為矩心， 到力的作用

21、線的垂直距離到力的作用線的垂直距離 稱稱 為力臂為力臂 OO h 力力F的作用點沿其作用線移動，不改變這的作用點沿其作用線移動，不改變這 力對力對O點的矩。點的矩。 力對點之矩力對點之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的 乘積，它的正負(fù)：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向時為正，反之為乘積，它的正負(fù)：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向時為正，反之為 負(fù)負(fù). .常用單位常用單位 或或mNmkN 2、匯交力系的合力矩定理、匯交力系的合力矩定理 niR FFFFF 21 nR FrFrFrFr 21 即即 iORO FMFM nR FFFF 21 平面匯交力系平面匯

22、交力系 iR FMFM 00 合力矩定理：合力矩定理：平面匯交力系的合力對平平面匯交力系的合力對平 面內(nèi)任一點之矩等于所有各分力對于該點面內(nèi)任一點之矩等于所有各分力對于該點 之矩的代數(shù)和。該結(jié)論適用于任何合力存之矩的代數(shù)和。該結(jié)論適用于任何合力存 在的力系。在的力系。 )( RiOO FM)F(M 3、力矩與合力矩的解析表達(dá)式、力矩與合力矩的解析表達(dá)式 xyxOyOO FyFxFyFxFMFMFMcossin iORO FMFM 合力FR對點O之矩的解析表達(dá)式為 )()( 1 Rixi n i iyiO FyFxM F 如圖所示，如果已知：F、 、 、l , 要 求力F對點o之矩 )cos()

23、90sin()(FlFlhFMO F （1）按力矩的定義）按力矩的定義 （2）應(yīng)用合力矩定理）應(yīng)用合力矩定理 )cos( sinsincoscos )()()( Fl lFlF MMM yOxOO FFF 2.4 平面力偶理論平面力偶理論 4.1 力偶和力偶矩力偶和力偶矩 1.何謂力偶何謂力偶? 由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的 力系稱為力偶，記作力系稱為力偶，記作FF, 兩個要素兩個要素 a.大?。毫εc力偶臂乘積大小：力與力偶臂乘積 b.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向 力偶矩力偶矩 ABCdFdFM2 2 1 2 力偶中兩力所在平面稱為力偶作

24、用面。力偶中兩力所在平面稱為力偶作用面。 力偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂。力偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂。 2.力偶矩力偶矩 4.2 力偶與力偶矩的性質(zhì)力偶與力偶矩的性質(zhì) 1.力偶在任意坐標(biāo)軸上的投影等于零。力偶在任意坐標(biāo)軸上的投影等于零。 2.力偶對任意點取矩都等于力偶矩，力偶對任意點取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改變而改變。不因矩心的改變而改變。 dFM FdxFxdF FMFMFFM OOO 11 111 , FddF xFxdFFFM O 22 , 2 力矩的符號力矩的符號 FM O 力偶矩的符號力偶矩的符號 M 3 同平面內(nèi)力偶的等效定理 定理：在同平面內(nèi)的兩個力偶，如果力偶矩相

25、等，則兩力偶彼此等效。 （1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不影響 它對于剛體的效應(yīng)。因此，力偶對剛體的作用與力 偶在其作用面的位置無關(guān)。 由此可得兩個推論： = = （2）只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，可以同 時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變 力偶對剛體的作用。 = = 4.3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 (1) 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 M1=F1d1 M2=-F2d2 根據(jù)力偶的性質(zhì)，將它們轉(zhuǎn)移并化為相同臂長d的 力偶，如圖（a)分別為 M1=F1d1=F3d M2= -F2d2= -F4 d F=F3-F4 F=F3-F4 將作用在點A、B的力

26、分別合成得 F1 F1 d1 F2 F2 d2 (a) F3 A F4 B d F4 F3 (b) F AB d F (c) 同理，可以推得幾個力偶的合成。即作用于剛體同平 面內(nèi)的任意個力偶可以合成一個合力偶，合力偶矩等 于各個分力偶矩的代數(shù)和。可表示為 n i i MM 1 M=Fd=（F3-F4）d=F3d-F4d=M1+M2 F AB d F (c) F，F(xiàn)組成一新力偶即為合力偶 ，合力偶 的矩為 = 已知：已知：;, 21n MMM 任選一段距離任選一段距離d 1 1 F d M dFM 11 2 2 F d M dFM nn n n F d M dFM 22 (2) 平面力偶系的合成

27、和平衡條件平面力偶系的合成和平衡條件 = = = nR FFFF 21 nR FFFF 21 = = = dFM R dFdFdF n 21 n MMM 21 i n i i MMM 1 平面力偶系平衡的充要條件平面力偶系平衡的充要條件 M=0 即即0 i M 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零. 上式是平面力偶系平衡的必要與充分條件，即上式是平面力偶系平衡的必要與充分條件，即平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。 只有一個獨立方程，只能求解一個求知數(shù)。只有一個獨立方程，只能求解一個求知數(shù)。 例例1 ;200,20,10 321 mmmNmNlMMM 求：求： 光滑螺柱光滑螺柱AB所受水平力。所受水平力。 已知：已知： 0M 0 321 MMMlFA 解得解得 N200 321 l MMM FF BA 解：由力偶只能由力偶平衡的解：由力偶只能由力偶平衡的 性質(zhì)，其受力圖為性質(zhì)，其受力圖為 例例2 2 求：平衡時的求：平衡時的 及鉸鏈及鉸鏈 處的約束力處的約束力. . 2 M ;30,m5 . 0,mkN2 1 rO